411利用函数性质判定方程解的存在课件整理.ppt

给定的二次函数给定的二次函数y＝＝x2＋＋2x－－3，其图像如下：，其图像如下：问题问题1：方程：方程x2＋＋2x－－3＝＝0的根是什么？的根是什么？提示：提示：方程的根为－方程的根为－3,1. 问题问题2：函数的图像与：函数的图像与x轴的交点是什么？轴的交点是什么？ 提示：提示：交点为交点为(－－3,0)，，(1,0)．． 问题问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：提示：相等．相等． 问题问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？函数值符号有什么特点？ 提示：提示：在每一点两侧函数值符号异号．在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点．函数的零点 (1)函数的零点：函数函数的零点：函数y＝＝f(x)的的 与与 称为这个函数的零点．称为这个函数的零点． (2)函数函数y＝＝f(x)的零点，就是方程的零点，就是方程 的解．的解． 2．零点存在性定理．零点存在性定理若函数若函数y＝＝f(x)在闭区间在闭区间[a，，b]上的图像是上的图像是 ，并且在，并且在区间端点的函数值区间端点的函数值 ，即，即 ，则在，则在(a，，b)内，内，函数函数y＝＝f(x) 零点，即相应的方程零点，即相应的方程f(x)＝＝0在在(a，，b)内至少有一个实数解．内至少有一个实数解．注：零点不是点，是使注：零点不是点，是使f(x)＝＝0成立的成立的x的值。

的值图像图像横轴的交点的横横轴的交点的横坐标坐标f(x)＝＝0连续曲线连续曲线符号相反符号相反f(a)·f(b)<0至少有一个至少有一个 1．方程．方程f(x)＝＝0有实数解有实数解⇔⇔函数函数y＝＝f(x)的图像与的图像与x轴有交点轴有交点⇔⇔函数函数y＝＝f(x)有零点．有零点． 2．．f(a)·f(b)<0只能判断出零点的存在性，而不能只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图和图(2)．．分别有分别有4个零点和个零点和1个零点．个零点． 3．函数．函数y＝＝f(x)在区间在区间(a，，b)内存在零点，却不内存在零点，却不一定推出一定推出f(a)·f(b)<0如图．如图．判断零点所在区间  [例例1]　求下列函数的零点．　求下列函数的零点． (1)y＝－＝－x2－－x＋＋20；； (2)f(x)＝＝x4－－1. [思路点拨思路点拨]　先因式分解，再确定函数的零点．　先因式分解，再确定函数的零点． [精解详析精解详析]　　(1)y＝－＝－x2－－x＋＋20＝－＝－(x2＋＋x－－20)＝＝－－(x＋＋5)(x－－4)，， 方程－方程－x2－－x＋＋20＝＝0的两根为－的两根为－5,4. 故函数的零点－故函数的零点－5,4；；(2)由于由于f(x)＝＝x4－－1＝＝(x2＋＋1)(x＋＋1)(x－－1)，，∴∴方程方程x4－－1＝＝0的实数根是－的实数根是－1,1.故函数的零点是－故函数的零点是－1,1.1．若函数．若函数f(x)＝＝ax－－b有一个零点是有一个零点是3，那么函数，那么函数 g(x)＝＝bx2＋＋3ax的零点是的零点是________．． 解析：解析：∵∵函数函数f(x)＝＝ax－－b的零点是的零点是3，， ∴∴3a－－b＝＝0，， 即即b＝＝3a.于是函数于是函数g(x)＝＝bx2＋＋3ax＝＝bx2＋＋bx ＝＝bx(x＋＋1)，令，令g(x)＝＝0，得，得x＝＝0或或x＝－＝－1. 答案：答案：0，－，－1 [例例1]　判断下列函数有几个零点？　判断下列函数有几个零点？ (1)y＝＝ex＋＋2x－－6；； (2)y＝＝log2x－－x＋＋2. [精解详析精解详析]　　(1)由于由于y1＝＝ex在在R上单调递增，上单调递增，y2＝＝2x－－6在在R上单调递增，上单调递增，∴∴y＝＝ex＋＋2x－－6在在R上单调递增．上单调递增． 又又f(0)＝＝1＋＋0－－6＝－＝－5<0，，f(3)＝＝e3＋＋6－－6＝＝e3>0. ∴∴y＝＝f(x)在在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一上有一个零点．从而知此函数只有一个零点；个零点； (2)函数对应的方程为函数对应的方程为log2x－－x＋＋2＝＝0.即求函数即求函数y＝＝log2x 与与y＝＝x－－2图像交点个数．图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有有2个交点．从而函数个交点．从而函数y＝＝log2x－－x＋＋2有两个零点．有两个零点． [一点通一点通]　　 判断函数零点个数的方法主要有：判断函数零点个数的方法主要有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．． (2)用定理：零点存在性定理．用定理：零点存在性定理．(常结合单调性）常结合单调性） (3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝＝f(x)，，y＝＝g(x)的图像，其交点的横坐标是的图像，其交点的横坐标是f(x)－－g(x)的零点．的零点．答案：答案：C答案：答案：C [例例3]　当　当a取何值时，方程取何值时，方程ax2－－2x＋＋1＝＝0一个根在一个根在(0,1)上，另一个根在上，另一个根在(1,2)上？上？ [思路点拨思路点拨]　当　当a＝＝0，，a>0，，a<0三种情况讨论列出关三种情况讨论列出关于于a的不等式，最后求得结果．的不等式，最后求得结果． [精解详析精解详析]　　(1)当当a＝＝0时，方程即为－时，方程即为－2x＋＋1＝＝0，只，只有一根，不符合题意．有一根，不符合题意． [一点通一点通]　　 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：解决二次方程根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑三个方面：结合草图考虑三个方面：①①Δ与与0的大小；的大小；②②对称轴与对称轴与 所给端点值的关系；所给端点值的关系；③③端点的函数值与零的关系．端点的函数值与零的关系． (3)写出由题意得到的不等式．写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．6．若函数．若函数y＝＝ax2－－x－－1只有一个零点，求实数只有一个零点，求实数a的取值的取值 范围．范围． 1．判断函数零点个数的方法有以下几种：．判断函数零点个数的方法有以下几种： (1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题．函数零点问题． (2)画出函数的图像，由与画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几轴交点的个数判断出有几个零点．个零点． (3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定．至少存在一个零点，个数有可能不确定． (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．图像的交点． 2．函数的零点的作用：．函数的零点的作用： (1)解决根的分布问题．解决根的分布问题． (2)已知零点的存在，求字母的范围．已知零点的存在，求字母的范围． 3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑：面考虑： (1)二次函数的开口方向　二次函数的开口方向　 (2)判别式　判别式　 (3)对称轴　对称轴　 (4)特殊点对应的函数值特殊点对应的函数值。