几类三角函数有理式不定积分的求法.docx

几类三角函数有理式不定积分的求法 摘要】三角函数有理式不定积分的计算是高等数学的重点与难点，本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进展了分类，针对每种类型总结出了详细的计算方法.【关键词】三角函数;不定积分;凑微分法;分部积分法由u〔x〕，v〔x〕及常数经过有限次四那么运算所得到的函数称为关于u〔x〕，v〔x〕的有理式，并用R〔u〔x〕，v〔x〕〕表示.∫R〔cosx，sinx〕dx是三角函数有理式的不定积分，解决这类问题，比拟常用的方法是通过万能公式代换，将其转化为有理函数的积分，但有时计算非常烦琐.本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进展了分类，针对每种类型总结出了详细的计算方法.一、不定积分∫fn〔x〕dx的计算方法〔其中f〔x〕为三角函数，n∈Z，n≥2〕〔一〕f〔x〕=sinx或f〔x〕=cosx一般来说，对于不定积分∫sinnxdx和∫cosnxdx，假设n为奇数时，那么可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分，然后积分.假设n为偶数时，那么可先利用倍角公式降幂，然后再进展计算，或者利用分部积分法降低f〔x〕的次数，求得递推公式，然后利用递推公式，求出∫fn〔x〕dx.例1  求∫sin4xdx.解 法一：∫sin4xdx=∫ 1-cos2x2 2dx=∫1+cos22x-2cos2x4dx=x-sin2x4+∫1+cos4x8dx=3x8-sin2x4+sin4x32+c;法二：∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx=-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx=-sin3xcosx+3∫sin2x〔1-sin2x〕dx=-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx=-sin3xcosx+3 x2-sin2x4 -3∫sin4xdx.从而可得∫sin4xdx=-sin3xcosx4+38x-316sin2x+c.例2  求∫cos3xdx.解 ∫cos3xdx=∫cos2xd〔sinx〕=∫〔1-sin2x〕d〔sinx〕=sinx-sin3x3+c.〔二〕f〔x〕=tanx或f〔x〕=cotx对于不定积分∫tannxdx〔或∫cotnxdx〕，可将二次幂因子tan2x〔或cot2x〕交换为sec2x-1〔或csc2x-1〕，然后拆项，一部分凑微分，另一部分降低f〔x〕的次数进展计算.例3  求∫tan4xdx.解 ∫tan4xdx=∫tan2x〔sec2x-1〕dx=∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx=∫tan2xd〔tanx〕-∫〔sec2x-1〕dx=tan3x3-tanx+x+c.例4  求∫cot5xdx.解 ∫cot5xdx=∫cot3x〔csc2x-1〕dx=∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx=-∫cot3xd〔cotx〕-∫cotx〔csc2x-1〕dx=-cot4x4+∫cotxd〔cotx〕+∫cotxdx=-cot4x4+cot2x2+ln|sinx|+c.〔三〕f〔x〕=secx或f〔x〕=cscx对于不定积分∫secnxdx〔或∫cscnxdx〕，假设n为偶数时，可将二次幂因子sec2x〔或csc2x〕拿出一个与dx凑微分，然后积分.假设n为奇数时，那么可利用分部积分法降低f〔x〕的次数，求得递推公式，然后利用递推公式，求出∫fn〔x〕dx.例5  求∫csc4xdx.解 ∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫〔1+cot2x〕dcotx=-cotx-cot3x3+c.例6  求∫sec3xdx.解 首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx=secxtanx-∫secx〔sec2x-1〕dx=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx=secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.從而可得∫sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|2+c.