【题型突破-导数-数列】第16讲 极值点偏移问题-高考数学二轮复习（全国通用）(教师版).docx

第16讲 极值点偏移问题思维导图-----知识梳理1.极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0＝f(x1)＝f(2x0－x2)极值点偏移左移x0<峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2)右移x0>峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2)2.函数极值点偏移问题的题型及解法极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：(1) 若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0；(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．3.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．3.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．3.4．对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．3.5指数不等式法在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶方法一:对称化构造法思维导图-----方法梳理对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．(一) 不含参数型脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶例1.已知函数（1）求函数的最大值；（2）设，若，证明：.【解析】（1）由题意，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故.（2）证法1：不妨设，由（1）易得，要证，只需证，因为，且在上单调递减，所以只需证，结合知只需证，即证，设，，则，所以在上单调递增，因为，所以，故.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：．【解析】（1）∵，∴，令，得x＝1，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的减区间为，增区间为；（2）由（1）知，不妨设，构造函数，，故，故在上单调递减，，∵，∴，又∵，∴，即，∵，∴，，又∵在上单调递增，∴，即，得证．2．已知函数.(1)若是增函数，求实数a的取值范围；(2)若有两个极值点，，证明：.【解析】(1)函数的定义域为，，若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，，由得，所以a的取值范围是.(2)不妨设，因为，是的两个极值点，所以，即，同理，故，是函数的两个零点，即，由（1）知，，故应有，且，要证明，只需证，只需证，设，，则，所以在上单调递减，因为，所以，即，，又，，及在上单调递增，所以成立，即成立.3．（2021•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解答】解：（1）函数,，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故当时，函数取最小值，若函数有两个不同的零点，．则，即；证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设，则，且，若证．即证，构造函数，，所以，所以，，令，则，所以单调递增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因为在区间上单调递增，所以，故原不等式得证．(二) 含参型围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．【解析】(1)当时，，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；(2)因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设令,则当时，，则在上单调递增,所以故，因为,所以，又，则，又在上单调递减，所以，则．例2. 已知函数（a为常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求不等式的解集；（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅲ）求出，不妨设，则，根据函数的单调性得到，由，替换即可.【详解】（Ⅰ）的定义域为，，（1）当时，恒有，故在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；设，，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，，所以当时，，当时，，故的解集为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（Ⅱ）知时，，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1.函数有两极值点，且.证明：.所以，所以，因为，，在上单调递减,所以，即方法二: 比值代换法（韦达定理代换令t=x1x2）思维导图-----方法梳理比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1. 已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若函数存在两个零点，证明：．【分析】（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．（2）由（1）知两个零点，，，零点间关系是，变形为，引入变量，则，，，要证的不等式等价变形为，，即证，（），为此引入新函，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．【详解】（1）函数定义域是，由题意，当时，，递增，当时，，递减，所以时，取得唯一的极大值也是最大值．（2）由（1），即时，有两个零点，（），则，，由，得，令，则，，，，显然成立，要证，即证，只要证，即证，（），令，，，，令，则，，令，，，令，，时，是减函数，所以时，，所以是减函数，，即（），所以是减函数，，所以，在时是减函数，，即，所以在上是减函数，，所以，即，综上，成立．例2．已知函数．(1)若函数为增函数，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点、．求证：．【解析】(1)因为，该函数的定义域为，，若函数为增函数，则恒成立．令，，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，所以，，因此．(2)因为函数有两个极值点、，即方程有两个不等的实根、，因为在上递减，在上递增，所以，，即、是的两个根，所以，则，所以，，即证，即证．由两式作差得，令，则，，即只需证，即证．令，其中，则，故在区间上单调递减，当时，，命题得证．例3．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：.【解析】(1)的定义域为令，解得令，解得,所以的单调增区间为，减区间为(2)由（1）不妨设,由题知，, 两式相减整理可得：所以要证明成立，只需证明因为，所以只需证明令，则只需证明，即证令 ; 记,则易知，当时，，当时，所以当时，所以当时，，函数单调递增故，即所以，原不等式成立.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1. 已知函数.（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，，证明：.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；（2）根据零点的概念得到，利用分析法只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1），①当时，由于，故，，所以在内单调递减，无极值；②当时，由，得，在上，，在上，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）函数有两个零点，，不妨设，由（1）得，且，则，，，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得.【点睛】思路点睛：（1）通过单调性求函数的极值，定义域为，按照导函数的零点与区间端点0的关系进行分类讨论；（2）将利用表示，将不等式转化为关于的不等式，利用导数判断函数的单调性进行证明.2. 已知函数．（1）求的图象在处的切线方程；（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．【分析】（1）求出函数的导数，求得和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设，令可得出，由题意得出bx1=ln。