高等数学典型例题详解第三章.doc

例1验证函数/(兀)=壮2(1一兀2)在［0,1］上满足罗尔定理的条件.解 因/(X)是在［0,1］上有定义的初等函数，所以/⑴在［0,1］ ±连续，口0（1-无 2）3在(0,1)内存在；/(0) = /(1) = 0.故/(尤)在LO,1J±满足罗尔定理的条件，山定理知至少存在一点化(0,1)使广© = 0.即1一2孑=0,于是解得,-^6(0,1).例2已知函数/(兀)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/•⑴=0,求证在(0,1)内至少存 在一点§使等式f© = _哼成立.分析 耍证.厂© =-爷成立，即证+ = 即= 0 ,作辅助函数F(x) = xf(x),对F(兀)在区间［0,1］上应用罗尔定理.证明 设F(x) = xf(x),则它在［0,1］上连续,在(0,1)内可导,且F(0) = F(l) = 0・由罗 尔定理知至少存在一点兵(0,1)使得F© = 0,即/@)= _与.证毕.例3设f(x)在［a,b］上连续，在(a,h)内可导，且/(«) = f(h) = 0 ,证明对于任意实数A , 在⑺上)内至少存在一点§ ,使得门2/(0・分析要证广© +好© = 0,即证严［广© +好©］ = 0,即［0 (广(兀)+2/(x))］咯=0,即证［护/(兀)］'|吗=0，作辅助函数F(x) = /V(x),并对FM在区间S,b］上应用罗尔定理.证明 令F(x) = eAxf(x)f易知F(x)在［讪上连续，在⑺上)内可导，且F⑷=F(b) = 0 ,由罗尔定理知，至少存在一点兵@力)，使尸© = 0,即严［/@) +心©］ = 0,而严H0, 故广© +对© = 0, BP #© = -"©,化(讪•证毕.注 证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给岀函数关 系式的命题时，川罗尔定理证明的方法和步骤：(1) 把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有广 ©g©+/W©=o,gf© - kf© = 0,广©±兄/© = 0,/®）g©/'©±/W© = 0等等.(2) 作辅助函数F(劝，使F(勺等于上述等式的左端.对于(1)中所述等式，分别对应辅助两数F(x)为F(x) = xf(x),FM = f(x)g(x),F(x) - f(x),XF(x)=々),XF(x) = /⑴, g(x)F(x) = f\x)g(x)-f(x)gXx),F(x) = e^f(x),F(x) = e±8Mf(x).(3) 在指定区间上对F(x)应用罗尔定理证明.例4设兔吗，…心为满足绳+鱼+《 + ••• +厶二0的实数,证明：方程2 3 n + 1a0 + a}x + a2x2 + a3x3 + …+ anxn = 0 在(0,1)内至少有一个实根.分析 函数/(x) = aQ +alx + a2x2 +咛’ +••• + %"虽然在［0,1］上连续，但是难以验证 /(x)在［0,1］的某个子区间的端点处的函数值是否界号，所以不能用闭区间上连续函数的零 点定理，但发现函数F(x) = +鱼兀2 +鱼兀3 +... + 竺兀⑷在兀=1处的值为2 3 n +1尸⑴=4)+牛+牛+…+ -^7 = 0 ,2 3 n + i且F(0) = 0 ,所以该命题可以用罗尔定理來证.证明 作辅助函数尸(兀)二％v +鱼/+鱼兀3+... +厶才+i,显然尸⑴在［0,1］上连续,2 3 /? + 1在(0,1)内可导且F(0) = 0 , F(l) = q)+《 +生+・・・+厶 =0.对F(x)在区间［0,1］上应用罗2 3 7? + 1尔定理，则至少存在一点gw (0,1),使得尸(§) = 0,即do + ag + _ + 偽§~ 4— + a”了 = 0 ,即方程a0 + atx + a2x2 + a^x3 + ••• + %:" = 0在(0,1)内至少有一个实根§ .证毕.注 关于f(x) = 0的根(或/(对的零点)的存在性的两种常用证明方法证法1如果只知/(力在［°,刃或(d,b)上连续，而没有说明/(x)是否可导，则一般用闭 区间上连续函数的零点定理证明；证法2先根据题冃结论构造辅助函数F(x),使得F(兀)=/(兀)，然后在指定区间上验 证F(x)满足罗尔定理的条件，从而得111 /(x)的零点存在性的证明.例 5 若/(x)在［-1,1］ ±有二阶导数,_iL /(0) = f (1) = 0,设 F(x) = x2f(x),则在(0,1)内 至少存在一点使得F"© = 0.分析 要证严© = 0,只要证在F'(x)区间［0,1］上满足罗尔定理，关键是找到两个使 尸(兀)相等的点.此外，该题述可以用泰勒公式证明.证法 1 (用罗尔定理证)因为 F(x) = x2f(x)，则 F\x) = 2xf(x) + x2f(x).因为/(0) = /(I) = 0 ,所以F(0) = F(l) = 0. FCr)在［0,1］上满足罗尔定理的条件，则至少存 在一点§w(0,l)使得F《)= 0,而F(0) = 0,即F(0) = F©) = 0・对F©)在［0,知上用罗尔定理,则至少存在一点兵(0,蔬)使得F®) = 0,而兵(0,§)u(0,l),即在(0,1)内至少存在一点§，使得F"(§) = 0.