《积分的极限定》.ppt

第19讲 Lebesgue积分的极限定理,本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件 重点与难点：控制收敛定理及其证明第19讲 Lebesgue积分的极限定理,基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列fn，其积分与极限可以交 换顺序，即 limEfn(x)dx =Elimfn(x)dx (1),对一般非负可测函数fn，由Fatou引理 知有如下的不等式： Elimfn(x)dx limEfn(x)dx (2),.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,问题1：对非负可测函数列 fn ，上述 不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明第19讲 Lebesgue积分的极限定理,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,既然对一般的可测函数列fn，等式 (1)未必成立，下面的问题便是自然的： 问题2：对一般可测函数列fn ，等式(1) 何时成立？,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,一个平凡的事实是：如果有限测度集 E上的Lebesgue可积函数列 fn一致收敛 到 f，则f也是E上的Lebesgue可积函数， 且等式（1）成立。

第19讲 Lebesgue积分的极限定理,然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到不过它还是能给我们带来一些启 示假设 fn 是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意0，存 在自然数N，当nN时，有 |fn(x)-f(x)| (xE)， 于是 |fn(x)| |f(x)|+ (xE) （3）,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,因 E是有限测度集，故|f(x)|+ 是 E上的可积函数，由（3）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了Lebesgue积分的极限定理,在Levi定理中, 是单调递增的非负 函数序列,其极限函数f满足: 这就是说，该函数列由它的极限函数控制第19讲 Lebesgue积分的极限定理,回忆一下，为什么（2）中不等式 可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x(1/n,1) ， fn(x) = n x (0,1/n， 为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,尽管fn(x) 在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大， 它在（ 0，1）上不能被任何可积函数控制住。

（为什么？）上述分析给了我们何种启示 ？如 果希望等式（1）成立， 应该附加一个什么样 的条件？ 下面仍然考察可测集E上的可测函数列 fn， 但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或 几乎处处收敛第19讲 Lebesgue积分的极限定理,上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设fn是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足： （I） fn在E上几乎处处收敛到f， （II）存在E上的Lebesgue可积函数F， 使得 对任意n， |fn(x)| F(x) a.e.E第19讲 Lebesgue积分的极限定理,问题3：对满足上述条件（I）与（II） 的函数序列 fn ，等式（1） 是否成立？,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fnf，根据Egoroff定理，对 0，存在 可测集EE，使得： （a）m(E- E) ; （b）fn在E上一致收敛到f 于是，我们有 lim E fn (x)dx = E limfn(x)dx (3),.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由此可见，问题归结为函数序列在E- E上 的积分如何变化。

回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是 区间a,b上的可积函数,则对 0,存在0， 使得当c,da,b，且d-c 时，有,这一性质通常称之为积分绝对连续性第19讲 Lebesgue积分的极限定理,注意到E- E的测度可以充分小，而 且函数序列 fn 可以由 F 控制， 那么从 不等式 E- E |fn(x)| dx E- EF(x)dx（4） 及 Riemann 积分的绝对连续性能得到何 种启发呢？,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,上述分析启示我们： 等式（1）能否成立取决于Lebesgue 可积函数是否具有积分绝对连续性第19讲 Lebesgue积分的极限定理,仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的 L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数， 因此不妨设f(x)是E上的非负函数 如果f(x)是有界函数，即,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,则由不等式 知对 只要 就有,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,于是，问题最终归结为： 问题4：若f(x)是E上非负的无界可积函 数， f(x)是否具有积分绝对连 续性？,.,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由无界函数积分定义，可以作有界函数 列 如下： 则 单调递增收敛到f(x)，且 。

第19讲 Lebesgue积分的极限定理,于是对任意 存在N，使得 进而对E的任意可测子集A，有 第19讲 Lebesgue积分的极限定理,这说明，只要 便有 由 的任意性知f(x)确有积分绝对连续性第19讲 Lebesgue积分的极限定理,以上种种分析揭示了一个基本事实, 同 时也给出了这一事实 的一个大 概的证明思 想这个事实即下面的重要定理: 定理(Lebesgue控制收敛定理)设 是可测 集E上的可测函数列， F是E上的L -可积函 数，满足 (1). a.e.E， (2). a.e.E 则f是E上的可积函数，且,。