2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】(讲义)(原卷版).docx

专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】【新高考专用】1、平面向量基本定理及坐标表示平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.在高考复习过程中应注意加强对平面向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.【知识点1 平面向量基本定理及其解题策略】1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略】1．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2．共线的坐标表示(1)两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.(2)三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.3．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【方法技巧与总结】1．若与不共线，且，则.2．已知P为线段AB的中点，若A(,)，B(,)，则P点坐标为.3．已知△ABC的重心为G，若A(,)，B(,)，C(,)，则G.【题型1 平面向量基本定理的应用】【例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=（    ）A．12AB+56AC B．12AB+34ACC．12AB+AC D．12AB+32AC【变式1-1】（2024·山东潍坊·二模）在△ABC中，BD=13BC，点E是AD的中点，记AB=a，AC=b，则BE=（    ）A．−13a+13b B．−23a+16b C．−13a−13b D．23a−16b【变式1-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD=2DC.连接BD，段BD上任取一点E，连接AE，若AE=aAC+bAB，则a2+b2的最小值为（    ）A．134 B．52 C．413 D．25【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设AB=xAP(x>0)，AC=yAQ(y>0)，则4x+2+1y+1的最小值为（    ）A．34 B．32 C．3 D．6【题型2 利用平面向量基本定理求参数】【例2】（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=13AE，若AF=mAB+nAD，则m+n=（    ）A．13 B．12 C．56 D．1【变式2-1】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且CD=DA，AP=23AB+λAC，则λ=（    ）A．16 B．13 C．23 D．56【变式2-2】（2024·湖南邵阳·三模）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足DC=4DE，OE=λAC+μBD，则λ−μ=（    ）A．−14 B．−12 C．14 D．12【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若CP=xCA+yCB，则3x+4y=（    ）A．34 B．−34 C．3 D．-3【题型3 平面向量的坐标运算】【例3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy内，已知点A−1,1,AB=1,−2，则OB=（    ）A．2,−3 B．0,−1 C．−2,3 D．0,1【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足AM=AC+mAD，则m=（    ）A．1 B．12 C．13 D．14【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若BD=2DA−3DC，且AC=−2,1，则AB=（    ）A．4,−2 B．−4,2 C．6,−3 D．−6,3【变式3-3】（2024·宁夏银川·二模）已知向量a=2,−3，b=1,2，c=9,4，若c=ma+nb，则m+n=（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【题型4 由向量共线（平行）求参数】【例4】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量a=1,2,b=λ,−1,c=μ,−1，若a+c ∥ b，则λ+μ=（    ）A．−2 B．−1 C．0 D．1【变式4-1】（2024·河南南阳·一模）已知向量a=(1,−2),b=(x,−1),c=(−4,x)，若2a+b,a−c反向共线，则实数x的值为（    ）A．−7 B．3 C．3或−7 D．−3或7【变式4-2】（2024·内蒙古包头·三模）已知向量a=1,−1，b=m+1,2m−4，若a+b//a−b，则m=（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【变式4-3】（2024·贵州贵阳·二模）已知向量a=1,−2,b=2,x，若3a−b//a+2b，则实数x=（    ）A．2 B．1 C．0 D．−4【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】【例5】（2024·陕西宝鸡·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则2a−b=（    ）A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2)【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知M4,−2，N−6,−4，且MP=−12MN，则点P的坐标为（    ）A．1,1 B．9,−1 C．−2,2 D．2,−1【变式5-2】（2024·河北邯郸·三模）已知向量a=(m,2)与b=(−2,−4)共线，则3a−b=（    ）A．(1,10) B．(5,10) C．(5,2) D．(1,2)【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·一模）设向量a=2,−1，b=m,2，若向量a与a−b共线，则a+b=（    ）A．−2,1 B．−2,−1 C．−4,2 D．−2,−4【题型6 向量坐标的线性运算解决几何问题】【例6】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB=4，E为AD的中点，若CA=λCE+μDBλ,μ∈R，则λ+μ的值（    ）A．65 B．85 C．2 D．83【变式6-1】（2024·江苏南通·二模）如图，点C在半径为2的AB上运动，∠AOB=π3若OC=mOA+nOB，则m+n的最大值为（    ）A．1 B．2 C．233 D．3【变式6-2】（23-24高一下·安徽合肥·期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−3OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（    ）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【变式6-3】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为（    ）A．-4 B．5 C．-5 D．4【题型7 由向量线性运算解决最值和范围问题】【例7】（23-24高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中AB⋅AD=0,∠B=30∘，AB=23,BC=2，点E为BC边上一点，且AE=xAB+yAD，则xy的取值范围是（    ）A．−∞，12 B．0,12 C．0,302 D．12,23【变式7-1】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则λ+μ的最大值为（    ）A．3 B．5 C．52 D．2【变式7-2】（23-24高三上·山西·阶段练习）在等腰直角△ABC中，D为斜边BC的中点，点Р为△ACD内一点（含边界），若AP=14AB+λAC，则λ的取值范围为（    ）A．14,34 B．14,12 C．14,12 D．14,34【变式7-3】（23-24高一下·山西朔州·阶段练习）在矩形ABCD中， AB=5，BC=3，P为矩形内一点，且AP=52，若AP=λAB+μADλ,μ∈R，则5λ+3μ的最大值为（    ）A．52 B．102 C．3+34 D．6+3241．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（    ）A．−6 B．−5 C．5 D．62．（2023·全国·高考真题）已知向量a=1,1,b=1,−1，若a+λb⊥a+μb，则（    ）A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1C．λμ=1 D．λμ=−13．（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（    ）A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=1+3”是“a//b”的必要条件C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件4．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b，用a,b表示DE= ，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 .5．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE→=2EC→,若BE⃗=λBA⃗+μBC⃗，其中λ,μ为实数，则λ+μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF⋅DG的最小值为 ．。