人教版中考数学复习专题8几何最值问题解法探讨.docx

新人教版中考数学复习导学案【2013 年中考攻略】专题 8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题解决平面几何最值问题的常用的方法有： 1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例 1. （山东济南 3 分）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】A． 2 + 1 B． 5 C．14555     D．52【答案】A考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE= = AD2 + AE2 = 12 + 12 = 2 ，∴OD 的最大值为： 2 + 1 故选 A例 2.（湖北鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC 中，BC= 4 2 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M、 N 分别是BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ▲ 新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案[【答案】4考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM∵∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，∴∠EBM=∠NBM在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）∴ME=MN∴CM+MN=CM+ME≥CE又∵CM+MN 有最小值，∴当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值∵BC= 4 2 ，∠ABC=45°，∴CE 的最小值为 4 2 sin450=4∴CM+MN 的最小值是 4例 3.（四川凉山 5 分）如图，圆柱底面半径为 2cm ，高为 9p cm ，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 ▲ cm 。

圆周长、   高组成直角三角形由周长公式，底面圆周长为4p cm ，   高为1【答案】15p 考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面13 33p cm ，根据勾股定理，得斜线长为5p cm ，根据平行四边形的性质，棉线最短为15p cm 例 4. （四川眉山 3 在 ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案▲ ．【答案】1＜AD＜4考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系分析】延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE．根据 SAS 证明△ABD≌△ECD，得 CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）∴CE=AB在△ACE 中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即 2＜2AD＜8∴1＜AD＜4练习题：1. （湖北荆门 3 分）如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为 5 cm .若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（四川广安 3 分）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC= 23BC．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【   】A、 (4 +  6p ) ㎝B、5cm  C、 3 5 ㎝  D、7cm3.（广西贵港 2 分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、，则 BPG 的周长的最小值是 _ ▲ ．新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例 1. （山东莱芜 4 在 ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是▲ ．【答案】 245。

考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当 BP′⊥AC 时，BP 取得最小值设 AP′=x，则由 AB＝AC＝5 得 CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在  AB P′和  CBP′中应用勾股定理，得¢ 2 P¢2B P2 = A B - A ，¢2 2 C2B P = B C- ¢ P∴ AB2 - AP¢2 = BC2 - CP¢2 ，即 52 - x2 = 62 - (6 - x )2 ，解得 x= 75-ç   ÷  =                       ∴ BP¢ = 52æ 7 ö2 576 24                 24è 5 ø 25  5                  5例 2.（浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD上的任 意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】A． 1【答案】BB． 3      C． 2       D． 3 ＋1新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

分析】分两步分析：（1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点P 关于 BD 的对称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1 = P K1，P1K=PK由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1∴此时的 K1 就是使 PK+QK 最小的位置2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1 在 AB 上，即不论点 P 在 BC 上任一点，点 P1 总在 AB 上因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P1Q⊥AB 时 P1Q 最短过点 A 作 AQ1⊥DC 于点 Q1 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°3又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300= 2 × 3= 3 综上所述，PK+QK 的最小值为 3 故选 B例 3.（江苏连云港 12 分）已知梯形 ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE＝PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE＝nPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】解：问题 1：对角线 PQ 与 DC 不可能相等。

理由如下：∵四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，∴∠DPC＝90°∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2 2 设 PB＝x，则 AP＝2－x，在  DPC 中，PD2＋PC2＝DC2，即 x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得 x2－2x＋3＝0，∵ ＝－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解∴不存在 PB＝x，使∠DPC＝90°∴对角线 PQ 与 DC 不可能相等问题 2：存在理由如下：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，则 G 是 DC 的中点过点 Q 作 QH⊥BC，交 BC 的延长线于 H∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ∴∠ADP＝∠QCH又∵PD＝CQ，∴ ADP≌ HCQ（AAS）∴AD＝HC∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，∴当 PQ。