排列组合问题基本类型及解题方法.docx

排列组合问题的基本模型及解题方法导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序） 还是组合（无序），还是排列与组合混合问题其次，要抓住问题的本质特征，准确合理 地利用两个基本原则进行“分类与分步”加法原理的特征是分类解决问题，分类必须 满足两个条件：①类与类必须互斥（不相容），②总类必须完备（不遗漏）；乘法原理的 特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性分类 与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交 叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺 口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重； 直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪注意以下几点：1、 解排列组合应用题的一般步骤为：① 什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）；② 怎么做：分步还是分类，有序还是无序2、 解排列组合问题的思路（ 1） 两种思路：直接法，间接法 2） 两种途径：元素分析法，位置分析法3、 基本模型及解题方法：（一）、元素相邻问题（ 1）、全相邻问题，捆邦法例1、6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。

A、720 B、360 C、240 D、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问 题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素 2）、全不相邻问题插空法例2、要排一张有6个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不 得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6 个歌唱节目排好，其中不同的排法有 6！，这 6 个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有A 4种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相 7邻的排法为A4 A6种76例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目， 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A、1800 B、3600 C、4320 D、5040解：不同排法的种数为A5A2 =3600,故选B56说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将 它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法 3）、不全相邻排除法，排除处理例 4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法解.A5 一 A3 A3 一 A 2 A3 或 3A2A2A2 二 725 3 3 2 3 2 3 2例 5、有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是解法一： ①前后各一个，有8X12X2=192种方法②前排左、右各一人：共有4X4X2=32种方法③ 两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置:丨I1_丄凶甲I乙可坐2个位 置2+2=4乙可坐1个位置1+1=2此种情况共有 4+2=6 种方法 因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6+6=12种 方法乙有12牛禮置可塑乙有0他置可坐乙脊B个也豐可坐④ 两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右10 + 9 + 8 +A + 2 +1 二x 10 = 55:.甲左乙右总共有 2 种方法•同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55X2=110 种方法。

综上所述，按要求两人不同排法有 192+32+12+110=346种 解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻， 4号座位与5号 座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种 7号座位与8号座位不算相邻（坐在后 排相邻的情况有22种共有A2 - 2（11 + 6） = 346种20（二）、定序问题缩倍法 例6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有 3面红旗、 2面白旗， 把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）解: 5面旗全排列有A5种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的5挂法，故有= 10A3A2说明:在排列3 的2 问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题 ,这类问题用缩小倍 数的方法求解比较方便.例7、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进 行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行 那么安排这6项工程的不同排法种数是 解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有A2 + 5X A2 =30种不同排法52解二：里=304!例 8、由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数，其中个位数字小于十 位的数字的共有（ ）A、210 个 B、300 个 C、464 个 D、600 个解： 1 AiA5 = 300 故选 B2 5 5（三）、多元问题分类法 例9．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和 乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲 和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①甲、丙同去，则乙不去， 有C2 • A4 =240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C3 • A4 =240种选法；③甲、乙、丙都5 4 5 4不去，有A4二120种选法，共有600种不同的选派方案.例10、设集合I = {123,4,5 }。

选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有 （B）A、 50种 B、 49种 C、 48种 D、 47种解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C； =10种；若集合A中有一个元 素，集合B中有两个元素，则选法种数有C =10种；若集合A中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有C； =5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素, 则选法种数有C5 =1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 C =10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C4 =5种； 若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C =1种；若集合A中有 三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5 =5种；若集合A中有三个元素，集 合B中有两个元素，则选法种数有C5 =1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个 元素，则选法种 数有C5 =1种；总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C =10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C| =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一 组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2x10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C4 =5种选法，再分成1、3； 2、2； 3、1两组，较 小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3x5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C =1种选法，再分成1、4； 2、3； 3、2； 4、1两 组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4x1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。

选B.例11、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个 盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A、10 种 B、20 种 C、36 种 D、52 种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒 子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个 放入2号盒子,有Ci二4种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有C2二644 种方法；则不同的放球方法有10种，选A.说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最 后总计四） 、元素交叉问题集合法（二元否定问题，依次分类）例12、从6名运动员中选出4名参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑 第四棒，共有多少种不同的参赛方法解：设全集U=｛6人中任选4人参赛的排列｝, A=｛甲跑第一棒的排列｝, B=｛乙跑第四棒 的 排 列 ｝ ， 根 据 求 集 合 元 素 的 个 数 的 公 式 可 得 参 赛 方 法 共 有 ： card（U）-card（A）-card（B）+card（A A B）=252例 13、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上 午安排四节课，下午安排两节课。

1） 若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法（2） 要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），有多 少种不同的排课方法例 14、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年 卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A、 6种 B、 9种 C、 11种 D、 23种解：此题可以看成是将数字 1、 2、 3、 4填入标号为1、 2、 3、 4的四个方格里，每格 填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题所以先将 1填入2至4的3个 方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法； 第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3X3X1=9种填法 故选 B说明：求解二元否定问题先把某个元素按规定排入，再排另一个元素，如此继续下去， 依此即可完成例 15、安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最 后一个出场，不同排法的总数是 ・（用数字作答）答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解五） 、多排问题单排法例 16、两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座（每人 一座位），则不同的座法为（ ）A、 C5C3 B、 A1C5C3 C、 A3 A5 D、 A88 8 2 8 8 8 8 8解：此题分两排座可以看成是一排座，故有A 88种座法…••选D 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

六） 、至多、至少问题分类法 或 间接法（去杂处理） 含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况例 17、从4名男生和3名女生中选出 3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少 有1名女生，则选派方案共有 （ ）A、 108 种 B、 186 种 C、 216 种 D、 270 种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A3 -A3 =186种，选74B. 例18、5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1 名新队员 的排法有 种.（以数作答）【解析】两老一新时，有Ci x CiA2二12种排法；两新一老时，有C1C2 x A3二36种排法，即3 2 2 2 3 3共有48种排法.例 19、将 5 名实习教师分配到高。