初中数学复习归类 一元二次方程及分式方程.pdf
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一元二次方程及分式方程八年级数学同步辅2009-08-1821 :14:29阅读278评论0字号：大中小订阅暑假专题一一一元二次方程及分式方程【试题讲解】、填空题：（每题3分，共36分）1 、当a时，方程(a-1)i+x-2=0是一元二次方程2、方程2x(1 +x)=3的一般形式为3、当x=、x+14 时，分式的值等于一x+2 s 4、方程21=32的解为2. I 5、方程一1＝一一一的解为I 2 - x• · I + x 6、方程x2-5x-6=0可分解成与俩个一元一次方程7、已知rn是方程长－x－2J5=0的一个根，则m2-m=2 8、2x2+4x+10=2(x+ ___ _/+ 9、以一2和3为根的一元二次方程为（写出一个即可）10、如果方程泛—3x+m=O的根为1，那么方程的另根为x+l m 11、如果方程一—-－1=--－有增根，那么m=x- 2 · 2- x 1 12、长20m、宽15m的会议室中间铺一块地毯，地毯的面积是会议审面积的一，2 若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为答案：1 、#12、2l-+2x-3=0 3、35、x=O4、x＝士46、x—6=0,x+ 1 = O 7、2｀归8、1,8 9、X2-x-6=011 、—31 0、x=212、2.5m二、选择题：（每题4分，共24分）1、下列方程巾是一元二次方程的是（) A、x+3=5B、xy=3C、I+1 - =0 X 云－a2、若关于x的方程＝1无解，则a的值等千（. x- 1 A、0B、1C、23、方程2x(x- 2)= 3 (x-2)的根是（3-2 = x 、A B、x=23 C、X1=-:-,X2=2 2 D、2-l—1=0D、43-2 = x 、D A、(x—2)2=74、把方程-l-+3=4x配方得（B、(x—2)2=1C、(x+2/=1D、(x+2)2=25、某车间原计划x天内生产零件50个，出千采用新技术，每天多生产零件5个，因此提前3天完成任务，则可列出的力程为() 50 50 A、=—-5x-3 X 50 50 C、=- -3 x-5 X 50 50 B、—=-5X x-3 50 50 D、一＝-3 X x-5 6、把一个小球以20m/s的速度竖直向」了开出，它在空中高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=20t-5t2,当h=20时，小球的运动时间为（) A、20sB、2sC、(2-.J2+2) s D、(2✓2-2) s 1、D答案：2、C3、C4、B5、B三、解下列方程：（每题6分，共36分）1、X(x+5)=24 2、2x2=(2＋石x3、x2-4x=54、4(x-1)2=(x+ 1)2 5 7 -= 5、Xx-2 6、x+1-1=4x- 1 · x'-1 答案：1、解：X1=3,X2= - 8 2＋石2、解：X1=0,X 2= 2 3、解：X1=5,X2=- 1 4、解：x,=3,x2=~ l 3 5、解：x= -56、解：x=1,增根．．．原方程无解匹、解答题：（每题8分，共32分）、nax- a 1、解关千x的万杠=1 + x ( a-:/:-b ) b 6、B 2、方程/+3x+m=O的－个根是另根的2倍，求m的值。
3、电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都具有电阻，如图所示，I I I 当两个电阻 凡、氏并联II寸，总电阻满足玉＝－－＋一－，若凡＝4,R2=6,求总电阻RR1 . R2 R1 Ri 4、电力局的维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是庥托车的1.5倍，求这两种车的速度答案：1 、解：ax—a=b+bxax—bx= a+ b (a-b) x= a+ b ·:acf=b a+b :.x= a-b 炉＋3k+m= 0 2、解：设两根为K、2k,则｛矿＋6K+m=0 CD@ 解得k,=O,k2=- 1 当k1=0时，m=O当k2= —1时，m=2:.m =O或＝23、解：1-6 + 1-4 = llR 3 2 =12 +12 5-12 = l2 :.R= 5 4、解：设摩托车的速度为x千米／时30 30 15 X =l.5x+60 x=40 检验：1.5x=60【模拟试题】（答题时间：15分钟）1、如图矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，求经过几秒时，(DL:.PBQ的面积等千8平方厘米？