习题课 综合法与分析法明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．对综合法的理解综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)2．对分析法的认识分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．题型一 选择恰当的方法证明不等式例 1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ca＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a0，＋≥2>0，∴(a＋b)(＋)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.方法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.证明 要证原式，只需证＋＝3，即证＋＝1，即只需证＝1，而由题意知A＋C＝2B，∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，∴＝＝＝1，∴原等式成立，即＋＝.反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．跟踪训练2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.证明 由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证＋＝2，只需证ay＋cx＝2xy，只需证2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明 (1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG平面BDE，AF⃘平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[呈重点、现规律]1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．一、基础过关1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )A．a≤ B．ab≥C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3答案 C解析 ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则( )A.<< B.<2，∴2ab<，由a2＋b2>＝，又∵0b>c解析 a＝，b＝，c＝.∴a>b>c.6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．答案 EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．7．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.证明 方法一 用综合法＋－－＝＝＝>0，∴＋>＋.方法二 用分析法要证＋>＋，只要证＋＋2>a＋b＋2，即要证a3＋b3>a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，即需证a2－ab＋b2>ab，只需证(a－b)2>0，因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，所以＋>＋成立．二、能力提升8.命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 由()x、2－x、2x－4成等比数列可得：(2－x)2＝()x2x－4，解得x＝4；由lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列得：2lg(x＋2)＝lg x＋lg(2x＋1)，可解得x＝4(x＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件. 9．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则( )A．Rb>1⇒lg a>0，lg b>0，Q＝(lg a＋lg b)>＝P，R>lg＝(lg a＋lg b)＝Q⇒R>Q>P.10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>2，|β|>2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋28＝32>25.∴|α＋β|>5.11．已知a>0，求证： －≥a＋－2.证明 要证 －≥a＋－2，只要证 ＋2≥a＋＋.因为a>0，故只要证 2≥2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证≥8成立．因为a＋b＋c＝1，所以只需证≥8成立，即证≥8成立．而≥＝8成立．所以(－1)(－1)(－1)≥8成立．方。