二、不定积分∫sinmxcosnxdx的计算方法〔m，n∈Z+〕一般说来，对于不定积分∫sinmxcosnxdx，假设m和n至少有一个为奇数时，那么可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分，然后积分.假设m和n均为偶数时，那么可先利用倍角公式降幂，然后再进展计算.例7  求∫sin2xcos5xdx.解 ∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd〔sinx〕=∫sin2x〔1-sin2x〕2d〔sinx〕=∫sin2x〔1-2sin2x+sin4x〕d〔sinx〕=∫〔sin2x-2sin4x+sin6x〕dx=sin3x3-2sin5x5+sin7x7+c.例8  求∫sin2xcos2xdx.解 ∫sin2xcos2xdx=∫ 1-cos2x2   1+cos2x2 dx=∫1-cos22x4dx=∫sin22x4dx=∫1-cos4x8dx=x8-sin4x32+c.三、不定积分∫sinmxcosnxdx的计算方法〔m，n∈Z+〕对于不定积分∫sinmxcosnxdx，假设m为奇数时，那么可将分子拿出一个sinx与dx凑微分，然后进展计算.假设m为偶数时，那么可将分子写为cosx的函数，然后再根据本文第一部分∫fn〔x〕dx的计算方法进展计算.例9  求∫sin3xcos5xdx.解 ∫sin3xcos5xdx=∫〔cos2x-1〕cos5xd〔cosx〕=∫〔cos-3x-cos-5x〕d〔cosx〕=-12cos2x+14cos4x+c.例10  求∫sin4xcos3xdx.解 ∫sin4xcos3xdx=∫〔1-cos2x〕2cos3xdx=∫1-2cos2x+cos4xcos3xdx=∫〔sec3x-2secx+cosx〕dx=secxtanx+ln|secx+tanx|2-2ln|secx+tanx|+sinx+c=secxtanx-3ln|secx+tanx|2+sinx+c.同理，不定积分∫cosmxsinnxdx，∫tanmxsecnxdx等也可用上述方法求解，请读者自行练习.四、不定积分∫1sinmxcosnxdx的计算方法〔m，n∈Z+〕对于不定积分∫1sinmxcosnxdx，经常将1利用公式sin2x+cos2x=1进展交换，然后拆项降低分母的次数，从而简化运算.例11  求∫1sin3xcos2xdx.解 ∫1sin3xcos2xdx=∫sin2x+cos2xsin3xcos2xdx=∫1sinxcos2xdx+∫1sin3xdx=∫sin2x+cos2xsinxcos2xdx+∫1sin3xdx=∫sinxcos2xdx+∫cscxdx+∫csc3xdx=∫1-cos2xdcosx+∫cscxdx+∫csc3xdx=1cosx+ln|cscx-cotx|+-cscxcotx+ln|cscx-cotx|2+c=1cosx+3ln|cscx-cotx|-cscxcotx2+c.五、不定积分∫sinxasinx+bcosxdx的计算方法〔ab≠0〕用万能公式解这类问题虽然有效，但比拟烦琐，本文主要介绍以下两种方法：1.可以通过待定系数法来求解，先将被积函数分解为sinxasinx+bcosx=A〔asinx+bcosx〕+B〔asinx+bcosx〕′asinx+bcosx，将A，B解出，从而原积分化为∫Adx+∫Basinx+bcosxd〔asinx+bcosx〕，然后进展计算.2.可以利用三角函数关系式将分母写为两角和的正弦，并将分子也化为同一角的三角函数，然后拆项进展计算.例12  求∫sinx2sinx+cosxdx.解 先将被积函数分解为sinx2sinx+cosx=A〔2sinx+cosx〕+B〔2sinx+cosx〕′2sinx+cosx，整理得，sinx=〔2A-B〕sinx+〔A+2B〕cosx比拟恒等式，有2A-B=1，A+2B=0， 解得，A=25，B=-15.于是∫sinx2sinx+cosxdx=∫ 25〔2sinx+cosx〕-15〔2sinx+cosx〕′2sinx+cosxdx=∫25dx-15∫12sinx+cosxd〔2sinx+cosx〕=25x-15ln|2sinx+cosx|+c.【参考文献】【1】华东师范大学数学系，数学分析：第三版[M].北京：高等教育出版社，2021.【2】曾海福，一道不定积分题的九种解法[J].科技信息，2021〔23〕：599.【3】劉桂兰，季红蕾，黄素珍.一道三角函数有理式的不定积分的解法[J].数学学习与研究，2021〔19〕：104.方法[J].大庆师范学院学报，1996〔4〕：22-23，26.。