＠五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？D c A卡PQ个B2、小明的爸爸下岗后自谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克商0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元4 零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出5时，出现滞销，他又按原零售价的5 折售完剩余的水果。
讷你拌小明的爸爸算算这天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？- C 业秸于勃而荒于婚，行成于思而毁于随-－韩愈 【试题答案】1、O2秒或4秒@3秒时，面积最小，最小值为63cm22、设甲种水果批发价为x元／于克，则乙种水果的批发价为(x+0.5)元／千克100 150 由题意，得x+10= x+ 0.5 1--4.5x+5= 0 .".x1= 2.5 X2= 2 经检验：都是原方程的根但x=2.5时，乙种水果的批发价2.5+0.5=3元，商千零售价，不合题意舍去:.x= 2 100 4 1 1 :.甲：2.8XX X(5 + 5 X 2)一100=2.8X45-100=26 150 乙：x+0.5 X2.8—150=18 赚了：26+18=44（元）【励志故事】富有更多表现在内心里一次，李嘉诚上车前掏手绢擦脸，带出一块钱的硬币掉到地上天下石雨，李嘉诚执意要从车下把钱捡起来后来还是旁边的侍名为他捡回了这一块钱李嘉诚付给他100块的小费他说：“那一块钱如果不捡起来，被水冲走可能就浪费了，这100块却不会被浪费，钱是社会创造的财富，不应被浪费＂分式及分式方程等腰三角形八年级数学同步辅2009-08-1821 :02 :36阅读71评论0字号：大中小订阅代数：分式及分式方程几何：等腰＝角形 ［学习目标］代数：分式定义；分式有意义与值为0的条件；分式的加减乘除运算，掌握含有字母系数的一元一次方程，可化为一元一次方程的分式方程的解法．几何：掌握等腰＝角形的性质及判定；掌握线段的垂直平分线的性质及判定－．重点、难点：重点：代数：分式的概念及运算：可化为一元一次方程的分式方程的解法。
几何：等腰三代形的性质与判定；线段的垂宜平分线的性质及判定难点：代数：分式计算：分式方程的解法几何：等腰三角形的判定，线段的垂肖平分线的判定三、知识结构代数：A 定义：—，B中含有字母B A AXM -= (M#0) 基本性质iB BXM A A..,..M -= (M#0) B B..,..M 约分：分式的乘除法｛法则：整数指数幕的运算性质通分：分式加减祛｛法则同分母：1分式l｛异分母： 2.含有字母系数的一元一次方程ax=b (a~O ) 定义：归3可化丿J一元一次力程的分式力程｛增根：几何：底＃腰定义：等腰三角形{等边三角形叫::匼尸边对等角等边三角形各角均相等，且为60°定理：等角对等边判定三个角均相等的三角形等腰三角形l［有一个角为60°的等腰三角形｝等边三角形线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【典型例题】例1．求仗得下列各式有意义的x的范围及使得下列各式值为零的x值2 x + x 2 ( 1 ) X -1 2x <2) 1x1-1 分母＃0分析：有意义，分母＃0;值为零｛分子＝0 2 x + x 2 解：（ 1 )要使X-1有意义，需x2-l#O,:.x#士12 x + x 2 即当x#±1时，分式X-1有意义X2 2 + x {x2 +x= 0 @ 要仗X-1值为零，需x2 - 1#0 @ 由O，得x=O或x= -1由＠，得x＃士1x=O时，:.当。
