高中数学排列组合相关公式.docx

排列组合公式=- l)...(w - r + 1)=n\(r/ — r)!P；n\r\(n -尸)!排乍列定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列排列的全体组成的集合用P(n,r)表示排列的 个数用P(n,r)表示当r=n时称为全排列一般不说可重即无重可重排列的 相应记号为P(n,r),P(n,r)组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元 素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重 组合有记号 C(n,r),C(n,r)一、 排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象 思维能力；(2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联 词和量词)准确理解；(3) 计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的 思维量较大；(4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、 原理，并具有较强的分析能力二、 两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1•加法原理2. 加法原理的集合形式3. 分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方 法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分 类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完 成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成 此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S (A) =9！集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集显然各子 集没有共同元素每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S(A)=S(B)*3！S(B)=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P(9，6)例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合把集合B分 为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是 某6个数的全排列，即每个子集有6 ！个元素这时集合C的元素与B的子集存 在一一对应关系，则S(B)=S(C)*6！S(C)=9！/3！/6！这就是我们用以前的方法求出的C(9，6)以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂但是集合的观念才是排列组合公 式的来源，也是对公式更深刻的认识大家可能没有意识到，在我们平时数物品 的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与 集合(1，2，3，4，5)建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合(1， 2， 3，4，5)的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。

我写这篇文章的目的 是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分设集合D为坐成一圈的 坐法的集合以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素， 但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素， 所以 S（D）=9！/9我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8！这个方 法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系用集合的思路解决问题 的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形 成一一对应的关系例4：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的九位数，但要求1 排在 2 前面，求符合要求的九位数的个数集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前 面，集合 C 中 1 排在 2 后面则 S（B）+S（C）=S（A）在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的 数字，对应集合C中相同数字则这个对应关系为 对应。

因此S （B）=S （C） =9！/2以同样的思路可解出下题：从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y二ax*x+bx+c的系数， 且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个？例5： M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列 这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球 按顺序分为N组则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法 而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，就表示 相应的盒子里球数为0）所以方法总数为C （M+N-1，N-1）例 6：7 人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共 有 排法.解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2, X3, X4,其中 X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一样，则不同排法为方程X1+X2+X3+X4=4 的解的个数，令 X2=Y2+1，X3=Y3+1化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法 一一对应，个数为 C（5，3）=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！，所以 不同排法共有C（5，3）*4! =240种。

排列组合是组合学最基本的概念所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元 素进行排序组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序排列 组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数排列组合与古典概率 论关系密切定义及公式排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(mwn,m与n均为自然数, 下同)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一 个排列；从n个不同元素中取出m(m三n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不 同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m )表示A(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/( n-m)!此外规定 0!=1排脚计算公扎组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m

2.第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An ,那么完成这件事的方法属于集合 A1UA2U ... UAn 3.分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重） ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏） ⑵乘法原理和分步计数法 1.乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二 步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1 xm2xm3x...xmn种不同的方法 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例题分析难点（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； ⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确 理解； ⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； ⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

1明确任务的意义例1.从1、2、3、 、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？ 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题 设a,b,c成等差，.：2b=a+c，可知b由a,c决定， 又T 2b是偶数，・•・a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十 个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A （10,2） *2=90*2,因而本题为180 例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或 向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？ 分析：对实际背景 的分析可以逐层深入： （一）从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法； （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右； 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向 上走，就可以确定走法数 ・ 本题答案为： C（8,3） =562•分析分析是分类还是分步，是排列还是组合 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是 分类还是分步，是排列还是组合。

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种 植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A, B两种作物的间隔不少于 6垄，不同的选法共有多少种？ 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法 第一 类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有1种选择， 同理A、B位置互换，共12种 例4.从6双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？ (A)240 (B)180(C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决 (一)从6 双中选出一双同色的手套， 有 6 种方法； (二)从剩下的十只手套中任选一只，有 10 种方法 (三)从除 前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8 种方法； (四)由于选取与顺 序无关，因(二)(三)中。