(高中段)大题考法专练概率、统计、统计案例4.doc

4 2大题考法专练概率、统计、统计案例A 组——训练根本套路1．某市随机统计了城区假设干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记 为 P 元)的情况，并根据统计数据制成如下图的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估算 P 的平均值 P ；(2)假设该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元， 50 元，52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率．解：(1)根据频率分布直方图估算 P 的平均值：P ＝30××10＋40××10＋50××10＋60××10＋70××10＝48.(2)该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元，50 元， 52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，根本领件总数为 6，这 2 户 P 值的和超过 100 元包含的根本领件有(42,60)，(50,52)，(50,60)，(52,60)，共 4 个．所以这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率为 P＝ ＝ .6 32．某公司推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包， 大大增加了用户运动的积极性．该公司为了研究日平均步数和性别是否有关，统计了 1 月份 所有用户的日平均步数，采用按性别分层抽样的方式抽取了 100 个用户，得到如下 2×2 列 联表：日平均步数 不少于 8 000日平均步数 8 000 以下总计男3560女26总计(1)①将 2×2 列联表补充完整．1000 0 491410②根据此 2×2 列联表判断，能否有 99%的把握认为“日平均步数和性别有关〞？ (2)从样本中日平均步数不少于 8 000 的用户中抽取 7 人参加“幸运抽奖〞活动，通过抽奖共产生 2 位幸运用户，求这 2 位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率．附：P(K2≥k )kK2n(ad－bc)2＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d. (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)①根据所给数据，可得 2×2 列联表：日平均步数日平均步数总计男女总计不少于 8 0003514498 000 以下2526516040100100×(35×26－14×25)2 ②因为 K2＝60×40×49×51≈5.229<6.635，所以没有 99%的把握认为“日平均步数和性别有关〞．35(2)由 2×2 列联表知从日平均步数不少于 8 000 的用户中抽取的男用户人数为 7×＝5，女用户人数为 7× ＝2，将男用户记为 a，b，c，d，e，女用户记为 m，n，那么抽取 2 位49幸运用户的根本领件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a ，e)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，e)，(c，m)，(c，n)，(d，e)，(d，m)，(d，n)，(e，m)，(e，n)，(m，n)，共 21 种，其中男、女各一位的有 10 种，所以这 2 位幸运用户恰好男用户 和女用户各一位的概率为 .213．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构 调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数 x正常值 y655563472380290199i ii i ii 6 6^ ^ ^ 90(1)作出散点图；^ ^ ^(2)根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y ＝bx＋a()；(3)～，～，～， 假设为中度焦虑及其以上，那么要进行心理疏导，假设一个学生在距 高考第二周时观测值为 103，那么该学生是否需要进行心理疏导？nåx y －n x y^其中b＝i＝1nåx2－n x26 6 ， åx y ＝1 452， åx2i＝1 i＝1^ ^ ＝91，a＝ y －b x .解：(1)i＝11 1(2) x ＝ ×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y ＝ ×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x y1 452－6×＝267.75，b＝ ≈－8.83，a×≈107.41，91－6×2∴线性回归方程为yx＋107.41.103(3) ≈1.14>1.12，∴该学生需要进行心理疏导．B 组——活化迁移思维4．某校为确定数学成绩与玩之间的关系，从全校随机抽样调查了 40 名同学，其中40%的人玩 ．这 40 名同学的数学分数(百分制)的茎叶图如图 1 所示．数学成绩不低于 70 分为良好，低于 70 分为一般．0 0 玩(1)根据以上资料完成下面的 2×2 列联表，并判断有多大把握认为“数学成绩良好与不 有关系〞.数学成绩良好数学成绩一般总计不玩玩总计40(2)现将 40 名同学的数学成绩分为如下 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)， 其频率分布直方图如图 2 所示．计算这 40 名同学数学成绩的平均数，由茎叶图得到的真实^值记为 x ，由频率分布直方图得到的估计值记为x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 ^表)，求x 与 x 的误差值．(3)从这 40 名同学数学成绩高于 90 分的 7 人中随机选取 2 人，求至少有一人玩 率．的概附：K2n(ad－bc)2＝ ，n＝a＋b＋c＋d. (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)这 40 名同学的数学成绩总和为 2 998 分.≥k )P(K2k解：(1)根据所给数据，可得 2×2 列联表：数学成绩良好数学成绩一般总计不玩玩1866102416^ 6 10 8 9 72 998^ ^11i i i ii i i i i i i i i i 总计24 16 4040×(18×10－6×6)2 45计算得 K2＝ ＝ ＝5.625>3.841，24×16×24×16 8所以有 95%的把握认为“数学成绩良好与不玩有关系〞．(2)由频率分布直方图可知，各组数据的频数分别为 6,10,8,9,7，那么x＝55× ＋65× ＋75× ＋85× ＋95× ＝75.25，40 40 40 40 40茎叶图得到的真实值为 x ＝ ＝74.95，40所以x与 x 的误差值为x－ x ＝75.25－74.95＝0.30.(3)将高于 90 分的 7 个人编号为 1,2,3,4,5,6,7，其中 1,2 为玩的两个人，那么从 7 人中选 2 人，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共 21 种方 法，其中 2 人中有玩的包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，共 11 种方法，所以从 7 人中选 2 人，至少有一人玩的概率 P＝ . 215．某公司为了了解年研发资金投入量 x(单位：亿元)对年销售额 y(单位：亿元)的影响， 对公司近 12 年的年研发资金投入量 x 和年销售额 y 的数据进行了比照分析，建立了两个函 数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中 α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．并得 到一些统计量的值．令 u ＝x2，v ＝ln y (i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：xy12å (x － x )2 i＝112å (y － y )2 i＝1uv2012å (u － u )26612å (u － u )(y －77 212å (v － v )246012å (x － x )(v －i＝1i＝1i＝1i＝1i i i i i i i ＝ i i i 1 ii 2 i i i i 215 4350i i 2 i i ＝ 111 2y )31 250 215v )14(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程()；②假设下一年销售额 y 需到达 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量约是多少亿元？nå (x－ x )(y－y )i＝1附：相关系数 r＝ ，n nå (x－ x )2å(y－ y )2i＝1i＝1nå (x－ x )(y－y )^ ^ ^ ^ 回归直线y＝a＋bx 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝1^，a＝ ynå (x－ x )2 i＝1^－b x .参考数据：308＝4×77， 90≈ 8，e 8≈90.解：(1)设{u }和{y }的相关系数为 r ，{x }和{v }的相关系数为 r ，12å (u－ u )(y－y )那么 r1＝i＝1＝12 12å (u－ u )2å(y－ y )2＝ ＝0.86，31 250×2i＝1i＝112å (x－ x )(v－v ) i＝1r ＝ ＝12 12å (x－ x )2å(v－v )214 1077×≈0.91.i＝1i＝1因为|r |<|r |，所以从相关系数的角度，模型 y＝eλx＋t (2)①先建立 v 关于 x 的线。