零为值x1 +- 22 xx 2x (2)要仗|x1-1有意义，需1对－1＃0,...x＃士12x 即当X"F土1时，分式1对一1有意义三{2x=0CD 要使冈－1值为零，需1汁1:/=0 @ 山O，得x=O由＠，得x＃土12x :.当x=0|l寸．1x1-1值为零例2化简( b a. a -b 2 + 2尸—( 1 ) a -ab b -ab ab :2. _ . 1 x2. 1 x" +x+ 1-—+— ( 2 ) x-1 x- 1 b a ab = (+) · — 解：（1)原式a(a-b) b(b-a)' a-b = [ ~ -~].竺a(a -b) -b(a -b) a-b = b 2 -a2 ab . ab(a-b) a - b (b -a)(b +a)ab ab(a -b)(a - b) b + a b-a 2.. • x2. 1 = x" +x+1-—+— (2)原式x-1 x-1 1-x2 = x2 + x+ 1+— x-1 = x2 +x+ 1+ (1- x)(1+ x) x- 1 = x2 + x + 1-(1 + x) = x2 例3解方程1 2 = 2 ( 1 ) X -1 x -1 1 a 1 b -+-=-+-(a#b) ( 2 ) a x b x 2 解：（1)方程的两边同乘以X-1，得x+l = 2 :.x = 1 检验：当x=1时，x2- 1 = 0 所以x=1是增根，原方程无解。
2)方程两边同乘以abx,得 bx +a2b = ax +ab2 移项，得(b-a)x=ab(b-a) ...b#a,.·. b -a# 0 :．方程两边同除以(b-a)，得x= ab 即x=ab 例4.如图：AB=AC，乙A=40',乙PBC＝乙PCA,求乙BPCC B 解：设乙PCA=x,则乙PBC=x,设乙PCB=y·:AB=AC :.乙ABC=乙ACB:.乙PBA=y在6.ABC中，乙A＋乙ACB十乙ABC=180°．．乙ACB十乙ABC=180°－ 乙A=180°-40° = 140° 即2(x+y)=140°,:.x+y=70' 在6.PBC中，乙CPB=180°-(x+ y) =180' - 70° = 110° 即乙BPC=110'例5.如图，点P是线段AB的中垂线上一点，PC..lPA,PD..lPB, AC=BD,求证：点P段CD的中垂线上 c A D B 证明：？点P段AB的中垂线上.'.PA=PB 在Rt心PAC和R!L.PBD中，{AC=BD PA = PB :.Rtf:::.PAC兰Rt么PBD(HL) :.PC=PD（全等三角形对应边相等）:.P段CD的中垂线上（中垂线定理的逆定理）【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.下列各式中是分式的是哪些？1 -, 2x+-, -1 2 2 1 3 3 x-' 冗2x 一，X. x+3 2 x +1 @ X-1 2.求使得下列各式有意义的条件3x 2 @x+1 3.解方程2x+ 1 S = @x2 + X -2x+2 江二（c＋洋0)@b-x d x2 -4 ® x+ 2 4求证：等腰三角形两腰上的商相等。
5.如图：E是乙AOB的平分线上一点，ECJ_OA,EDJ_OB,菲足分别是C,D万求证：OE是CD的中垂线，学习永远不晚，一一面尔基］ 【试题答案】1 2x 1. X, x+3 2. CD茫1@x为任意数@x~-2 ad+bc x= 3. (DX= 2 ® c + d 4.略5.提示：只衙证ED=EC数的开方、二次根式的乘除法直角三角形八年级数学同步辅2009-08-1820:59:09阅读589评论0字号：大巾小订阅代数：数的开方、二次根式的乘除法几何：直角三角形［学习目标］代数：了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用数学符号农示：了解开方与乘方可为逆运算，会求某非负数的平方根、算术平方根、立方根；了解无理数与实数的概念，会求简单的二次根式的乘除法运算及进行简单的分母有理化儿何：理解掌握勾股定理及逆定理二重点、难点：重点：代数：平方根、算术平方根、立方根的求解，无珅数的概念，二次根式的乘除法运算几何：勾股定理及逆定理 难点：代数：平方根、算术平力根的求觥，无理数的概念，二次根式乘除法的运算几何：勾股定理及逆定理的应用数性系方顷关开4凡的良才良方才才被双方立方平数＞l的立的旨＞－品”的a 才a根fi＼做数甘，个做甘，一n沿ijx两们则＞－＞－贝的结，位伈、5数品品3＿一反屈识a知＝甘2士X数数木3`[ .. 为x : 互示.. 根睬正0负一表睬数数示方女|_|｀丿女俨且表平念正号数, 概符念量号术l 概数符算'丿l良良才才方立方平有理数｛有限小数无限循环小数实数lI开方开不尽的方根：迈，石，……无理数无限不循环小数特殊结构：0.101001000… …特殊意义：兀竺，……3 乘法祛则：品·森＝奻嘉(a~0, b ~ 0) 二次根式的乘除祛挣除祛法则．甚a: i=l(a~O, b>O) 分母有理化：定义：面积：直角三角形｛特殊的直角三角形｛有一个角是30°的直角三角形等腰直角三角形勾股定理：勾股定理逆定理：【典型例题】例1．填空：(1) 64的平方根(2) 16的算术平方根( 3 ) -125的立方根(4) 125的立方根1 1 — . -( 5 ) 27 8的立方根(6)启的平力根(7)若孟了＝－a,则有尸(8 ) 8的倒数解：（ 1)组；(2 ) 4 ; ( 3 ) -5: ( 4 ) 5; 1 ( 5 ) 6; (6)士J百，（7)a s O ; ( 8 ) -2。
