水文曲线基本知识归纳汇编.docx

水文曲线基本知识归纳 Pearson-III曲线（见下图）： 一般用均值、变差系数和偏态系数三个统计参数来描述P-III型曲线，其中： ， 从而我们有： 其中、和为皮尔逊III型曲线（数学上称为伽玛分布）的形状、尺度和位置参数，亦即有，，，且、、；为的（完全） 伽玛函数，即∞ 注：①不完全伽玛函数形式为 ②偏态系数一般不进行计算，而直接采用与的倍比，通常为2～3 ③即便给定各参数的值，直接用积分方法求P也是比较困难的，见下例： 设x=4，Cv=3，Cs=6，求x>=10时的P，MATLAB指令如下： >> syms x; >> P=int(x^(1/9-1)*exp(-x/36),x,10,+inf) 运算结果为：P = 6^(2/9)*igamma(1/9, 5/18)，这是一个不完全伽玛函数，运算无法给出具体数值，因此需要用其他间接方法求 PIII曲线求解Xp的思路： 记的一个原函数为F(X)，用MATLAB可以很容易地求出 ，其中即为上面提到的不完全伽玛函数。

设 1/A=，0≤P≤1为任一指定的累积概率密度数值，根据牛顿- 莱布尼茨法则，有P*A = = F(Xp) - F()，其中，且，故P*A = ，从而有： 解这个方程，我们便可求得Xp = Xp(，，；)，问题的关键是看能否用方程把Xp 显性地表示出来用MATLAB对此进行尝试，MATLAB指令如下： clear all syms alpha beta a0t P X Xp; q=t^(alpha-1)*exp(-t); T=int(q,'t',0,+inf); A=T/beta^alpha; f=(X-a0)^(alpha-1)*exp(-beta*(X-a0)); F=int(f,'X');%We get F(x) here, then we can calculate F(Xp) and F(a0) g=-beta^(-alpha)*int(q,'t',0,beta*(Xp-a0))-P*A; %g=F(Xp)-P*A X_star=solve(g,Xp)%X_star is what we are seeking for, equals to Xp 此程序运行的结果为：X_star = [ empty sym ] 我们发现返回的Xp值是空值，这是因为F(Xp)的表达式中含有不完全伽玛函数，而不完全伽玛函数的值是无法直接计算出来的，现实中人们通常是在既定的参数情况下通过查表或近似计算而获得其粗略值。

外生参数的取值情况对P-III曲线位置和形状的影响： 对曲线的影响： 影响曲线的位置，即越小，曲线就越往左移动；相反，越大，曲线就越往右移动 Cv对P-III曲线的影响： Cv称为变差系数，其概念类似于统计学中的峰度系数，Cv越小，曲线就越“瘦”，相反，Cv越大，曲线就越“胖” Cs对P-III曲线形状的影响： Cs称为偏态系数，其概念类似于统计学中的偏度系数当Cs=0时，曲线呈对称状；当Cs0时，曲线呈正偏或称右偏，即曲线的“尾巴”在右侧，此时正如上页图中所示 与曲线顶点横坐标（设为Xc）的位置关系： 当Cs=0时，由于P-III曲线此时呈现对称状，就是于曲线顶点所在的横坐标，即=Xc； 当Cs0时，曲线右偏，位于顶点坐标的右侧，即>Xc 见下图： 概率分布与曲线形状（Cs）及位置（）的关系： 关于的取值与Cs的关系： 当Cs=0时，P-III曲线是左右对称的，此时；那么，当Cs0（常规水文P-III曲线的状态）时， 关于的取值与Cs的关系： 先利用MATLAB程序求出P-III曲线顶点的横坐标Xc的值，指令如下： clear all syms Cs Cv X_bar t X; alpha=4/(Cs^2); beta=2/(X_bar*Cv*Cs); a0=X_bar*(1-2*Cv/Cs); q=t^(alpha-1)*exp(-t); T=int(q,'t',0,+inf); A=T/beta^alpha; A1=1/A; f=A1*(X-a0)^(alpha-1)*exp(-beta*(X-a0)); g=diff(f,X); Xc=solve(g,X); 返回的结果为：Xc=X_bar-(Cs*Cv*X_bar)/2-X_bar*((2*Cv)/Cs-1)，即： 当X=Xc时，P-III曲线达到顶点。

我想知道当X=Xc时，累积概率密度是多少，利用下面的指令： clear all syms Cs Cv X_bar t X; alpha=4/(Cs^2); beta=2/(X_bar*Cv*Cs); a0=X_bar*(1-2*Cv/Cs); q=t^(alpha-1)*exp(-t); T=int(q,'t',0,+inf); A=T/beta^alpha; A1=1/A; f=A1*(X-a0)^(alpha-1)*exp(-beta*(X-a0)); Xc=2*X_bar*(1-(Cv*Cs)/4-Cv/Cs); F=int(f,'X',a0,Xc); 返回的结果为： Warning: Explicit integral could not be found. F =int(((X + X_bar*((2*Cv)/Cs - 1))^(4/Cs^2 - 1)*(2/(Cs*Cv*X_bar))^(4/Cs^2))/(exp((2*(X + X_bar*((2*Cv)/Cs - 1)))/(Cs*Cv*X_bar))*gamma(4/Cs^2)), X = -X_bar*((2*Cv)/Cs - 1)..-2*X_bar*(Cv/Cs + (Cs*Cv)/4 - 1)) 也就是说，这个结果不是一个常数。

因此，我们不能简单地判断的具体值但我想我们也许可以判断其取值范围，因为无论如何，我们总有如下结论：若Cs=0，则，此时 但在Cs0时，的取值范围还有待确定，我们只知道：当Cs>0时，，，根据前面所述，此时；而当Cs0，从而，进而 当X取中位数与平均值时概率分布的关系： 中位数与平均值具有不确定的关系，两者的关系完全取决于观测样本的具体情况比如，当我们的样本为1、2、99时，中位数为2，平均值为34；若样本为1、98、99，则中位数为98而平均值为66那么，我们可以根据观测样本所得的平均值与中位数的具体情况来讨论与的关系，而不论Cs的取值如何比如，若中位数小于平均值，则 ，反之，则。