线性空间的同构.ppt

5.6 线性空间的同构线性空间的同构教学目的：教学目的： 1.理解线性空间同构的概念、性质及重要意义理解线性空间同构的概念、性质及重要意义 2.掌握有限维线性空间同构的充要条件掌握有限维线性空间同构的充要条件教学重点：教学重点：线性空间同构的定义及基本性质线性空间同构的定义及基本性质教学难点：教学难点：线性空间同构的意义线性空间同构的意义.一、一、 线性空间同构的定义线性空间同构的定义1. 定义定义1 设设 和和 是数域是数域 上的两个线性空间，上的两个线性空间， 是是 到到 的一个映射，如果满足：的一个映射，如果满足：（（1）） 是是 到到 的双射；的双射；（（2）） 有有 ；；（（3）） ，， 有有 .则称则称 是是 到到 的的同构映射同构映射. 如果如果 到到 的同构映射的同构映射存在存在, 则称则称 与与 同构同构, 记为记为 ≌ ≌ .2.2.一个基本结论一个基本结论l定理定理5.6.15.6.1 数域数域 上任意上任意 维线性空间都与维线性空间都与 同构同构. 证明证明: 设设 是一个是一个 维线性空间维线性空间, 取定取定 的一个基的一个基 , , 关于基关于基 的坐标为的坐标为 . 令令显然显然 是是 到到 的一个双射的一个双射. , , 设 , , 则 = = ; = .从而从而 是是 到到 的同构映射的同构映射, 因此因此 ≌ ≌ .二、二、 同构映射的基本性质同构映射的基本性质l定理定理5.6.2 设设 是线性空间是线性空间 到到 的同构映射的同构映射, 则则:(1) ; (2) 有有 ;(3) , , 有有 ;(4) 中向量中向量 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 线性相关线性相关.l注注: : 设设 是线性空间是线性空间 到到 的同构映射的同构映射, ,( (1 1) ) 是是 的一个基的充要条件是的一个基的充要条件是 是是 的一个基的一个基; ;( (2 2) ) 的子空间在的子空间在 之下的象集是之下的象集是 的子空间的子空间; ;( (3 3) ) 的子空间在的子空间在 之下的原象集是之下的原象集是 的子空间的子空间; ;( (4 4) ) 的逆映射的逆映射 是是 到到 的同构映射的同构映射; (5) 若若 是线性空间是线性空间 到到 的同构映射的同构映射, 则则 是是 到到 的同构映射的同构映射. 三、三、 同构关系的性质同构关系的性质l 线性空间的同构关系是等价关系线性空间的同构关系是等价关系, , 即具有即具有: :反身性反身性: ≌ . : ≌ . 对称性对称性: : 若若 ≌ ≌ , , 则则 ≌ ≌ . .传递性传递性: : 若若 ≌ ≌ , ≌ , , ≌ , 则则 ≌ ≌ . .四、线性空间的同构的一个充要条件四、线性空间的同构的一个充要条件l定理定理5.6.35.6.3 数域数域 上两个有限维线性空间同构的充要上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数条件是它们有相同的维数. . 注注: : 性空间的抽象讨论中性空间的抽象讨论中, , 我们不考虑线性我们不考虑线性空间的元素是什么空间的元素是什么, ,也不考虑其中运算是怎样定义也不考虑其中运算是怎样定义的的, ,而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质质. .从这个观点看来从这个观点看来, , 同构的线性空间是可以不加同构的线性空间是可以不加区别的区别的. . 从而定理从而定理5.6.35.6.3说明了说明了维数是有限维线性维数是有限维线性空间的惟一的本质特征空间的惟一的本质特征. . 。