北大版高数答案.doc

1 -习题习题 1.12 222 22222222222 22 23.33, ,.3,3.3,,3132.961,9124,31.3 ,93,3,3.,,., ,,,ppp qpqpppkpkpkkpkkppkkkqp qppaapa bpapbbb证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证证 2 2. .证证 1 1. .2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,( 1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).( 1,0)(0,1)papaapk p kpbpkbpba bxxxxxxxxxxxxxxxX      数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3 3. .解解 ( (1 1) )222(1,3/2).(2)232,15,1 ||5,1 ||5,(1, 5)(5, 1).,(1)|| ||||;(2)|| 1,|| || 1.(1)|| |()| |||| ||||,|| ||||.(2)|| |()| |||| |xxxxxa bababababaabbabbabbababababbabb   设为任意实数证明设证明证证4 4. ., ,| 1.(1)|6| 0.1;(2)||.60.160.1.5.96.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1,1.11nnnnxxalxxxxXlXalallxalXaaannaabaa             解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解解( (1 1) )证证5 5. .: :6 6. .120000(1)(1)(1).( , ),( , ).1/10.{|}.( , ),,{ |},10 { |}./10 ,(1)/10,/10(1)/101/10nnnnnnnnnnnnnabbnaa ba bnbamA AmAa bABC BAx xbCAx xa BmmCbamm ZL设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证证7 7. .( , ),( , ).1/10.{ 2|}.10n nnna ba bmnbaAmZ, 此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8 8. .证证习题习题 1.2- 2 -6426642642666613.1(1,)( 1)( 1)111(1).112113.(,).1 3|| 13,|| 1,3,11 ||3,(,).yxxxxxxyxxxxxxx xxxyx xxxxxxxxxxxx yyx      证明函数在内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证证解解习题习题 1.4 221.-(1)lim(0);(2)lim;(3)lim;(4)limcoscos .|-||-||-|1)0,||,,||,||.,||,||,lim.(2)0xaxaxaxaxaxaxa axaeexax ax ax axaxaxaa xaxaaaxaxaxaa  直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需取则当时故证证( (222222,|| 1.|| ||||, || ||| 2 | 1 | 2 |,1 | 2 |)||,||.min{,1},||,1 | 2 |1 | 2 | ||,lim(3)0,.||(1),01),1xaxaax ax a axaxaxaxa xaxaaaaxaxaxaaa xaxaxaeeeeee   不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(. .1,0ln 1,min{,1},0,||,1 | 2 | limlimlim0,|coscos|2 sinsin2 sinsin||,2222 ,|,|coscosx a axa axaxaxaxaxaxaeexaxaeeea eeeeeexaxaxaxaxaxaxaxa    取则当时故类似证故要使取则当|时. . . .. .( ( 4 4) )20|,limcoscos .2.lim( ),(, )( ,),( ). 1,0,0 |-|,|( )| 1, |( )| |( )| |( )|| | 1 | |.(1)1(1)limlim2xaxaxxxaf xlaaaa auf xx af xl f xf xllf xlllMx x   故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数 对于存在使得当 时从而求下列极限证证3 3. .: :2002 22 22000002212202lim(1)1.222sinsin1cos11122(2)limlimlim1.222 21(3)limlim(0).()2 22(4)lim.2233 2(5)lim22xxxxxxxxxxx x xx x xxxxaaxaxxxaaaxx xx xx xx    g2. 33- 3 -2010303030002232211121(23) (22)2(6)lim1.(21)2112(7)limlim1.( 11)131 32(8) limlimlim11(1)(1)(1)(1) (1)(2)limlim(1)(1)xxxxxxxxxx xxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xx xxx  214442100(2)31.(1)3123( 123)(2)( 123)(9)limlim2(2)(2)( 123)(28)(2)2 44lim.63(4)( 123)(1) 1(1)12(10)limlimlim.1(11)limxxxnnnxyyxx xxxxxx xxxxxx xx n nnyyyxynxyyx  gL22221 01 1001001 01 001 0142211lim0. 11(12)lim(0)./,(13)lim(0)0, , .81 8(14)limlim1xmm mm nnnxnnmm m nnxnxxx xx a xa xaabb xb xbbab mna xa xaa bnmb xb xbmnx x    L LLgL42/1.1 1/x x33202233333322023333220333322033331 31 2(15)lim( 1 31 2 )( 1 31 31 21 2)lim ()( 1 31 31 21 2) 5lim (1)( 1 31 31 21 2) 55lim.3(1)( 1 31 31 21 2)(16)0, lxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxa    gggg22220001imlim()()1lim()xaxaxaxaxaxa xaxaxaxaxa xaxaxaxa    - 4 -00()1lim()11lim.()2xaxaxa xaxaxaxaxa xaxaxaa   000222200000sin14.lim1lim 1sinsin(1)limlimlimcos.tansinsin(2)sin(2)2(2)limlimlim1 00323 tan3sin2tan3sin2(3)limlimlimsin5sin5xxxxxxxxxxxxxexx xxxxxxxx xxx xxx xxgg利用及求下列极限:00()1/0321.sin5555(4) limlim2.1 cos2sin2cossinsinsin22(5)limlimcos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(1 5 )xxxaxakxxxkkkkxxxyyx x xx xxxaxa xaaxaxakkkexxxy     5 1/(5 )50100100lim(1 5 ).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim( )lim( ).lim( ):0,0,0 |-|( ).lim(yyxxxxxxaxxaxyeexxxf xf xf xAx af xAf x     给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,( ).Axf xA    对于任意给定的存在使得当时习题习题 1.5- 5 -222 2222222221.(1) 10(2)sin5.(1)0,| 11 0 |., 1111,||,,||| 11 0 |,10555()(2)(1)0,|sin5sin5 | 2|cos||sin|.22xxxxaxxxx xxxxxxxxxaxaxa   试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于只需取则当时有故在连续.要使由于证证000000555()2|cos||sin| 5||,5||,||,225,|||sin5sin5 |,sin55 ( )()0,0||( )0.( ),()/2,0||(xaxaxaxaxaxaxaxxayf xxf xxxf xf xxf xxxf x只需取则当时有故在任意一点连续.2. 设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证证000000000000)()|()/2,( )()()/2()/20.3.( )( , ),|( )|( , ),?( , ),.0,0|||( )()|,||( )||()|| |( )()|,||.f xf xf xf xf xf xf xa bf xa bxa bfxxxf xf xf xf xf xf xfx。