例2.指出下列哪些数是有理数，哪些是无理数？忑，项，2.0伶－兀三，西，23 2, 0.373773777…… 森，2.0伶炕际，- 5 解：有理数：2 －拐，一兀无理数：穴-:.:., 0.373773777···... 3 例3.当x为何实数时，下列各式在实数范围内有意义？1 1 ( 1) $ (2)｀厅(3 ) 2－石( 4)~ ( 6 ) r-;r 5 (5)卢－卢(7)五亢了x~一3 x<-解：(1) 2 : ( 2 ) 4 : ( 3 ) X ~ 0且x-:t:-4( 4 ) X为什何数( 5 ) X ;?_ 1; ( 6 ) X = Q; (7) X为忏意数例4化简计算；(1)（嘈）2 (2 ) （霆）2 ( 3 ) (-4勾(4)石丽；（5）严(m为正整数）: 10x2压·-5 -1 ( 6 ) （』,(7)二2 ( 6 ) `` (9)32焉(10) -~•Ji+（－灼｀勹解：(1) ( 2 ) （气2 = 4 ( 3 ) (-4忍丫＝482(4)荩＝1o-./3 (5)妇产=|a伶飞10x飞·(－5丿＝（－50x2)尸X J.'V X =-50x2 Jy (7)痄豆臣卢：(8`｀＝信产：2护三2五2 ( 9 ) 3护了3x2动；＝写(10) -H.卢－（－3曰 ＝－卢－（－3司= -t~(- 3'\!s) 言例5.如图，已知乙C=90°,AC=3, BC=4, BD=12, AD=13,求：四边形s 四边，和四Co A C D B 解：在R丛ABC中，AB=~=✓歹了了了＝5在6,ABD中，BD = 12, AB = 5, AD= 13 发现AD2= 132 = BD2 + AB2 = 122 +52 :.乙ABD=90°沁也心皮＝S屯D+S心C1 1 =.:....Bn. AB+.:....Ac• BC 2 2 1 1 =...:...x12xs+...:...x3x4 2 2 =6x5+2x3 = 36 【模拟试题】（答题时间：90分钟） 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题口要求的（每小题3分，共30分）1. 3的平力根是（) A.土J3B.,./3 C. 9 D.土91 2.在/::,.ABC中，有一个灼为肖角的一半，另一个化为平f(J的3,那么/::,.ABC是（) A.锐灼三化形C.钝化三扣形B等腰三化形D肖f0三角形3.下列各式变形正确的是() 5a 5a2 A. 3b -3b2 C C --= c. -a+b a +b 矿＋b2=a+b B. a + b b- a a - b o. - a - b a +b 4.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的有() 严新西兰古巴心加盒大圭亚那A.1个B.2个C. 3个D.4个5.下列多项式能因式分解的是() 2 A. m-凡2.. 2 C. m＋叩＋刀B. m2 +5 D.汾－2m+16.下而说法中正确的是() A. X <0 A.无理数包括正无理数、零和负无理数B.无理数是用根号表示的数c.无理数是有理数开力开不尽的平方根D无理数是无限不循环小数7.下列各组线段中，不能构成肖仇三化形的是（) A. 5, 12, 13 B. 2, 3,石C. 4, 7, 5 D. 1, -/2,、Elxl x 8 已知x-22-X，则x满足() B. X :s; 0 C. X > 2 D. X 2'. 0且X-:#-2 9.如图，在6ABC中，下列推理错误的个数有() A B D (1) ·:AB=AC,乙1=乙2占 AD.LBC,BD=DC (2) ·: AB=AC, AD.LBC :.乙1＝ 乙2,BD=DC (3) ·: AB=AC, BD=DC ：．乙1＝ 乙2,AD.LBC (4)'.'BD= DC, AD= AD .'.AD..lBC, AB= AC A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.如图，点E在6.ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F,若乙1＝ 乙2=乙3,AC=AE,则（）E B D c A. 6.ABD竺6.AFDC. 6.AFE竺公DFCB. L.AFE竺L.ADCD. L.ABC竺L.ADE二．埴空题：把答案填在题中的横线上( 11~15题每小题2分，16题4分，共14分。
