三角函数的应用.doc

三角函数的应用摘要： 三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究关键词：三角函数 三角函数的应用三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具[1]在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值常见的三角函数包括正弦函数（）、余弦函数（）和正切函数（或者）[1]在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数[2]常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

经过数学历史的长河的沉淀，科学研究的进步，实际生活的操作三角函数的实际应用在生活中有着不可取代的地位三角函数可以计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航系统工程学以及物理学方面都有广泛的用途有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子一、三角函数的形成与发展三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展，现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期在古代，由于古代天文学的需要， 为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长三角函数表达的就是这些比率。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数欧拉的《无穷微量解析入门》对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin、cos、tang、cot、sec、cosec二、三角函数的应用与生活三角函数在实际生产、生活中应用的“随处可见” 算屋顶的高和长度的时候会用到，计算比较复杂点的如直的圆的形式各样的楼梯，坡道，土方工程的测量控制、公路桥梁的走向，花园的规划，材料的预算等方面也时常会用到一） 停车场设计问题如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BCCD与上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值 解：（1）设∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，则AM=90cosθ，PM=90sinθRP=RM-PM=100-90sinθ，PQ=MB=100-90cosθS=PQ•PR=（100-90sinθ ）（100-90cosθ ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ∴S=f（θ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=． 即t=sin（θ+），0≤θ≤，1≤t≤， 代入S化简得 S=．故当t=时，Smin=950（m2）；当t=时，Smax=14050-9000（m2）（二）采光问题已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α (1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)； (2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？(1) 过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形 ∴EF=AC=30，AF=CE=h, ∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h 又 在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF ， ∴tanα= ，即30 - h=30tanα. ∴h=30-30tanα(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30× ≈12.7，(2) ∵ 12.7÷3≈4.2， ∴ B点的影子落在乙楼的第五层 当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°∴ 45-30/15 = 1(小时).故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光。

三）销售利润问题某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现： 信息1：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随函数 y1=A1sin（ω1x+φ1）+B1波动的.已知3月份出厂价格达到最高，为8元，然后逐渐降低，到7月份出厂价格达到最低，为4元． 　　信息2：该商品的销售价格是在8元的基础上，按月份随函数y2=A2sin（ω2x+φ2）+B2波动的.已知5月份销售价格达到最高，为10元，然后逐渐降低，到9月份销售价格达到最低，为6元． 　　（1）根据上述信息，求该商品的出厂价格y1（元/件）和销售价格y2（元/件）与月份x之间的函数关系式； 　　（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由． 　　解析 （1）依题意，得B1=8+42=6，A1=2，T1=2×（7-3）=8， 　　所以ω1=2πT1=π4，y1=2sinπ4x+φ1+6. 　　将点（3，8）代入函数y1=2sinπ4x+φ1+6，得φ1=-π4， 　　所以y1=2sinπ4x-π4+6. 　　同理，可得y2=2sinπ4x-3π4+8. 　　（2）因为利润函数是y=m（y2-y1）=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-π4-6 　　=m2-22sinπ4x， 　　当sinπ4x=-1，即π4x=2kπ-π2（k∈Z），亦即x=8k-2（k∈Z）时，y取最大值． 　　又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大. 　　综上可知，在6月份盈利最大． 　　通过三角函数的应用，解决经济学中的销售利润问题，也是我们工作中常常用到的手法。

通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等当今时代，知识更新速度加快，日新月异，特别是进入21世纪以后，思想活跃，关于数学方面的研究日益深入和丰富，三角函数研究的意义和必要性也日益突出三角函数教学对我们的生产生活发挥着重要作用，三角函数的教学会更加深入化，专业化，也会给我们的国家和社会带来强大的动力！氨氧化催化剂往往亦可用作醛类氧化催化剂,其原因是由于这两类反应通过类似的历程,形成相同的氧化中间物之故上列反应中以丙烯氨氧化合成丙烯腈最为重要,下面即以此反应为例进行讨论。