一行列式因子.ppt

一、行列式因子一、行列式因子二二、、不变因子不变因子§8.3 不变因子不变因子三、例题讲析三、例题讲析四、练习四、练习1、、 定义定义一、一、行列式因子行列式因子注：注：阶阶行列式因子行列式因子.的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 中必有非零的中必有非零的 级子式，级子式， 中全部中全部 级子式级子式设　－矩阵设　－矩阵 的秩为的秩为 ，对于正整数，对于正整数 ，，若若 秩秩 ，则，则 有有 个行列式因子个行列式因子.行列式因子行列式因子.（（1）（）（定理定理3））等价矩阵具有相同的秩与相同的各级等价矩阵具有相同的秩与相同的各级（即初等变换不改变（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）－矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．列式因子是不变的．2、有关结论、有关结论设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ，， 与与分别是　　分别是　　 与　与　 　的　的 k 级行列式因子．级行列式因子．下证下证 ，分三种情形：，分三种情形： 级子式反号级子式反号. 公因式，公因式，此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或者等于者等于 的某个的某个 级子式，级子式，或者与或者与 的某个的某个因此，因此， 是是 的的 级子式的级子式的①①从而从而 ② 级子式的级子式的 c 倍倍.者等于者等于 的某个的某个 级子式，或者等于　　级子式，或者等于　　 的某个的某个此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或因此，因此， 是是 的的 级子式的级子式的公因式，公因式， 从而从而 此时此时 中包含中包含 两行两行级子式相等；级子式相等；③的和不包含的和不包含 行的那些行的那些 级子式与级子式与 中对应的中对应的中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级级子式，按子式，按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个级子式的级子式的 倍的和，倍的和，即为即为 的两个的两个 级子式级子式从而从而 的组合，的组合， 因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，同理可得，同理可得，（（2））若若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为证：　证：　 与与 等价，等价，完全相同，则这个完全相同，则这个 级子式为零级子式为零.在在 中，若一个中，若一个 级子式包含的行、列指标不级子式包含的行、列指标不与　　与　　 有相的秩与行列式因子有相的秩与行列式因子.级子式级子式所以只需考虑由所以只需考虑由 行与行与 列组成的列组成的即即而这种而这种 级子式的最大公因式为级子式的最大公因式为所以，所以， 的的 级行列式因子　级行列式因子　证：设证：设 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 （（3）（）（定理定理4）） 矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的.其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且于是于是 即　　　　　　　由即　　　　　　　由 的行列式因子所唯一确定的行列式因子所唯一确定. 由（由（2），）， 的的 级行列式因子为级行列式因子为（（4））秩为秩为 的的 矩阵的矩阵的 个行列式因子满足：个行列式因子满足：所以所以 的标准形唯一的标准形唯一.1、、 定义定义二、二、不变因子不变因子 矩阵矩阵 的标准形的标准形称为称为 的的不变因子不变因子.的主对角线上的非零元素的主对角线上的非零元素有相同的标准形，有相同的标准形，1)（（定理定理5）） 矩阵矩阵 、、 等价等价、　、　 有相同的不变因子有相同的不变因子. 证：必要性显然证：必要性显然. 只证充分性只证充分性. 2、、 有关结论有关结论所所以以 与与 等价等价.若若 与与　　 有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则与与 也有相同的也有相同的不变因子，不变因子，、　、　 有相同的行列因子有相同的行列因子. 从而从而 与与则则 ，， 为一非零常数为一非零常数. 的第的第n个行列式因子个行列式因子 证；若证；若 可逆，可逆，因子全部为因子全部为1，， 的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵 ，即，即与与 等价等价.2））若若 的的 矩阵矩阵 可逆，则可逆，则 的不变的不变又又 的的n个行列式因子满足个行列式因子满足: 从而不变因子从而不变因子 所以，所以， 的标准形为的标准形为 矩阵的乘积矩阵的乘积.注注：： 可逆可逆 与与 等价等价.3)（定理（定理6）） 可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等证：证： 可逆可逆 与与 等价等价存在初等矩阵存在初等矩阵使使存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆推论推论：两个：两个 的的 矩阵矩阵 、、 等价等价 矩阵矩阵 ，使，使 例例、求、求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 三、例题讲析三、例题讲析的非零二级子式为的非零二级子式为: 解：解：1）） 的非零的非零1级子式为级子式为: 又又 所以，所以， 的不变因子为的不变因子为 ：2）） 又又 而而 的不变因子为的不变因子为 求求 的不变因子的不变因子四、练习四、练习（（1 1））（（2 2））。