第30讲：函数的奇偶性和周期性（解析版）-高三数学二轮复习.docx

第30讲：函数的奇偶性和周期性解析版【基础知识回顾】1、函数的奇偶性 奇函数：（1），（2），（3）图像关于原点对称 偶函数：（1），（2）图像关于y轴对称2、奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.3、 常见函数的奇偶性奇函数：,偶函数：4、函数的周期性(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．(2)常见结论：若，则；若，则；若，则.【典型题型讲解】考点一：函数的奇偶性的判断例1.（多选）下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有（ ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，的图象关于原点对称，，因此ABD都是奇函数，，C不是奇函数，实质上也不是偶函数，排除C，又在上有增有减，只有和是增函数．故选：BD．【方法总结】函数的奇偶性判断方法：图像法和解析式法【练一练】1.判断下列函数的奇偶性．（1）； （2）；【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.【详解】（1）因为定义域为：所以定义域关于原点对称，又因为，所以函数f（x）是偶函数；（2）因为定义域为R，关于原点对称又因为，则，，所以是非奇非偶函数；2.（多选）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.故选：AC3.判断下列函数的奇偶性:(1); (2).【答案】(1)偶函数.(2)奇函数.【详解】解:(1)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有,为偶函数.(2)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有,为奇函数.4.下列函数为偶函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】A.函数是非奇非偶函数，BC都是奇函数，D.满足，定义域是，是偶函数.故选:D.5．下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，定义域为，，是偶函数，而在上递减，A不符合；对于B，定义域为，，是偶函数，在上递增，B符合；对于C，定义域为，不是偶函数，C不符合；对于D，定义域为，，是奇函数，D不符合.故选：B6.下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：对于A：，为偶函数，但值域为，故A不正确；对于B：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B不正确；对于C：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确；对于D：为偶函数，且值域为，故D正确；故选：D.考点二：函数奇偶性的应用例1.已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 由题意，设，则，则，因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，.例2.已知是奇函数，当时，，则的值是（ ）A．8 B．8 C．4 D．4【答案】D【详解】由奇函数知：.故选：D【方法总结】函数的奇偶求函数的解析式【练一练】1.已知函数，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以.故选：D.2.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）A． B． C．1 D．3【答案】A【详解】函数是奇函数，当时，，.故选：A.3.已知是奇函数，当时，，则（ ）A．1 B．0 C． D．【答案】D【详解】由题意，.故选：D.4.若为奇函数，则的值为（ ）A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】C【详解】∵为R上的奇函数，∴得a=1.验证满足题意.故选：C5.已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由图可知，因为函数是偶函数，所以，故选：D6.已知，若，则（ ）A．-14 B．14 C．-6 D．10【答案】A【详解】，又，所以故选：A7.若函数为奇函数，则=（ ）A． B． C． D．1【答案】A【详解】∵为奇函数，∴，得．故选：A.考点三：函数的周期性例1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【详解】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，又由，则有，则，故选：C.例2.函数是偶函数，最小正周期为4，当时，，则＝（ ）A．－2 B．2 C．4 D．8【答案】B【详解】函数的周期为，则，又函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，，所以，故选：B【方法总结】函数的周期性的应用【练一练】1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【详解】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，又由，则有，则，故选：C.2．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则（ ）A．4 B． C．2 D．-2【答案】D【详解】因为，所以函数是周期为4的周期函数，则（1），故选：D．3．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意得函数是定义在上的奇函数，可知，由于对任意都有，所以是周期为的周期函数，所以.故选：A4．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，函数的周期为，又因为函数为奇函数，所以，可得.故选：A.5.函数满足，若，则（ ）A．3 B．-3 C．6 D．2022【答案】B【详解】因为函数满足，即，则，所以函数是周期函数，周期为8，所以．故选：B．6.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，所以函数是周期为的周期函数，又是奇函数，所以，，，，所以，所以，故选：D．7.设为奇函数，对任意均有，已知则等于（ ）A．-3 B．3 C．4 D．-4【答案】A【详解】为奇函数，对任意均有，.故选：A.8．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（ ）A．0 B． C．2 D．5【答案】B【详解】解：根据题意，函数满足，则有，即函数是周期为8的周期函数，函数是定义在上的奇函数，则，(4)，(5)（1），则（1），故选：B.【巩固练习】1.函数的图像为（    ）A． B．C． D．【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.2.函数在区间的图象大致为（    ）A． B．C． D．【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.3.函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A． B． C． D．【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）A． B． C． D．【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.6.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．7.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B8.已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ）A． B．C． D．【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B9.函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.10．设函数,则（    ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．11．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【详解】 时，, 为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.12．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A． B．C． D．【详解】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．。