福建师范大学21春《常微分方程》离线作业2参考答案85.docx

福建师范大学21春《常微分方程》离线作业2参考答案1. 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0证明：若f(x)有n个设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1·ak+1＜0证法1  由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此，如果f(k-1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间    由于f(x)=anxn+…+a1x+a0，则    f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0,    假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-1＞0，ak+1＞0，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C0＞0为f(k-1)(x)的极小值    若f(k)(x)无其他零点，则对任意x≠0，应有f(k-1)(x)＞f(k-1)(0)=C0＞0，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾    若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)≥C0＞0，这与f(k-1)(x)在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾    从而可知ak-1·ak+1＜0    证法2  由于    f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-1≠0,C1=k！ak=0，    f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1＜x2＜…＜xn-k+1，    由于C0≠0，可见    x1·x2·…·xn-k+1≠0则多项式    ψ(x)=Cn-k+1+Cn-kx+…+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的零点由罗尔定理可知    有不相等的二实根但C1=0，因此        即    ak-1·ak+1＜0由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定理以及综合运用上述性质 2. 设函数,其中，，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.  设函数,其中，，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.    因为,    同理.    所以.    又因为,    所以，使,    即球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1上的点使|grad u|=1成立. 3. 定积分是微分的逆运算。

)A.正确B.错误参考答案：B4. 下列关于导数的结论正确的是( )A.两个函数的和的导数等于两个函数导数的和B.两个函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD5. 求直线L．在平面π：x-y+z+8=0上的投影直线方程求直线L．在平面π：x-y+z+8=0上的投影直线方程6. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0； (3) y＝x2，y＝x，y＝2计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0； (3) y＝x2，y＝x，y＝2x； (4)y2＝12(x＋3)，y2＝－1正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图6—12所示则\r\n解(1)另所求平面图形面积为A,如图6—12所示,则7. 设f(x)是可导函数，则( )A.∫f(x)dx=f'(x)+CB.∫[f'(x)+C]dx=f(x)C.[∫f(x)dx]'=f(x)D.[∫f(x)dx]'=f(x)+C参考答案：C8. 设y=sintdt，求y&39;(0)，．设y=sintdt，求y'(0)，．∵y'(x)=sinx，    ∴ y'(0)=0，． 9. 无穷大量与有界量之和为无穷大量。

)A.错误B.正确参考答案：B10. 若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(ax+b)dx=______．若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(ax+b)dx=______．F(ax+b)+C11. 就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．正确答案：(1)p＝q＝0时z＝x2是抛物柱面；\r\n(2)q＝0p≠0时若p＞0z＝x2＋py2是椭圆抛物面若p＜0z＝x2＋py2是双曲抛物面；\r\n(1)p＝q＝0时,z＝x2,是抛物柱面；(2)q＝0,p≠0时,若p＞0,z＝x2＋py2是椭圆抛物面,若p＜0,z＝x2＋py2是双曲抛物面；12. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在[a，b]区间积分∫f(x)dx=∫g(x)dx，则( )A.f(x)在[a，b]上恒等于g(x)B.在[a，b]上至少有一个使f(x)≡g(x)的子区间C.在[a，b]上至少有一点x，使f(x)=g(x)D.在[a，b]上不一定存在x，使f(x)=g(x)参考答案：C13. 利用夹逼准则，求(a≥0)．利用夹逼准则，求(a≥0)．当a≥1时，，而(n→∞)，由夹逼准则知.    当0≤a＜1时，，而(n→∞)，由夹逼准则知．所以    ． 14. 函数在f(x)在x₀处有定义，是当x→x₀时f(x)有极限的充分必要条件。

)A.错误B.正确参考答案：A15. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系．假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是S∝l2，所以饲养食物量ω∝l2．16. 多元函数z=f(x，y)=sin(xsiny)的全微分dz=sinycos(xsiny)dx+xcosysin(xsiny)dy )A.正确B.错误参考答案：A17. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则((A-B-1)-1-A-1)-1等于( )． (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则((A-B-1)-1-A-1)-1等于(  )．  (A) BAB-E  (B) ABA-E  (C) ABA-A  (D) BAB-BC((A-B-1)-1-A-1)(ABA-A)    =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A)    =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E． 18. 某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2．问：至少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概率为0.95?某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2．问：至少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概率为0.95?19. 已知某产品的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pˊ＝b－a(x＋P) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)＝P。

≥0．已知某产品的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pˊ＝b－a(x＋P) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)＝P≥0． 求P＝P(x)．正确答案：20. 设向量组α1，α2，α3线性无关，则α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1也线性无关．设向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+α3，α3+α1也线性无关．21. 若数列收敛，则该数列的极限惟一 )A.正确B.错误参考答案：A22. 为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命为，标准差s2=32h，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求总体均值差μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间(-19.74，59.74)23. 函数的微分形式总是保持不变的性质叫微分的一阶形式不变性 )A.正确B.错误参考答案：A24. 求方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通解．求方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通解．将原方程化为    exdx+3y2dx+2xydy=0    x2exdx+d(x3y2)=0    故    x3y2+x2ex-2xex+2ex=C以x2  乘上3y2dz+2xydy即得d(x3y2)，  而x2exdx总是个微分项． 25. 多项式3x^4＋4x^3＋x^2＋2的首项系数是A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0多项式3x^4+4x^3+x^2+2的首项系数是A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： C26. 当x→0时，下列函数是无穷大量的是( )。

A.1/e^xB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D27. 设事件A与B相互独立，且P(B)>0，则下列可能不成立的是( )． A．； B．； C．P(A|B)=0； D．P(A|B)=P(A)设事件A与B相互独立，且P(B)>0，则下列可能不成立的是(  )．  A．；  B．；  C．P(A|B)=0；  D．P(A|B)=P(A)C特殊公式．    由对立事件的概率公式与独立性得                因为可能P(A)＞0，所以C不一定成立． 28. 下列求导公式正确的是( )A.(lnx)'=1/xB.(sinx)'=cosxC.(cosx)'=sinxD.(secx)'=secx*tanx参考答案：D29. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x )A.错误B.正确参考答案：A30. 解方程组 试用平方根法和追赶法分别解之解方程组  试用平方根法和追赶法分别解之1)平方根法A=LLT    ,    ,    ,   所以     由，解得    由，解得    (2)追赶法此方程组系数阵是三对角阵，且满足对角占优条件。

   根据追赶法计算公式，有。