2022届高三一轮复习教学案（附答案）105离散型随机变量及其分布.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022届高三一轮复习教学案（附答案）105离散型随机变量及其分布 学案10.5离散型随机变量及其分布列 学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌管常见分布（二点分布、超几何分布、几何分布、二项分布）及其导出过程，并能举行简朴的应用． 2.离散型随机变量期望、方差的概念并能正确计算，掌管常见分布的期望、方差，并能解决一些实际问题． 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，并能解决有关问题． 【自主梳理】 1．离散型随机变量及其分布列： （1）离散型随机变量的分布列的概念：假设随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；假设随机变量X的全体可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，那么称X x1 x2 … xi … xn 表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量XP p1 p2 … pi … pn 的分布列，具有性质：（ⅰ）pi______0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝______. X 1 0 （2）常见分布：①二点分布：假设随机变量X的分布列为 P p q 其中0 ②超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么事情{X＝k}发生的概 nkCkMCN－M 率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m CnN － X 0 0C0CnM·N－M nCN－1 n1C1MCN－M CnN－… m nmCmMCN－M nCN－P … ＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，那么称 分布列超几何分布． ③几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事情第一次发生，假设把k次试验时事情A发生记为Ak，事A不发生记为Ak，P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事情的概率乘法 k?1分式：P(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qp(k?1,2,3,?)于 ? 1 q 2 qp 3 q2p … … k qk?1p … … 是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ按照几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.k?1,2,3? P ④二项分布：假设在一次试验中某事情发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事情恰好发生k kn?k次的概率是：P(ξ?k)?Ck（其中k?0,1,?,n,q?1?p），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我npqkn?k们称这样的随机变量ξ按照二项分布，记作?～B（n，p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p).二npq项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事情是否是举行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，假设不得志此两条件，随机变量就不按照二项分布。

当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又对比小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列 X x1 x2 … xi … xn 2.数学期望与方差： P p1 p2 … pi … pn （1）期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如右 图，那么称E(X)＝ 为X的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. （X）?0，故D（X）（2）方差、标准差的定义：D(X) ＝ 为X的方差. 鲜明D为ξ的根方差或标准差，随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散 的程度. D(X)越小，稳定性越高，波动越小. （3）均值与方差的常用性质： 1 (ⅰ)常见分布的期望与方差：若X按照二点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝pq.一般地，若X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；若X按照超几何分布，那么E(X)＝ n?M1；若X按照几何分布：E(X)＝，D(X)Np＝ q. 如能分析所给随机变量是按照常见分布，可直接利用公式求解． p2 (ⅱ) 运算性质：①E(C)＝C(C为常数)；② E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)，更加的E(X?E?X?)?0；③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；④若X1，X2相互独立，那么E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2；⑥D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．若已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用上述运算性质求解. 3. 正态分布：（1）密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间?a,b?内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影片面）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事情，故密度曲线与x轴所夹片面面积等于1. （2）正态分布与正态曲线：假设随机变量ξ的概率密度函数为f(x)?1e2???(x??)22?2（x∈(－∞，＋∞)， 2实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ按照参数为μ、σ的正态分布，用?～N?,?表示. f(x)的表达式 ??22可简记为N?,?，它的密度曲线简称为正态曲线。

正态分布的期望与方差：若?～N?,?，那么ξ ????的期望与方差分别为：E???,D???2. 1?x2(3)标准正态分布：假设随机变量ξ的概率函数为f(x)?e，那么称ξ按照标准正态分布. 即?～ 2?2N?0,1?非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N??,?2?，那么????x???～N?0,1?，据 此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：P???x0??P???x0??? ???(4)正态分布密度曲线的特点：①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 ________对称；③曲线在________处达成峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ确定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ确定时，曲线的外形由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （5）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