11.在f'::.ABC中，AB=5,BC=?,则第三边CA长的取值范围是12.在公式F=ma+1中，所有字母都农示正数，已知F,m，则a=13.若x2 + 2(m-3}x+ 16 是完全平方式，则m的值为x - b 14 已知x=-2时，分式x+a无意义，X= 4 II寸，此分式的值为零，则a+b= 15.如图，已知6.ABC中，乙B=90°，乙C=15°,DE垂直平分AC交BC于点E,若EC=8,则BE的长为B E c 16.如图，已知OA=a,P是射线ON上一动点（即点P可在ON上运动），乙AON=60°坟空： A p N ( 1)当OP=时，6.AOP为等边于角形；(2)当OP=时，6.AOP为直角＝角形三．化简计算：（每小题3分，共9分）17岳·顶－我丽18. l 2xy 2 (x > 0) x (m+n)2 3 19分母有理化石＋J5四．作图题：（本题4分）20.某小区有一块产条马路围成的＝角形绿地（如图），准备在其中建一个小亭，供游人小憩使小亭中心到三条马路的距离相等，试用尺规画出小亭的中心位置（不写作法，保留做图痕迹，写出结论）\ IL_ ，八 五计算题：（每小题5分，共15分）21. (-2ab平三．1 a -b 2(b-a)2 22.先化简，再选—个你喜欢的数代入求伯。
x-4 (x+2 x-1 丁－（x2- 2x -x2 - 4x+4) 23.已知；如图，CF上AB千点F，乙A=46°，乙B：乙C=3:2,求L.EDC的度数A B D c 六解下列方程：（每小题5分，共10分）x+l 2 1 X -I= 24. x" -2 X 2 -X 25_ m(m+x)－如－凡）＝2m”(x是未知数，且m-:tn) 七．填空并证明：（本题5分）26如图，在丛ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR上AB,PS上AC,垂足分别是点R、S若AO=PQ,PR=PS,下面三个结论：(1) AS= AR: (2) QP//AR: (3) t::,,BRP竺i::,,CSP正确的是，并证明你的结论 B A Q S C 八列方程解应用题：（本题6分）27.某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3'则每立方米收费2.9元，若每户每月用水超过5m3'则超出部分每立方米收取较高的费用1月份，张2 家用水榄是夺家用水世的3,张家当月水费是34.5元，夺家当月水费是54.5元超出5m3的部分每立方米收费多少元？九．（本题7分）28.已知：如图，6.ABC是肖角三角形，乙BAC=90°,AD上BC于点D,乙ACB的平分线交AD千点F,交AB于点E,FG//BC交AB千点G。
1 )观察心AEF,若按边分类，它是哪一类尸角形？并证明你的结论？(2)若AE=3,A8=8,求EG的长A B D c 知识，只有知识，才能使人成为目由的人和伟大的人一一（俄）皮萨列夫 【试题答案】—．选择题1. A 2. A 3. D 4.B 5. D 6. D 7. C 8.8 9. B 10. D 二．填空题11. 2 x+ 1 X -1=-— x(X -2). -X -2 方程两边同乘以x(x-2)，得： (X + 1)-x(X -2) = -X • X 即3x+1= 0 1 :. X = --3 1 x=--检验：当3 l1寸，x(x-2)-:t:-0 1 :. X = --3是原方程的根25.解：汾＋mx-nx＋沪＝2m凡移项，得：( ) 2 2 m-n)x = -m2 -n2 +2砌＝－（m－矿0 m土凡，:. m-n~O - (m-n) 2 :. x = ...J:.:..:.....=-(m-n) =汇-mm-兀即X＝凡－m七埴空并证明：26.正确的是：(1) (2) ( 1 )证明：连结APB 已1 -/2 /夕，产_ 仁-飞2A Q S C ·:PR上AB,PS上AC,PR= PS :．乙1＝ 乙2（角平分线的判定定理）在Rt6.APR和Rt6.APS中 {AP=AP PR= PS ·. R丛APR三Rt心PS(HL):.AR=AS（全等＝角形对应边相等）(2)在心APQ中，AQ=PQ：．乙2＝乙3（等边对等角）又乙1＝乙2：．乙1＝乙3（等择代换）:.QP//AR（内铅f(]相等，两宜线平行）八列方程解应用题：27.