导数与数列(总2页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上导数与数列02数列与函数导数结合证明不等式问题，是近年来高考考查的热点问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．特别注意：由函数向数列过渡时，要分析所求数列的结构特点，特别是数列的“长式”通项的特点一、常用的结论（一）常用的数列求和公式1． 2．3．（二）常用的方法1．列项相消法若一个数列的通项为，则，若题目出现了时，可考虑此法2．放缩法与裂项法（1）缩：；2）放：当n≥2时，；当n≥2时，3．逐商法若一个数列的通项为，则，若题目出现了时，可考虑此法4．逐差法若一个数列的通项为，则，若题目出现了时，可考虑此法三）常用的不等式：（1）lnx≤x-1，(x＞0) （2）ln(x+1)≤x，(x＞0)（3）ex≥x+1，（4）e-x≥x+1，（5）sinx＜x＜tanx，公式lnx≤x-1，(x＞0)的应用：当n≥2，n∈N*时，lnn≤n-1，两边同除以n，得：∴(n≥2，n∈N*)二、典型例题1.（2016•商丘三模）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数（和“总存在极值”一个意思），求m的取值范围；（Ⅲ）求证：(n≥2，n∈N*)．解：（Ⅰ）(x＞0)，当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）由题意知：，得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3，，∴，∴g′（x）=3x2+（m+4）x-2，∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，∴，∵对于任意的t∈[1，2]，g(x)在区间（t，3）上总不是单调函数，∴对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，即，解得−＜m＜−9，∴m的取值范围是−＜m＜−9。

Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x-3＜-4，∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，∴，∴(n≥2，n∈N*)专心---专注---专业。