北京市东城区2023-2024学年高三下学期综合练习一（一模）数学（解析版）.docx

北京市东城区2023—2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.故选：D.2. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.【详解】当时，，故AD错误；当时，，故B错误；对于C，因为，所以，因为，所以且，则，所以，故C正确.故选：C.3. 已知双曲线的离心率为2，则（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由方程得到，再由离心率公式计算可得答案.【详解】由双曲线可得：，，所以，故选：B.4. 设函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数的定义域为，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于CD，当时，，故CD错误.故选：A.5. 已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（ ）A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于点对称【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出，根据最值求出，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】，其中，因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为函数的最大值为，所以，解得（舍去），所以，因为，所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误；因为，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误.故选：C.6. 已知，若，则的取值可以为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令，有，即或.故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积（）所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又，所以共需粘土的体积为约为，故选：B.8. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列的公差为，得，则，当时，，而，则，因此，为递增数列；当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是弧的中点，为的中心.现将沿翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找出点轨迹后，再借助线面垂直的性质得到直线在平面的投影，结合正弦函数定义计算即可得.【详解】取中点，连接，，由三角形为正三角形，故段上，且，即，则在以为原点，为半径的圆上，由题意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直线在平面的投影为直线，即，则当与该圆相切，即时，有.故选：C. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ）A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值【答案】D【解析】【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确.【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误；对于B：设，由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误；对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设，函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误；对于D：因为函数满足：当时，，即，因，，所以；同理，当时，，即，因为，，所以；所以为的最小值，故D正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数，则_________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量，且，则______.【答案】##【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可.【详解】设的夹角为，，故，又，故，方向相同，又，则，解得，满足题意.故答案为：.13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______.【答案】 ①. （答案不唯一，符合题意即可） ②. （答案不唯一，符合题意即可）【解析】【分析】由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案.【详解】因为角的终边关于直线对称，则，，则，因为，所以，所有或，，解得：或，，取，的一个值可以为，的一个值可以为.故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则______.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出，进而可得出.【详解】由抛物线，可得，设，则，故，所以，所以. 故答案为：；.15. 已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.给出下列四个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④，存在实数，使得.其中所有正确判断的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①直接取找矛盾；②通过，利用累加法求的范围；③假设找矛盾；④取，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若，则，当时，，与矛盾，①错误；对于②：若，则，所以，又，若，该不等式恒成立，即，由由于，所以，所以，所以时，，累加得，所以，所以，综合得，②正确；对于③：若，，假设，则，与矛盾，故，③正确；对于④：当时，若，则，此时，若成立，根据二次函数可得其上单调递增，可得，故在的情况下，必成立，即存在实数，使得，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，.（1）求；（2）若为边的中点，且，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，即，，又因为，所以，解得，又因为，所以；【小问2详解】解：因为为边的中点，，所以,设,中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以， 在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.【答案】（1）人 （2）分布列见解析； （3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可；（3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论.【小问1详解】，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，的可能取值为、、、，，，，，则其分布列为：其期望为：；【小问3详解】，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，，，，则，故.18. 如图，在五面体中，底面为正方形，. （1）求证：；（2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明平面，再利。