解：设超出场3的部分每立方米收费x元如果每月用水场13，则水费应为5x2.9 = 14.5（元）而34.5 > 14.5, 54.5 > 14.5 则张家、李家用水都超过了分示5+ 34.5- 14.5 张家用水量为：X 5+ 54.5-14.5 李家用水榄为：x 5+ 345-14 5 = (5+54 5 -14 5) X2 则有X \ X J 3 两边同乘以3x解方程，得：x=4检验：当X= 4II寸，3x:#. 0 :.x = 4是原方程的根答：超出场3的部分每立方米收费4元。 九28.解：(1) t::,.AEF为等腰＝角形 证明：在Rtt:::.ADC中，乙3＋ 乙ACD=90°（直角＝角形两锐角互余）同理，在Rtt:::.ABC中，乙B十乙ACB=90°:．乙B＝乙3（等噩代换）在!:::.BCE中，乙AEF＝ 乙2＋ 乙B（三们形的一个外化等千和它不相邻的两个内角的和）在丛ACF中，乙AFE＝ 乙1+乙3（同上）＝ 乙1＋乙B又乙1＝ 乙2（角平分线定义）：．乙AEF＝ 乙AFE（等晕代换）:.AE=AF（等角对等边）:．t:::.AEF为等腰三化形c2) ·:sc..LAD, FG//BC :.FG..LAD :.乙AFG=90'过点E作EH..LBC丁HA B H D c 则AE=HE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）又AE=AF,:. EH=AF ·:FGIIBC, :.乙B=乙4在RID.AFG和Rtl:!.EHB中 臼三乙EHB.R丛AFG兰R丛EHB(AAS):.AG=EB（全等三角形对应边相等）又AE=3,AB=8 :.EB=5 :.AG=5 . EG=AG-AE=5-3= 2 即EG=2三角形及三角形全等知识结构内角｛概念内角和定理角4外角｛概念推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和边｛两边之和大千第三边两边之差小千第三边三角形i-－－三条线段形成三角形的条件：角平分线：线段，交千一点，平分角三突重要线段｛中线：线段，交于一点，平分边高：线段，交千一点，三角形形状不同，交点的位置不同{:角三：角二占内部钝角三角形：外部 全等概念辜：边角边判定拴等{} A立：角边角} 方法AAS：角角边SSS：边边边J任意三角形HL:斜边直角边——一只对RtA【典型例题】例1.( 1 )已知个三角形有两边的长分别为2cm,13cm,又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。 2)在t::.ABC中，已知LA＋乙C=2乙B,乙C－乙A=80°,求乙C分析：（1 )考察三边关系的应用；（2)考察＝角形内角和定理解：（ 1 )设第三边为xcm，则13-2 A A' B c B' C' 已知：在红4BC和M'B'C'中乙A=乙4''乙B= 乙B',CD旦B千o,C'D'上A'B'于D'，且CD=C'D' 求证：MBC三M'B'C'证明：在R丛ADC和R丛A'D'C'中｛；三A'D'C'~90° :. R也DC兰＆凶D'C'(AA岛:. AC= A'C'（全等三角形对应边相等）在心4BC和M'B'C'中g , ,C I e 互LBAB＝＝＝显~__ ABC c 乙乙A户v.B 凶.~ 例4已知，如图AB//CD,BE、CE分别是乙ABC、乙BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD A , B F C 证明：elAB//CD :.乙ABC＋乙BCD=180° 又BE、CE平分乙ABC,乙ACD1 1 ．．乙EBC=－乙ABC,乙ECB=－乙BCD2 2 1 1 ．．乙EBC＋乙ECB=-（乙ABC＋乙BCD)=~X 180° = 90° 2 2 ．乙BEC=90°（三角形内角和定理）在BC上取BF=BA,连结EF在心4BE和Afi'BE中［三乙FBE，显BE三bFBE(SA笱:. L.1 = L.2（全等三角形对应角相等）0乙1＋乙BEC＋乙3= 180° ，乙1＋乙3= 180°＿乙BEC= 180° - 90° = 90° 又乙2＋乙4= 90°,乙1=乙2．，乙3＝乙4（等量代换）在bCFE和bCDE中 厂CE＝乙DCE（角平分线定义）CE=CE 乙4＝乙3:. t.CFE兰t.CDE(ASA):. CD= CF（全等＝角形对应边相等）. BC = BF+CF= AB+CD 【模拟试题】（答题时间：25分钟）一．填空题1．三角形两边分别为3和7,第三边为偶数，则第三边是2.在MBC中，乙A:乙B:乙C=3: 4: 5，则乙B=3丛BC中乙A=40°,乙B和乙C的平分线BO和CE相交丁点 M则乙BMC= 二．