分油问题的一般性求解.doc

经典趣味数学题—分油问题的一般性求解分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题它有很多种表述版本例如，版本1：日本分油问题有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各 一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品 脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油 ¨和两个3斤、7斤的空油¨，无法平均分出两份，每份5斤油韩信是如何解决这个难题的？版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5 千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？版本5：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容 量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分一）分析思路我们注意到这类题有几个共同的特点：（1）三个容器N!，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到 的油M是小于N的自然数。

2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大 于N1小于等于N2的油所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程方程列为N2·X+N1·Y=M其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个 特例与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值正值表示 倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数如果方程有多解，需要寻找一个最优解X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去具体如何实现只需要费一点点脑筋二）平均分油实例（1）日本分油问题的不定方程是：5X+3Y=4 解为：X=2，Y=-2步 数 8升容器 5升容器 3升容 器0 8 0 01 3 5（+1） 02 3 2 3（-1）3 6 2 04 6 0 25 1 5（+1） 26 1 4 3（-1）7 4 4 07步完成日本分油问题。

2）我们来解泊松分酒问题列方程8X+5Y=6我们得到的解为：X=2,Y=-2，这是一个最优解也就是从最大容器倒满8升容器2次，5升容器装满后倒出2次进入最大的容器，就会得到 来两个6升步 数 12品脱容器 8品脱容器 5品 脱容器0 12 0 01 4 8（+1） 02 4 3 5（-1）3 9 3 04 9 0 35 1 8（+1） 36 1 6 5（-1）7 6 6 0由此，7步解决分油问题3）韩信分油的不定方程是：7X+3Y=5;解为：X=2,Y=-3步 数 10斤油¨ 7斤油¨ 3斤 油¨0 12 0 01 3 7（+1） 02 4 4 3（-1）3 6 4 04 6 1 3（-1）5 9 1 06 9 0 17 2 7（+1） 18 2 5 3（-1）9 5 5 09步完成韩信分油问题4）史泰因豪斯问题的不定方程为：9X+5Y=7，解为：X=3,Y=-4步 数 14千克容器 9千克容器 5千 克容器0 14 0 01 5 9（+1） 02 5 4 5（-1）3 10 4 04 10 0 45 1 9（+1） 46 1 8 5（-1）7 6 8 08 6 3 5（-1）9 11 3 010 11 0 311 2 9（+1） 312 2 7 5（-1）13 7 7 0共13步完成分油问题注意，在大容器等于两小容器且均分的案例中，分油步骤等于X绝对值与Y绝对值之 和的2倍减1。

这可以判断出实际操作中你是否完成了最简的分油步骤5）别莱利曼问题的不定方程为：9X+5Y=6，解为：X=-1,Y=3步 数 12千克容器 9千克容器 5千 克容器0 12 0 01 7 0 5（+1）2 0 7 53 5 7 04 5 2 5（+1）5 10 2 06 10 0 27 1 9（-1） 28 1 6 5（+1）9 6 6 0共9步完成分油问题（三）分油拓展二元一次不定方程的解法也比较多，我基本上采用尝试方法不过尝试的时候也有些基本诀窍比如，从系数大的未知数开始取值，根据系数的奇偶性取值，根据倍数关系取值，根据末位数性质取值，这样就会比较快地得到答案现在，根据以上不定方程的解和具体的方法，会比较容易地解决分油问题要求最终要用较小容器来装较小量值的油，如在日本分油问题中，分出的2升油最后只能有3升容器而不能用5胜容器来装例如，我们可以求解出日本分油问题5X+3Y=1,2,,4,,6,7的所有情形泊松问题8X+5Y=1,2,3,4,,6,7,,9,10，11的所有情形韩信分油问题7X+3Y=1,2,,4,5,6,8,9的所有情形。