解排列组合应用题的26种策略.doc

4 ≤ 解排列组合应用题的 26 种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路 灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分 步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到 既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的要求我们周密思考，细 心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、 整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题 实践证明，掌握题型和解 题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一 谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n 个不同元素排列成一排，其中某 k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这 k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有 An -k+1 n -k+1种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有Akk种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共 An -k+1·Akn -k+1 k种．例 1.a, b, c, d , e五人并排站成一排，如果a , b 必须相邻且 b 在 a 的右边，那么不同的排法种数有〔 〕A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析：把a , b视为一人，且b固定在a的右边，则此题相当于 4 人的全排列，A =244种，答案：D.例 2 有 3 名女生 4 名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同 的站法？解：先把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，4 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有 A 22种排法；女生内部的排法有 A33种，男生内部的排法有 A 44种．故合题意的排法有 A2·A3·A4 =288 种．2 3 4排列——插空法：元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将 n 个不同元素排成一排，其中 k 个元素互不相邻 (k n -k ) ，有多少种排法？先把 ( n -k ) 个元素排成一排，然后把 k 个元素插入 ( n -k +1) 个空隙中，共有排法 Akn -k+1例 3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？本材料第1页〔共16 页〕种．k 解：先把科学家作排列，共有 A55排法，种排法；然后把 5 名中学生插入 6 个空中，共有 A56种故符合条件的站法共有 A5·A55 6=86400 种站法．例 4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是〔 〕A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种A5A 2法种数是解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 =3600 种，选 B .56A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A26种，不同的排3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .此法也被叫 消序法.将 n 个不同元素排列成一排，其中某 k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n 个不同元素排列成一排，共有 A nn种排法；k 个不同元素排列成一排共有 A kk种不同排法．于A n是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的 Ak 分之一．故符合条件的排列共 nA kk种．例 5.a , b, c , d , e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边〔a, b可以不相邻〕那么不同的排法种数是〔 〕A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种解析：b 在 a 的右边与 b 在 a 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即12A55=60 种，选 B .例 6. A，B，C，D，E 五个元素排成一列，要求 A 在 B 的前面且 D 在 E 的前面，有多少 种不同的排法？解：5 个不同元素排列一列，共有 A55两个元素的排列数为 A2 ．2种排法． A，B 两个元素的排列数为 A 22；D，EA5因此，符合条件的排列法为 5A2·A2 2 2=30 种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继本材料第2页〔共16 页〕4 4 3 续下去，依次即可完成.例 7.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格 的标号与所填数字均不相同的填法有〔 〕A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5、留空排列——借元法例 8、一排 10 个坐位，3 人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。

解：由题意，先借7 人一排坐好，再安排 3 在 8 个空中找 3 个空插入，最后撤出借来的7 人得不同的坐法共有 A 7 A 3 / A 77 8 7种6、有序分配问题----逐分法：有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例 9.〔1〕有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出 4 人承担 这三项任务，不同的选法种数是〔 〕A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C 210C 1C 18 72520 种，选 C .〔2〕学生会的 12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，假设每个 年级 4 人，则不同的分配方案有〔 〕A、C 4 C 4 C 12 844种B、3C 4 C 4 C 12 844种C、 C C A 种 12 8 3C 4 C 4 C 4D、 12 8 4 种 A33答案：先从 12 人中选出 4 人到第一个年级，再从剩下的 8 人中选 4 人到第二个年级，第三步从剩下的 4 人中选 4 人到第三个年级，不同的选法共有C 4 C 4 C 4 12 8 4种，选A.7、平均分堆问题---除序法:例 10. 12 本不同的书，平均分为 3 堆，不同的分法种数为多少种。

解：先从 12 本书中选出 4 本到第一堆，再从剩下的 8 本中选出 4 本到第二堆，第三步从本材料第3页〔共16 页〕4 剩下的 4 本中选 4 本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有 8、全员分配问题---分组法:C 4 C 4 C 4 12 8 4A33种例 11.〔1〕4 名优秀学生全部保送到 3 所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案 有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有C 24种方法，再把三组学生分配到三所大学有A33种，故共有C 2 A3 =36 4 3种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.〔2〕5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为〔 〕A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种答案： B .9、名额分配问题---隔板法:例 12：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C 69=84种.10、限制条件的分配问题---分类法:例 13.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建 设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①假设甲乙都不参加，则有派遣方案 A 种；②假设甲参加而乙不参加，先安排甲有 38种方法，然后安排其余学生有A38方法，所以共有3 A38；③假设乙参加而甲不参加同理也有3 A38种；④假设甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A2 种，共有 7 A2 8 8A 48+3 A38+3 A38+7 A 28=4088种.11、多元问题----分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.本材料第4页〔共16 页〕5 集 合法：例 14〔1〕由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位 数字的共有〔 〕A、210 种B、300 种C、464 种D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 A 个，5A1 A1 A3 , A1 A1 A3 , A1 A1 A3 , A1 A3 4 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3个，合并总计 300 个,选 B .〔2〕从 1，2，3…，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两 个数的取法〔不计顺序〕共有多少种。