解答题1.如图，AE=BF,AD= BC, DF=CE,求证：AD//CBD C 8 2.证明：有一条直角边及斜边上的商对应相等的两个直角＝角形全等理想的书籍是智君的钥匙．——托尔斯泰 一．填空题1. 6或82. 60° 3. 110° －． ．解答题【试题答案】1捉示：证心4DF三/lBCEC SSS) 2.提示：先证出一对锐角对应相等，再证一次直角＝角形全等即可最简二次根式四边形知识要点代数：1.最简二次根式的概念( 1 )被开力数不含分母（即被开方数是整数或整式）(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式2.一次根式的化简( 1 )被开方数是整数1I寸，往往把被开方数分解因数，被开方数是整式时，往往把被开方数因式分解。 2)被开方数含有分母II寸，往往进行分母有珅化注意：在二次根式的化简过程中，进出二次根号的数或式子必须是非负的儿何：1.四边形的相关概念四边形、边、顶点、角、外角、对角线、凸四边形、凹四边形2四边形的内角和定珅（1)定理证明(2)定理内容：匹边形的内角和笘千360°3四边形的外角和定珅(1)定理证明： (2)定理内容：匹边形的外角和等千360°4.四边形的性质：灵活性【典型例题】例1.判断下列式子哪些是最简二次根式产赞顾，汇了，｀，妇，岳飞，顾，护解：是最简二次根式的：: 例2.化简(1)~ ( 2 ) 2｀底＋3忘(3).,（畛）2 - (;) 2 (4)尸(5)拓飞歹3 解：（1)注意符号，进出根号的必须非负，由题慈一X> 0 :. X < 0 仁＝二＝寸16(－x)2(－x)= -4x5 ( 2 ) 2`际＋3痀＝2`厅万＋3卢＝2X 2'\/5 + 3x4石＝16~(3).r（畛『荨勹詈（；尸痄＝、陌＝2、仔( 4 ) 尸＝尸＝卢＝卢5豆x·y "If xy高压·foxy (5)石飞汇~=(x+y)'\F亏 例3已知~s:::i 2.449,求2..,/百x孜；（结果保留三位有效数字）解：2、厅x熹＝2.ji.冗了x求百万＝4.../3X 2立＝8森F:;S 8 X 2.449 = 19.592 s:::l 19.6 例4.如图所示在四边形ABCD中，ADI/BC,,,_,.,-vv , 乙B= 60°乙BCD=150° AB=BC=3cm,求AD的长。 A D 30 3 B 3 c 解：0 ADI/BC,乙B=60°，乙BCD=150° ．乙BAD=180° - 60° = 120° （两直线平行，同旁内角互补）乙D= 180° -150° = 30° （同上）连结AC0AB＝女m,BC＝xm,乙B=60° ．显BC 为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）:. AC=女m,乙BCA= 60° . LACD=乙BCD－乙BCA= 150° - 60° = 90° ．显CD为RtA在Rt6ACD中，AD= 2AC = 2 x 3 = 6(cm) （直角＝角形中，30°锐角所对的有伯边等千斜边的一半） A D 30 3 B c 例5.四边形ABCD中，对角线AC平分乙BAD,且AB=21,AD=9, BC=DC=10, 求AC的长D C A 15 B 解：过点C作CE、CF分别垂直千AB、AD千E、F0AC平分LDAB:. CF= CE（角平分线上的点到两边的距离相等）在Rtf::::.ACF和Rt丛ACE中，{AC=AC CF=CE :. R丛ACF兰Rt显CE(HL) :. AF= AE（全等三角形，对边相等）在Rtf:..CDF和Rtf:..CBE中{CD=CB=10 CF=CE ·. R丛CDF兰Rtf:..CBE(HL) DF=BE（全等三角形对应边相等）设DF=x,则BE=X 又.AB= 21, AD = 9 AE = 21-x, AF = AD+ DF = 9 + x .". 21-X = 9+ X :. x = 6, AE = 21 - 6 = 15 在＆b..CEB中，CE=~=｀阮尸荨了＝8在＆凶CE中，AC＝也AE2+CE2＝沂歹了萨＝17A 15 E 6 B 【模拟试题】（答题时间：25分钟）1.化简（ 1 )声(a<0) (3)矗(5)✓2霄＋50矿卫臼) 、丿2 4 ( ( 3、/2+ ｀厅( 6). 2 2.如图所示，已知：AD=CD,BD平分乙ABC,求证：乙ABC+LADC = 180° A D .B c 3.已知：在四边形ABCD中，乙B＝乙D= 90°, AB= 2, CD= 1 乙A:乙C=1: 2,求BC和AD的长。 A 2 D B c 理想的书籍是智君的钥匙．