利用分块矩阵证明有关矩阵的秩.docx

第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A是数域P上的nm矩阵，B是数域P上的ms矩阵，求证秩（AB）≤min｛秩A，秩B｝证明：令B1，B2，…，Bm为B的行向量，则有由上可知，AB的行向量是B的行向量的线性组合，因此秩AB≤秩B；同理，令A1，A2，…，Am为A的列向量，同样可得AB的列向量是A的列向量的线性组合，因此秩AB≤秩A综上所述，秩（AB）≤min｛秩A，秩B｝命题1：证明秩（A+B）≤秩（A）+秩（B）证明：令A1，A2，…，An为A的列向量，令B1，B2，…，Bn为B的列向量，从而A+B=（A1+B1，A2+B2，…，An+Bn），即其每个列向量均可由｛A1，A2，…，An，B1，B2，…，Bn｝线性表出，不妨设｛A1，A2，…，Aｒ｝｛B1，B2，…Bｔ｝分别为｛A1，A2，…，An｝｛B1，B2，…，Bn｝的极大线性无关组则A+B的列向量均可由向量组｛A1，A2，…，Aｒ，B1，B2，…Bｔ｝线性表出因此秩（A＋B）＝秩｛A1+B1，A2+B2，…，An+Bn｝≤秩｛A1，A2，…，Aｒ，B1，B2，…Bｔ｝≤r+t，即秩（A+B）≤秩（A）+秩（B）命题2：设A为数域P上的n阶方阵，若A2=E，证明秩（A+E）+秩（A－E）＝n。

证明：　　　　矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n由此可得秩（A+E）+秩（A－E）＝n命题3：设A为数域P上的n阶方阵，若A2=A，证明秩（A）+秩（A－E）＝n证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n由此可得秩（A）+秩（A－E）＝n命题4（Sylvester不等式）设A为数域P上的sn矩阵，B为数域P上的nm矩阵，证明秩（AB）≥秩（A）+秩（B）－n证明：显然，秩C=n+秩AB又最后一个矩阵中可以取到一个r+t阶子式其中∣M∣是B的最高阶（r阶）非零子式，∣N∣是A的最高阶（t阶）非零子式，故此矩阵的秩≥r+t.因此n+秩AB≥r+t，即有秩（AB）≥秩（A）+秩（B）－n命题5（Sylvester等式）设A为数域P上的sn矩阵，B为数域P上的nm矩阵，证明λn∣λEm-AB∣=λm∣λEn-BA∣，其中λ≠0证明：构造分块矩阵分别进行初等变换：将上两式两边分别取行列式可得即因此得。