猜题03 第22题 导数及其应用-最值、零点、双变量、极值点偏移问题（题型归纳）（解析版）(1)-高考数学备考复习重点资料归纳汇总.doc

猜题03 第22题 导数及其应用-最值、零点、双变量、极值点偏移问题（题型归纳）目录：一、最值问题；二、零点问题；三、双变量问题；四、极值点偏移问题一、 解答题一、最值问题1．已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.(1)求实数的取值范围；(2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数与方程的思想将方程有两个不相等的正实根转化成函数图象有两个交点，通过构造函数研究其单调性求出值域即可求得实数的取值范围；（2）首先通过转化变形写出和的表达式，求出有最小值的等价方程，再通过构造函数利用导函数研究其单调性，并证明方程有唯一解即可求得常数的值.【解析】（1）由且，可得.设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；函数的图象如下：又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；要使图象与直线有两个交点，则，故a的取值范围是.（2）因为，由（1）得，则，设，则，即，由有最小值，即有最小值.设  ，记，由于，若，则，可得单调递增，此时，即单调递增，此时在没有最小值，不符合题意.若，时，，则在单调递减，时，，则在单调递增.又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.此时时，，即，此时在上单调递减；时，，即， 在上单调递增.所以时，有最小值，而，即，整理得此时，由题意知.设设.设，故递增，.此时递增，有，令且，则，即在上递增，故，此时，故在递增，而知，的唯一解是. 故的唯一解是，即.综上所述，.【点睛】方法点睛：对于隐零点问题的解题思路是对函数零点设而不求，以隐零点为分界点，说明导函数的正负，通过整体代换和过渡，从而得到原函数最值或极值的表达式，再结合题目条件解决问题.2．已知函数（e为自然对数的底数）.(1)若在点处的切线方程为，求a的值；(2)若的最小值为1，求在上的最小值；(3)若，证明：当时，.【答案】(1)；(2)最小值是1；(3)证明见解析．【分析】（1）由可得，再检验切线满足题意即可；（2）由导数求的最小值，从而求得，再利用导数求得的最小值；（3）由（1）得，时，证明，时，先由不等式性质放缩，只要证，利用导数证明是增函数，从而有，再利用不等式的性质证明．【解析】（1），由已知，∴，此时，，切线方程为满足题意．所以；（2），若，则，单调递减，无最小值，因此，由得，时，，是减函数，时，，是增函数，所以，，，，设，则在上恒成立，所以即在上是增函数，，∴在上是增函数，∴；（3）由（2）得，即，从而，当时，，又，所以，即在上成立，时，，，，只要证明，从而只要证明，即要证，设，，，易知，所以，是增函数，所以，又时，，所以，即成立，综上，当时，．【点睛】方法点睛：用导数证明函数不等式，一般是作差构造函数，利用导数确定函数的单调性、最值，由最值满足的性质证明不等式成立，对一些复杂的不等式需要利用不等式的性质对不等式进行放缩变形，等价转化，例如分式不等式化为整式不等式，对不等式中的一部分构造函数，利用导数确定函数性质证明其不等的性质，从而达到证明的目的．3．已知函数，函数，函数，记的最大值为M，的最小值为N．(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)求的值．【答案】(1)单调递增区间为，无单调减区间；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；（2）利用导数及零点存在定理可得存在，使得，进而可得，再通过构造函数利用函数的单调性即得；（3）利用导数可求函数的最小值为，利用函数的单调性结合条件可得，进而可得.（1）由，可知函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，即函数的单调递增区间为，无单调减区间；（2）由可知，的定义域为，因为，，所以在单调递减，，由（1）知，即所以存在，使得，即，当，，单调递增，当，，单调递减，所以在处取得唯一极大值，也是最大值，所以，令，，则，单调递增，故，所以；（3）由，可知函数的定义域为，，，所以在单调递增，，，所以存在，使得，即①当，，单调递减，当，，单调递增，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，令，则，代入①式，得，即②，又，所以满足②，又函数单调递增，所以只能，即，即，所以，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.4．设函数，．(1)若，试讨论函数在上的单调性；(2)若，证明：函数存在最小值．设的最小值为m，求m的取值范围．【答案】(1)当时在单调递增；当时在单调递减，单调递增；(2)证明见解析，【分析】（1）求导后，讨论a的范围，确定导函数符号，即可得单调性；（2）令，得，利用函数来确定恒成立，从而得在单调递增，有唯一的零点，即函数的极小值点也是最小值点，得证函数存在最小值；从而确定最小值m与的函数关系，利用函数单调性，确定m的取值范围．（1）解：，    当时，，则在单调递增；当时，由得，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；综上，当时在单调递增；当时在单调递减，单调递增．（2）解：令，，，当时，在单调递增．由（1）知当时，，当时，则，所以在恒成立，则单调递增．所以当时，在单调递增．又，因此存在唯一的，使得，即使得在上单调递减，在上单调递增；故可得函数存在最小值.