高中数学 第二章 点、线、面的投影【新】.doc

第二章第二章 点、直线、平面的投影导学案点、直线、平面的投影导学案 一切空间立体，从几何的观点出发都可看成是由点，线，面所 组成本章重点研究将三维空间中的点，直线，平面及其相对位 置关系在二维平面上表达出来的理论和方法通过这个学习的过 程，使学生初步建立起一定的空间概念，为学习后续内容打好基 础 3.13.1 投影的概念投影的概念 一、投影一、投影 在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体 相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体 表达为平面图形的方法，即投影法 在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称 为投影线； 投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面； 投影— ——在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图 二、投影法的分类二、投影法的分类 投影法依投影线性质的不同而分为两类： 1．中心投影法 投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得 的图形，称为中心投影投影线的出发点称为投影中心这种投 影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图 如图所示由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大 小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法中心投影法中心投影法平行投影法（平行投影法（a）） 平行平行 投影法（投影法（b）） 2．平行投影法 如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过 物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进 行投影的方法称为平行投影法。

在平行投影法中，根据投射方向 是否垂直投影面 平行投影法又可分为两种， （1）斜投影法：投 影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投 影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简 称正投影法如上图所示正投影法是工程制图中广泛应用的方 法 3．轴测投影 轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的 一种方法用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量 物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一 种较好的辅助手段以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基 本知识 三、正投影的基本特性三、正投影的基本特性正投影特性正投影特性 以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图 2—4 所示 1．真实性 当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面 图形的真实形状； 2．积聚性 当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点， 平面图形的投影积聚成一条线； 3．类似性 当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段， 比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形， 而是原平面图形的类似形 由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实 形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒 处于平行或垂直的位置。

四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立） 如图所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投 影是相同的很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的 投影，是不能表示物体的形状和大小的一个投影不能确定物体的形状一个投影不能确定物体的形状 1．三个投影面的建立 一般需将物体放置在如图 3—2 的三面投影体系中，分别向三 个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补 充即可反映出物体的真实形状和大小图 3—2 三面投影体系 2．三投影面名称正投影面——正立着的面，简称正投影面或 V 面， 水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或 H 面，侧投影面——册立着的面为侧投影面，简称侧面或 W 面 在三投影面中：OX 轴——V 面和 H 面的交线，OY 轴——H 面和 W 面的交线， OZ 轴——V 面和 W 面的交线，坐标原点 O——OX、OY、OZ 三轴的交点 五、三视图的形成五、三视图的形成 按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图为了得到能 反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影 体系中，分别向 V 面、H 面、W 面进行投影美丽 V 面上得到的投 影称为主视图；在 H 面上得到的投影称为俯视图；在 W 面上得到 的投影称为左视图。

为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开展开方法：V 面不动，H 面绕 OX 轴旋转 900，W 面绕 OZ 轴旋转 900，使 H、W 面与 V 面形成同一平面在旋转工程中， 需将 OY 轴一分为二，随 H 面的称为 OYH，随 W 面的 OYW值 得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框， 视图按上述位置布置时，不需注出视图名称 六、三视图的投影关系六、三视图的投影关系 从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：1．位置关系 俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边； 2．方位关系 任何物体都有前后、上下、左右六个方位而每个视图只能表 示其四个方位，如图 3-3 所示 在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示 物体的左、右；俯左视图表示物体的前后靠近主视图的一面是 物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面三视图的形成三视图的形成图图 3-3 三视图与物体的方位关系三视图与物体的方位关系 3．三等关系 任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X 方 向）的尺度称为长，上下方向（Z 方向）尺度称为高，前后方向 （Y 方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图 3—4 所示） 主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度， 俯、左视图反映了物体的宽度。

归纳上述三视图的三等关系是： 主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等简称为三视图的 关系是上对正，高平齐，宽相等关系 同时对应到坐标上应有以下关系： 1．长对正——X 坐标相等2．宽相等——Y 坐标相等 3．高平齐——Z 坐标相等 如此可以把这种空间形象的方位关系转化为“数学上的关系数学上的关系” ， 为以后的利用数学方法分析题目打下基础 注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部 分都应符合三等关系分都应符合三等关系图 3-4 三视图的三等关系 2.2 点的投影点的投影 学习目标：学习目标：掌握点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方 法 教学重难点：教学重难点： 点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法课时：课时：4 个课时 空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的 轨迹，所以点是最基本的集合元素学习和掌握集合元素的投影 规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状一、点的投影和三面投影规律一、点的投影和三面投影规律点的投影仍然是点，如图所示，设：空间有一点 A，自 A 分别向三个投影面作垂线（即投影线） ，得三个垂足、、。

