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第一章 行列式· 要点和公式 ·1 全排列及其逆序数、对换 排列的逆序数=各元素的逆序数之和一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数）  n个元素所有排列的种数Pn=n!,其中奇、偶排列各占一半　一次对换改变排列的奇偶性2 行列式 n阶行列式的定义: 　 　 　　 　 　 　 　 　 或 　 　 或　 　　 　　 　 　 　 　  行列式的性质:⑴ Ｄ=DT ⑵ ⑶　以下都是行列式等于零的充分条件: ①两行（列）完全相同;②某一行(列)的元素全为零;③两（列)的元素对应成比例.⑷ 若行列式的某一行(列）元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. 行列式按行(列）展开法则 或　 (i=1,2，…，n）（其中,D是原行列式的值）　重要的特殊行列式⑴　对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式　 　 　 　 　 　　 （1-1) 　（1-2)⑵　 　 　 　 　 （1-3） （1-4）⑶　分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式 　　 　 　 　 　 (1-5)⑷ 　　 　 　 （１－6）以上两式中,分别是k阶、ｍ阶行列式。

⑸ 范德蒙德行列式 　　 　　 （1-7）3 克拉默法则和有关定理 克拉默法则： 对于n个变量ｎ个方程的线性方程组 简记为 （i=１,2，…,ｎ)若系数行列式D¹0,则方程组有唯一解：　（i＝１，2,…，ｎ)其中Dｊ是用方程组的常数项b1， b２， …， ｂn替换系数行列式D的第j列得到的行列式 定理:对于非齐次线性方程组 （i＝1，2，…,n）⑴ 方程组有唯一解 系数行列式D¹０；⑵ （等价命题） 方程组无解或有多组解 D=0. 定理:对于齐次线性方程组　(ｉ=1，2，…，ｎ）⑴ 方程组只有零解系数行列式D¹0；⑵　（等价命题） 方程组（除零解外）有非零解 D＝0ﻬ·　典型题型　·1 全排列的逆序数、奇偶性计算ｎ元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数（即每个元素的逆序数),这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数.判断排列的奇偶性的常用方法有两种：方法一：算出排列的逆序数,若逆序数为奇数，则为奇排列;若逆序数为偶数，则为偶排列;方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列（偶排列）,若所需对换次数为奇数，则为奇排列;若所需对换次数为偶数,则为偶排列.　（因为每次对换都会改变排列的奇偶性)例１ 计算排列1347８2６95的逆序数，并判断奇偶性解 　 　 　 　 　 　 　 　　 　　　　 　 　 逆序数t（1３4782６95） ＝ 　= 10该排列为偶排列。

例２ 以下排列中（　 ）是偶排列A)　43１2 　（B) 5１４32　　 （C）　４531２ 　 (D) 65４３２１［分析］ 对于(Ａ）４312，将4和右边的元素进行相邻对换,直至其排在第四位，需3次相邻对换；再将3和右边的元素进行相邻对换,直至其排在第三位,需２次相邻对换　于是，经过总计５次相邻对换，可使43１2变成标准排列12３４,因此4312是奇排列对其它选项可作类似分析.解一 四个选项中,只有（C)可通过偶数次对换变成标准排列，答案为(Ｃ)解二 　 　　　　 逆序数 同理,t （５143２）＝７，t (４5３12）=8，t (6543２1)=15. \ 答案为(C）[练习1] 求排列13…（２n-１）２4…(2ｎ）　的逆序数， 并讨论奇偶性[答案] t=n(n－１）/2当n=4ｋ，４ｋ+1时，为偶排列；n＝4k+2,　4k＋3时，为奇排列．例3设排列ｐ1p2…pn—1ｐn的逆序数为k， 则pnpn－1…ｐ２p1的逆序数为多少？ 解 在n个元素中任选两个元素ｐi ， pj （共有种可能),则pi , ｐj　必在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为。

\ 　２ 求行列式中的项例4在六阶行列式中,如下的项带什么符号：a2３a31a42a56a１4a６5解一 调换项中元素的位置,使元素的行标排列变成标准排列，即 a１4a２3ａ31a4２a５6a６5再求出列标排列的逆序数，t（43１265)＝６,故该项带正号．解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数t1 (２３451６）=4 　 t2 （312６４５)=4由于t1+t2=8，故该项带正号例5 写出五阶行列式中包含因子ａ13a25且带负号的所有项［分析] 设项为(-1)ta１3ａ25a3ia４ja5k，显然ijｋ是124的某个排列,共有六种可能性,其中有三种使乘积带负号，三种使乘积带正号.不妨设下标ijk ＝　１２4，此时，列标排列的逆序数为t（3５1２４)＝5，是奇排列,于是该项带负号再对124进行两次对换（这不会改变整个排列的奇偶性)，可得ijk的另两组使项带负号的取值: 412, 2４1解　设(－1)ta13ａ25a3ia４ja5ｋ，并令下标ｉｊk ＝ 12４,此时列标排列的逆序数为t（351２4）=5,是奇排列再对12４进行两次对换，得ｉjｋ=4１2， 241.ｉｊk的这些取值使含ａ13a25的项带负号，即所求的项为－ａ13a2５a3１a42a54,—ａ１3a25ａ34a41a5２， 　－a13ａ25a32a44ａ51［练习2] 写出四阶行列式中所有带负号且包含a23的项．[答案］　 —a11a2３ａ32a44 -a１２a２3ａ3４a4１　 -a1４a23a32ａ４１ 例６ 求中x4和ｘ3的系数．［分析］ 从行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能值，并注意每一项的符号。