证毕.证法2 (用泰勒公式证)F(x)的带有拉格朗口型余项的一阶麦克劳林公式为F(x) = F(0) + F\0)x + x2,其小 §w(0,兀).令 x = l,注意到 F(0) = F(l) = 0, F\0) = 0 ,可得尸© = 0,矗(0,1).证 毕.注 结论为f(tl)^) = 0(n>2)的命题的证明常见方法有两种：(1)对严％)应用罗尔定理；(2)利用/(兀)的n-1阶泰勒公式.例6设函数/(兀)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每一个x,函数/(劝的值都在 开区间(0,1)之内,且证明在(0,1)内有且仅有一个兀,使得f(x) = X .分析 根据题1=1结论，容易联想构造辅助函数F(x) = fM-x ,用零点定理证FCr)存在 零点；而唯一性常用反证法证Z.证明 作辅助函数F(x) = /(x)-x,易知F(x)在区间［0,1］上连续，又0 < f(x) < 1 n F(0) = /(0) > 0 , F(l) = /(l)-KO,根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一个^e(OJ),使得F 忆)= /©-,0,即/(鉀§ •F面用反证法证明唯一性.假设存在西,沪(0，D，且不妨设西5,使得/(£)=兀f(x2) = x2 , F(xt) = F(x2) = O .显然F(x)在［占，兀2］上满足罗尔定理的三个条件，于是存在〃 w 3，%)u (0,1)使得 ") = 0, 即/'(〃) = 1,这与题设/'(x)Hl (氏(0,1))矛盾，故唯一性也成立.证毕.例7假设函数/(兀)和gCr)在上存在一阶导数，并Jlg"(x)HO,/(«) = /(方)=g@) = g(b) = 0 ,试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)HO；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点使/© 二厂©.g© Q© •分析 证(1)可采用反证法,设存在cg (a,b)使得g(c)=O,且由已知条件g(a) = £(b) = O ,可以两次利用罗尔定理推出与0相矛盾的结论•问题(1)是基木题•证(2)的关 键是构造辅助函数0(x),使得0(。

) =(p(b) = 0 ,且0(兀)=f(x)g\x)- f\x)g(x),通过观察 可知於)=f(x)g\x)- f\x)g(x)・构造0(兀)是本题的难点.证 (1)反证法.设存在c・w(d,b),使得g(c)=O,由于g(a) = g(b) = g(c) = O ,对g(x)分别在区间s,c］和［c,b］ ±应用罗尔定理，知至少存在一点§岸(a,c),使得 g@J = O・至少存在一点G (c,b),使得g'(§2)= 0 •再对g'(x)在区间［§］,金］上应用罗尔 定理，知至少存在一点使得这与题设/(对工0矛盾，从而得证.(2)令(p(x) = f(x)gXx)- fXx)g(x),则(p(a) =(p(b) = 0 .对 ©(兀)在区间［a,b］上应用罗尔定理,知至少存在一点心劝,使得0© = 0,即f©g"©-f"©g© = 0・又因 g(x)HO, xw(a,b),故 g(f)HO,又因为 g"(x)HO,所以 g"©HO,因此有 芈二保・证毕• g© g ©" _x v 0 1例8验证函数f(x)= ' 在［-1丄］上拉格朗日中值定理的正确性.1 + x, x > 0 e分析 此题主要考查拉格朗LI中值定理的条件是否满足.解 因为 lim /(x) = lim ex = 1 , lim f\x) = lim (1 + x) = 1 ,贝ljxt(t .v->o_ a-»o* xto*/(0-) = /(0+) = /(0),故f(x)在兀=()处连续，故/⑴在［-1丄］上连续.又因为 er"、 r /(0 + 心)一/(0) r 严一1 .£(0)= lim — = lim = 1 ,Axt(F Ay Ar->o~ Aa'Z；(0) = lim /(° + S(叭 Hm Z — Jl,山 to* Ax 山 to* Ax故门0) = 1从而/(x)在(-1丄)内可导.则由拉格朗日中值定理知存在矗(-1,-)使 e ee e而/如f:所以宀盒解得"_呗+哄例 9 设Ov 0Sav壬，证明 a < tan a- tan ft < a .2 cos~ ［3 cos~ a分析 当/30・证法1 因为/(兀)不恒为常数，故至少存在一点xog (ayb)，使得/(勺)北/(60 = /@).先设/(忑)>/(0)= /9),在上运用拉格朗LI中值定理，于是可知存在 兵 吗)u(a,Z?),使得/'© = —-—[f(XQ)-f(a)]>0 •若/Uo)< fS = f(t>)，则在[兀o，b]u[a,b]上运用拉格朗日中值定理知，同样可知存在兵 Oo")u(d,b), /'©= —[。