则，且由，令，，，则在单调递减，在单调递增．因为，因此只需说明，即．当时，只需证明，因为，则，因此，结合的单调性可知，则，．    构造函数，，则，所以在单调递减，，．因此m的取值范围为．【点睛】本题考查了导数研究含参单调性问题讨论，最值，考查分类整合思想，转化思想，考查综合运用知识分析解决问题的能力，属于难题.5．已知函数，为的导函数，函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)已知有两个极值点且， 求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：求出，利用导函数的正负得到在上为减函数，在上为增函数，从而求出的最小值；方法二：求出，分与，得到，从而求出的最小值；（2）参变分离得到，构造函数，求导，得到其单调性，结合函数值的范围，得到以且，换元后得到，构造，求导得到其单调性，结合求出，从而求出.（1）方法一：，定义域为R，当时，，，当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以．综上在上为减函数，在上为增函数，所以在处取得极小值，也是最小值，．方法二：，定义域为R，当时，，当时，，所以当时，，所以综上， （2）依题有：方程有两个不同的根 ，方程可化为 ，令，则，所以在和都是增函数，当时，恒成立，又，，由零点存在性定理可得：存在，使得，当时，，当时，所以且所以．令 ，则，所以在上为减函数，又因为，所以，所以，实数的取值范围是.【点睛】求解参数的取值范围，通常要构造函数，求导，利用构造函数的单调性，极值和最值情况，进行求解，本题关键用含的式子来表达，从而消去参数，再结合函数单调性和特殊值进行求解.6．已知函数，，为的导函数.(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；(2)求的最大值；(3)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：.【答案】(1)(2)最大值为(3)证明见解析【分析】（1）由，结合切点坐标求得的值.（2）由求得的最大值.（3）将转化为，利用换元法，结合导数来证得不等式成立.【解析】（1）的定义域为，令，，令，在上递增，，所以有唯一零点.所以方程有唯一解.，即切点为，将代入得.（2），其中，，所以在区间递增；在区间递减.所以.（3）由（2）得，，依题意，要证明，即证明，即证明，即证明，整理得，不妨设，即证，即证，令，即证，构造函数，，在上递增，，所以成立.得证成立.【点睛】证明不等式的方法有分析法和综合法，本题采用的是分析法.即从结论出发，化简得到，然后利用换元法，结合导数即可证得不等式成立.7．已知f(x)＝ex+sinx+ax（a∈R）．（1）在下面的三个条件中，选择一个，使得f(x)在（﹣∞，0）上单调递减，并证明你的结论．①a＝－2；②a＝－1；③a＝－3；（2）若x≥0，证明：当a≥﹣2时，f(x)≥1恒成立；（3）若f(x)有最小值，请直接给出实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）求出导函数，对和可证明时，恒成立，从而得递减，对，证明存在，在上非负，即递增，不满足题意；（2）证明，时，恒成立，递增即可证结论成立；（3）根据，的有界性，在时，的值可以无限小，从而无最小值，时，说明时，，在时，，可无限接近，但永远取不到，从而无最小值，对，由函数的特性，说明，在，在时，，由连续不间断函数在闭区间上必有最小值可得．【解析】（1）选，，时，，因此，恒成立，单调递减；选，，时，，因此，恒成立，单调递减；选，当时，是增函数，，因此存在，使得时，，此时递增，不合题意．（2），，时，， 时，设，，是增函数，，所以．，综上时恒成立，是增函数，所以．（3）时，时，，，因此，无最小值，时，，时，，时，且，因此，但取不到，由（2）时，，因此无最小值，时，注意，，存在，值得时，，而，因此，，存在，当时，恒成立，在是增函数．因此，而函数在间是连续不间断的函数，因此必有最小值．综上，．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，研究函数的最值.解题关键是掌握导数与单调性的关系，考查转化与化归思想，如不等式恒成立可用分离参数法转化为求函数的最值，函数的存在最小值问题，可通过导数研究函数的单调性，在单调性较复杂时，可由函数的变化趋势，说明存在，时，，时，，这样利用连续函数在上必有最小值8．设函数.（1）证明函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）函数，若实数，满足，求的最小值；（3）函数如（2）中所述，是定义在上的函数，当时，，且对任意的，都有成立，若存在实数满足，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）3.【分析】（1）对函数求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明；（2）根据分段函数的单调性，结合，得出，从而得出，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，取得最小值，从而可求出的最小值；（3）根据题意可知，由函数的对称性可知关于对称，从而得出的大致图象，结合题意和函数图象，可知与关于对称，与关于对称，且，进而得出，，，进而化简得出，通过换元令且利用不等式得出，从而得出，最后利用二次函数求出最值，即可得出结果.【解析】解：（1），，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）已知，当时，在上单调递增，。