新高考数学二轮专题《立体几何》第15讲 立体几何折叠问题（解析版）.doc

第15讲 立体几何折叠问题一．解答题（共13小题） 1．如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：分别取，的中点，，连结，，，则，，平面与平面都与平面垂直，平面，平面，由线面垂直的性质定理得，，四边形是平行四边形，，平面，平面．（2）解：如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，由图知为钝角，．二面角的余弦值为．2．如图，在直角梯形中，，，且，，分别为线段，的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形．（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形中，，，，分别为线段，的中点，，，又，且，平面，平面，平面平面．（2）解：由（1）可得，，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系，（如图）设，则，0，，，0，，，0，，，3，，，4，，，2，，，2，，，，，．，2，，，，设面的法向量为，则，即，令可得：，4，，同理可得平面的法向量为，．由图形可知二面角为锐角，二面角的余弦值为．3．如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接、、．（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连接，，，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，，为正三角形，则，，又，平面，平面；分（2），，，、分别为、的中点，，，，则，则三角形为直角三角形，则，分以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，0，，则则，，，，，0，，设平面的法向量为，则，令，则，，则，设平面的法向量为，则，令，则，，即，分则分二面角的正弦值是．分．4．如图1所示，在等腰梯形中，．把沿折起，使得，得到四棱锥．如图2所示．（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）在等腰梯形中，，，可知，．因为，可得．又因为，即，则．又，，可得面，故．又因为，则，，则，所以，又，所以面，又面，所以面面；解：（2）设，过点作交于点，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．在中，，，，则，，，则，，，，，，设平面的法向量为，由，取，可得平面的法向量为，设平面的一个法向量为，由，取，可得平面的一个法向量为，，．设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．5．如图1，菱形的边长为12，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）是菱形，，，中，，，，又是中点，，，，，面，，面，又平面，平面平面．（6分）解：（Ⅱ）由题意，，，又由（Ⅰ）知，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面的法向量，则，即，令，则，由条件知平面，故取平面的法向量为所以，由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．（12分）6．如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2．（1）求证：面；（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：四边形为菱形，且，为正三角形，为的中点，，，面；（2）解：以点为坐标原点，分别以线段，所在直线为，轴，再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示．面，为二面角的一个平面角，则，设，则，0，，，1，，，，，，0，，由，得，，，设平面的法向量为，则，令，得．而平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．平面与平面所成锐二面角的余弦值为．7．如图1，四边形中，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ），且，是等腰直角三角形，，又，且，平面，，平面，又平面，平面平面．解：（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂直为轴，建立空间直角坐标系，过作平面的垂线，垂足为，根据对称性，点在轴上，设，由题设知：，0，，，0，，，，，，1，，，0，，，，，，1，，，，，，，解得，．，，，，设平面的法向量，，，则，令，得，，，，，，，是平面的一个法向量，，，二面角是锐角，二面角的余弦值为．8．如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，又，所以平面．（1分）因为平面，所以．（2分）又因为折叠前后均有，，（3分）所以平面．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以二面角的平面角为．（5分）又平面，平面，所以．依题意．（6分）因为，所以．设，则．依题意，所以，即．（7分）解得，故．（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面的法向量．（9分）设平面的法向量由得令，得，所以．（10分）所以．（11分）由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（12分）9．如图所示，在平行四边形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且．（1）求证：平面平面；（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接，在平行四边形中，，，，．，即，且．在中，得．又，，，即．又平面，平面，且，平面．又平面，平面平面；（2）解：由（1）得，，两两垂直，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，0，，，0，，，，．，．可知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．，即所求二面角的余弦值为．10．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与，与能否垂直？若能垂直，求出相应的值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）若，由，，得面，，，即，解得，若，由，，得平面，，，即，解得，不成立，不成立．（2）四面体体积最大，面积为定值，只需三棱锥的高最大即可，此时面面，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，面的法向量为，0，，面的法向量，，，，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．11．如图，在长方形中，，，、为线段的三等分点，、为线段的三等分点．将长方形卷成以为母线的圆柱的半个侧面，、分别为圆柱上、下底面的直径．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）因为在下底面圆周上，且为下底面半圆的直径，所以，又因为，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．解：（2）以为坐标原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，设下底面半径为，由题，所以，因为、为的三等分点，所以，所以在中，所以，，1，，，设平面的法向量，因为，，所以，所以平面的法向量，设平面的法向量，因为，所以，所以平面的法向量．所以二面角的余弦值为．12．在菱形中，且，点，分别是棱，的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取，的中点，．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求多面体的体积．【解答】解：（1）证明：取中点，连接，，，由，分别是，的中点，，，又，平面，平面，又，平面平面，又平面，平面．（2）解：连接，设，交于点，，又平面平面，平面平面，平面．多面体可以分解为四棱锥和四棱锥，菱形中，且知：，，，设梯形的面积为，多面体的体积为．13．已知等腰直角△，，，，分别为，的中点，将△沿折到的位置，，取线段的中点为．求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，，，，，又，，，，四边形为平行四边形，则．平面，平面，平面；（Ⅱ）解：面面，面面，，面，面，，面，，．又，，，两两互相垂直，如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，0，，，2，，，0，，，4，，，2，，，，，设平面，平面的法向量分别为，，则，取，可得；，取，得．．二面角的平面角的余弦值为．。