aaa 、、分别表示 A 点在 H 面、V 面、W 面的投影 （通常规aaa 定空间点用大写字母如：A、B、C……等表示，其投影用响应的小写字母，如、、……等表示）见下图这样，A 点到 W abc 面的距离为 A 点的 X 坐标，A 点到 V 面的距离为 A 点的 Y 坐标， A 点到 H 面的距离为 A 点的 Z 坐标若用坐标值确定点的空间位 置时，可用下列规定书写形式： A=（XA，YA，ZA） ， B=（XB，YB，ZB）………点的三面投影点的三面投影由作图可知，⊥H 面，⊥V 面，⊥W 面则通过AaaA aA  所作的平面 P 必然同时垂直于 H 面和 V 面，当然，也垂直于aA H 面与 V 面的交线 OX 轴，它与 OX 轴的交点用表示，显然xaAx是一矩形，同理 Ay和 Az也是矩形这aaaa a aaaa 三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影 面的响应矩形围成一长方体因为长方体中相互平行棱线长度相 等，故可得点与三个投影面的关系为：1．=y=z=x（均为坐标 XA）aA  aaaaoa2. =x=z=y（均为坐标 YA）aA  aaaa  oa3．=x =y=z（均为坐标 ZA）Aaaaaa  oa可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标 值决定的。

点由 ox和 oy，即 A 点的 XA，YA两坐标决定；aaa点由 ox和 oz，即 A 点的 XA，ZA两坐标决定；点由aaaa oy和 oz，即 A 点的 YA，ZA两坐标决定如图 2—10（a）所aa 示，将三投影面展开，使其与 V 面成同一平面为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到和（称为aa aa  投影连线） ，分别与 X、Z 轴相交于x和z点由于 Y 轴展开后aa 分为 Yh和 Yw，在作图时，一种方法是采用以 O 点为圆心画弧 yH和yw，如图 2—10（b） ，另一种方法是自 O 点作 450斜线，aa 再从yH引 Y 轴的垂线与 450斜线得交点，再从此点引 Yw的垂线a与由引出的 Z 轴的垂线交点，即为点a a 注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c）所示 按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面 投影规律：1．点的正投影和水平投影的连线垂直于 X 轴，即⊥OXaa两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离即：⊥OX，z=yH=XAaaaaaa2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 Z 轴，这两aa 个投影都反映空间点的 Z 坐标，即便表示点到水平面的距离。

⊥Z 轴，x=yw=ZAaa aaa a 3．点的水平投影到 X 轴的距离等于其侧面投影到 Z 轴的距离， 这两个投影都反映空间的 Y 坐标，表示空间点到正投影面的距离：x=z=YA显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图aaaa 规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的 应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值 X、Y、Z 画出其三面投影图2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图 例 3-1 已知点 A 的水平投影 a 和正面投影 a′，求其侧面投影a″ （题目）（求解） 分析：利用长对正，宽相等，高平齐的方位相等关系，也就是 XYZ 三坐标相等，可以做出如上图中 YH 和 YW 中间的斜 45°辅 助线，然后过 a′和 a 分别作出∥于相应投影轴的线最终做出一个 以三投影为顶点的方形，且方形的第四个顶点就在 45°辅助线上例题 1：已知：A（20，10，35） 求作：A 点的第三面投影 例题 2：已知：点的两面投影求作：点的第三面投影 例题 3：已知 A、B 两点的两面的投影求作：第三面投影并确定其相对位置 解：∵XB＞XA，∴B 点在左，A 点在右∵ZA＞ZB， ∴A 点在上，B 点在下 ∵YA＞YB， ∴B 点在后，A 点在前总的结论：A 点在 B 点的右前上方，B 点在 A 点的左后下方。

其它的例题自学 二、两点的相对位置和重影点二、两点的相对位置和重影点 1．两点的相对位置 根据相对于投影面的距离确定如图 2—11 所示 （1）距离 W 面远者在左，近者在右（根据 V、H 的投影分析） ；（2）距离 V 面远者在前，近者在后（根据 H、W 面的投影分析） ；（3）距离 H 面远者在上，近者在下（根据 V、W 面的投影分析）图图 2——11 两点的相对位置两点的相对位置 2．重影点 当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而 对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影 面的重影点在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投 影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点 是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起 来 如图所示分别列出 H 面、V。