汇编浅析高考数学中平面向量与其它知识的交汇.pdf

1 2012 年全国高考模拟参考部分高考数学中平面向量与其它知识的交汇山东省尚林涛向量由于具有几何形式和代数形式的“ 双重身份 ” ， 使它成为中学数学知识的一个交汇点， 成为联系多项内容的媒介 向量与平面解析几何， 特别是其中直线部分保持着天然的联系， 同时平面向量是处理其它问题的重要方法，通过将元素间的关系转化为数量关系， 将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，是一种重要的解决问题的手段和方法平面向量的高考考查要求， 其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，向量的坐标表示及运算 其三是和其他数学内容结合在一起， 如可以和曲线、 数列等基础知识结合， 考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力本文例析高考数学中平面向量与其它知识的交汇及解题策略 . 一、平面向量与不等式的交汇例 1 设 a、b 为不相等的正数，求证：2332244)())((bababa证明：设 m=(a,b), n=(a2,b2), 利用向量的数量积不等式有|m| |n|≥|m · n| , 由于 a≠b， 故 ab2-a2b≠0， 也即向量 m 与 n 不是平行向量，故|m| |n||m · n|, |m|2 |n|2＞|m · n|2即2332244)())((bababa成立. 金点子 ：从整体结构上发现不等式与向量不等式有相似之处，避免了取差比较的繁琐。

二、平面向量与函数的交汇例 2 已 知 平 面 向 量),1,3(a), 23,21(b若 存 在 实 数 x和 k, 使,)3(2bxac,bxakd.dc且(1)试求函数关系式k=f(x); (2)讨论函数 k=f(x)的单调性并求出极大值与极小值. 2 解：(1) 0, 1,422 baba. ,0dcdc,0)3(2 22 bxxak, 0)3(42xxk).(4)3(2 Rxxxk(2) ).1)(1(43)1(432'xxxk当 x 变化时，'k, k 的变化情况如下表：x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞ ) 'k+ 0 - 0 + k ↗极大值 0.5 ↘极小值 -0.5 ↗∴k=f(x)在（-∞，-1）及（ 1，+∞）上是增函数，在（ -1，1）上是减函数 . 当 x=-1 时，k=f(x)有极大值 0.5，当 x=1 时，k=f(x)有极小值 -0.5 金点子 ：第（ 1）小题关键是发现0ba，以简化计算，利用0dc，建立函数表达式；第（ 2）小题利用导数不难解决 . 三、平面向量和三角函数的交汇例 3 平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1), ] 4,4[x, (1)求向量OPOQ与的夹角 θ 的余弦用 x 表示的函数 f(x); (2)求 θ 的最值 . 解： （1）21cos,OPxOQO P O Q2 c o s,x.co s1co s2c o s2xx（2）,cos1cos2cosxx],4,4[x,1c o s 22x,223co s1co s2xx, 1c o s232.232ar cc o s0.4,232a r c c o s; 0,0m a xm i n此时此时 x金点子 ：第（ 1）小题利用向量夹角公式,cosbaba问题便可解决；第（ 2）题注意到 0≤θ ≤π ，要求出θ的最值，只需求出cosθ的最值 . 四、平面向量与解析几何中的交汇例 4 已知椭圆, 1 162422yx直线, 1812:yxlP 是l上一点，射线 OP 交椭圆于 R，又 Q 在 OP上且满足Q P 0 R lx y 3 ,2OROPOQ当点 P在l上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 . 解： 如下图不妨设( , ),OQx y(,),PPOPxy(,).RRORxy因为 OP OQ、同方向，且,2OROPOQ所以22.OPOROPOQOQOQOQ所以，有,,2222y OQORyx OQORxPP并将其代入直线l方程，得, 1)812(22 yxOQOR⋯①同理， OR OQ、同方向，所以知有,,y OQORyx OQORxRR代入椭圆方程，得, 1)1624(2222 yxOQOR⋯② 由①、②得）不全为，（0, 812162422 yxyxyx所以点 Q 的轨迹方程为椭圆原 点 除 外 ）.(135)1(25)1(22yx金点子 ：利用两个非零向量a 与 b 共线的充要条件是有且只有一实数λ ，使得b=λ a.当 a 与 b 同方向时，有 b=λ a；当 a与 b 反方向时，有 b=-λ a. 五、平面向量在物理中的应用例 5 一重物 m 用绳悬起如下图，绳的另一端系在天花板上，绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，转速n=1 转/秒，求这时绳和竖直方向所成的角度（ g 取 10米/秒2）. 解：重物作匀速圆周运动时，加速度是向心加速度，由牛顿第二定律知：在竖直方向上，|T|cos θ=|G|=mg(其中为绳与竖直方向所成的角)①，在水平面内， 重力所受合力大小 |f|=|T|sin θ,即|T|sin θ =|f|=m|a| (其中a 为向心加速度 )，⋯②由①②得gatan⋯③圆半径R=lsin θ,圆周长为2πlsin θ，故重物在圆周上的速度大小为m TGf 4 |v|=|2πlnsin θ| 而sin422lnR2va⋯ ④把 ④ 代 入 ③得lng 224cos⋯⑤代入已知数字得 cos =0.5,故 θ =60o 由⑤可知，物体转速 n愈大， θ 也愈大 . 金点子 ：本题是利用向量求解物理问题，物理中力的合成， 速度的合成等都与向量有关 . 六、平面向量与其它知识的综合交汇例 6（2002年江西、山西、 天津高考试题）已知两点M（-1，0） ，N（1，0） ，且点 P 使,,MP MN PM PN NMNP 成公差小于零的等差数列。

（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（ 2）若点 P 坐标为（ x0,y0）,记为PM与 PN 的夹角，求 tanθ解(1)记 P(x,y),由 M(-1,0),N(1,0)得PM=MP= （-1-x,-y） , PN =NP =(1-x,-y) (2,0)MNNM∴2(1)MP MNx221PM PNxy., 2(1).NM NPxMP MN,PMPN,NMNP是公差小于零的等差数列， 等价于0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122xxxxyx， 0322xyx所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆 . (2) 点 P坐标为（ x0,y0）, 2212PMPNxy2222 0000( 1)(1)P MP Nxyxy2 00042)24)(24(xxx∴2 01cos 4PMPNPMPNx300x,30,1cos212 02411cos1sin x,02 02 02 0341411cossintanyxxx金点子 : 此小题以二次曲线为背景，以向量的数量积为工具，综合考察了等差数 列、轨迹方程等基础知识， 真正体现了高考在知识的交汇处出题的新动 向 综上所述，以平面向量为工具把其它问题化归为简单的向量计算，变抽象的5 逻辑推理为具体的向量运算， 实现了数与形的结合， 所以平面向量为载体的数学 试题与其它数学知识联系紧密， 具有很强的时代气息， 因此倍受命题老师的青睐 . 。