设行列式的一般项为，求x4和x3的系数就是分别求有4个以及3个元素含ｘ时的项⑴若４个元素皆含ｘ,各行元素的列标可取如下值：p1：　1 　　ｐ2： 1， 2 　 ｐ３： 3 　ｐ4： 1, 4仅当p1p2p3p4＝　1２３4时才能构成四元排列⑵若有３个元素含x,各行元素的列标有以下四种情形① 　 ② ③ ④ｐ1: 2， ３， ４ 1　 　 　　1 　1ｐ2： 1, 2　　 　3, 4　　 １，　2　 　1, 2ｐ３:　 ３ 　 　　 3 　 　 1，　2，　4　 3 Ｐ4： １，　4 　 1， 4 　1，　4 　 　2, 3第一列中的数值可组成两个４元排列：２134，　４231，而表格后三列所示的允许值中都缺少一个数,不能构成４元排列．解　4个元素含x的项只有　　　 　　　　 = 6x4.有3个元素含ｘ的项有两个，+= 4ｘ3-2ｘ3　　=2x3\　ｘ4和x3　的系数分别是6和2．［练习3］ 对例６中的行列式f（x）,求［提示］ 　ｆ（x）是x的4次多项式,设f(x）=ｃ0+c1ｘ+ｃ２x2+ｃ３x3+c4x4，则d３ｆ（x)/dx3= 6a3+24a4x,故本题需先求行列式中x４和x3的系数。

[答案］　 　[练习4］ 求中x4、x3的系数以及常数项［提示] 行列式中涉及ｘ4和x3的项只有1项，即主对角线上四个元素的乘积（－1)t（1234）,其余的项至多含x2；而f（x）的常数项就是f(0)［答案]　 1，　 ａ11+a22+ａ33+ａ４4，　 3　行列式的性质例7 设, 则 = （ 　　)（A)　－３D 　　（B） 3D (C） １2D 　 　（Ｄ) -12D解一 　 =3D\ 答案为（Ｂ).解二 将按照第2列拆分为两个行列式之和,得上式右端第一个行列式等于零（因为第1，２列成比例）,而第二个行列式的各列分别提取公因子，得 例8 设ａｂcd=1， 证明行列式=０.证 将行列式按第1列拆分为两个行列式之和，即Ｄ= 对Ｄ１的各行分别提取a，b,c和ｄ，并利用abｃｄ=1,得D1 = 　=　\ Ｄ=　０. ［练习5］ 设, 则　… …　… ( 　）(A） 1 　 （B） －1　　 　（C） (-1)n　 　（D）2[提示]　将D左右翻转、再上下翻转(或者，　将D依副对角线翻转)　可得到，而左右或上下翻转可通过ｎ（ｎ-1）/２次相邻的列(行）对换实现.［答案] (Ａ）例9 如果ｎ阶行列式满足， 则称D为反对称行列式，　证明： 奇数阶的反对称行列式等于零。

　证 Þ Þ (即D的主对角元全为零)设, 则　由ｎ是奇数，得D　=　-Ｄ，故D=04　行列式的计算和证明计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方法综合应用.　除了本章介绍的方法，以后还会陆续学习到一些新的方法,平时应注意归纳、整理在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变换后,再考察是否能用常用的几种方法.⑴ 对角线法则,只适用于二、三阶行列式⑵ 利用n阶行列式的定义利用定义计算行列式是最基本的方法.“要点和公式”中的公式（1-１)～　(1—４)就是用定义法证明的.例10　用行列式的定义计算解 根据定义,行列式的一般项为 　　 　 　 　 　　,当其中任一元素为零时，乘积为零．若不考虑各行元素中的零，各行元素的列标分别可取如下值：ｐ１: 2， ３　　 p2： １, 2，　3， 4， 5 　ｐ３： 1， 2，　3, 4， ５　 p4： 2， 3　　 p５： 2,　3上面的这些数值无法使p１p２p3p4p５组成任何一个５元排列 （因为其中的p1， p4,　p5只能取2或３)，也就是说，一般项中的5个元素至少有一个为零，故行列式的值等于零．［练习６］ 用行列式的定义计算 （n³2)[答案］ 行列式的ｎ!项中只有1项不等于０,即⑶ 利用行列式性质，化为三角形行列式利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要点和公式”中的公式（1—5）和（1－６)就是用此法证明的。

其基本步骤是，利用ri+ｋrj （ci+kcｊ)、提取公因子、rｉ«rｊ (ci«cj)等运算,将对角线以下或以上的元素化为零,然后利用公式（１-1)～（1-4)计算出结果例１１ 计算五阶行列式解 　(注意上面标有*的步骤,其目的是为了避免出现繁琐的分数运算）例１2 计算ｎ阶三对角行列式[分析]　三对角行列式 　 可通过逐行(或逐列)的倍加运算，将主对角线以下或以上的元素化成零．解 ＝　n+1例１３　计算n阶行列式［分析］ 型的行列式可看作是 　 的变形，可通过逐行的倍加运算，将主对角线以上的元素化为零解 自倒数第2行开始往上,每行加后行，Dn 例１４ 计算ｎ阶爪型行列式［分析]　　 　称为爪型或箭型,可利用主对角元，通过 ｒ１+kｒｉ或ｃ1＋kｃｉ （i=2， ３， …， n)运算,将其化为 　 或 .解 注 对于以上关于　 　 　 型行列式的例题，它们的翻转、旋转等形式，可循类似的思路进行计算． ［练习7] 。