L一一托尔斯泰 1．化简(1) -5｀酝芦(3 ) 4x ( 5) 5m打了茄2思路同例5【试题答案】1 一石( 2 ) 3 ｀陌(4 ) 3 ( 6 ) 6迈3提示：延长BC、AD,交于点P利用四边形内角和定埋求出乙A、乙C再利用30°锐角的直角＝角形的性质求出BC= 2"/3 -2, AD = 4-｀厅预习最简二次根式二．重点、难点：1.会利用商的算术平方根的性质，化简二次根式2.会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母的有理化3.掌握最简二次根式的定义4能把所给的二次根式化成最简二次根式典型例题】一．商的算术平方根：f＝五b拢(a 之0,b>O) ［例1]化简：(1)fu (2)荨 尸产＝呈2解：(1) 16 16』;4144x2y卢12lxlJi(2)丿二扫=忆|说明：（1)被开方数的分子是非负数，分母是正数2)被开方数如果是带分数，首先化成假分数3)化成算术平方根的商以后，如果分子或分母的被开方数中有开的尽方的数或式千要开出来，使结果有理化二．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分舟有理化，二次根式的除法通常可采用分母有理化的方法进行，一般地，嘉抎品涵a~O, b>O，那么—-==—— 如果品品品b［例2]将下列各分式分母有理化：石52+ 石3一J、丿) 1 4 ( ( -3而( 2 ) 11石a坎—(x > 0) (3)嘉豆十五(5)卢－打言2 (6),.Ji＋拉－l分析：分母有理化要准确找到各分母的有理化闪式如( 1)题是,,[5'(2)题是$, (3)题是品，（4）题是森－J3'(5)题是』了了＋』二了，（6）题先乘以J5-（我－1)'若相乘后分母还有二次根式，需再一次分母有理化。 3 3石邓解：（ 1）飞＝飞言万＝了-3巩T-3而＄平=-=-( 2 ) 11,,/3 11石J311 a坎及x石a坛品= = (3)嘉x2X嘉嘉芯=a嘉 2 2（忑－石）2(＄－石）= = (4)芯＋石（森＋打）（忑－石）5-3＝＆－✓3 (5) 』十五（』＋卢）2I+ x+ 2五言了＋I-X = = 豆－卢(Jl+x-.Fx）（卢＋~)l+x-l+x (6) 2(1 +卢）l＋卢2x ＝勹2 2[、百－（5－l)］2[`5-(E-l)] = = 、5+.f5.-1［石＋（.fi.-1)][-./3-(.fi.-l)]3- (.fi.-1):i 2［石－（迈－1)],.,/3-迈＋1（我－迈＋1)拉玩－2＋迈= 3-2+2｀厄－1=丘＝＆心＝2 三．最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式1 )被开方数的因数是整数，因式是整式2)被开力数中不含能开得尽力的因数或因式，［例3]把下列根式化为最简二次根式1)归(2言(3芦2 3 ( 4 ) 2x归(x>a)r3(a-b) (a >b) ( 5 ) V 8(a+b) 解：(1) f驾＝＄了荔＝3,Js歹( 2 ) 卢＝尸＝且尽27a I) 27a · 3a 9lal (3)扂＝门叨）｀y2豆 (4)2x言＝2x尸＝2x气lx31 = 2x• 冲言2lalx忙I-lx3I =—卢3(a-b)-2(a +b) =二(5) 8(a+b)-2(a +b) 4(a+ b) 小结：把一个二次根式化简成最简二次根式，不外乎以下两种情况：( 1) 如果被开力数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平力根的性质把它写成分式的形式，如果分母可以完全开得尽力，就把它开出来，如果开不尽力，就利用分母有理化来化简，这样被开力数的因数就是整数，囚式就是整式。 2 ) 如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．X= 3, y= 12,求｛上2x2y＋示的值［例5]已知乃解：原式= lx(x2+：:y+y2)＝尸＝尸尸勹§|3+12| 15 5 当X=3, y = 12时，原式＝｀庉＝—2~=－、51 2 1 2 2 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一．判断题：飞={t() 3嘉咕$() 5. R=4护扫() 厂＝4$2. 1 6 () 4. 4# = 2Jj <) 3✓3 3✓3 3 =-=-6应2打2() 二．选择题：1. 下列计算错误的是（) 4_5 __ 倡A B倡守c言扛D-`=－扫2.下列一次根式中最简二次根式是（) a+b A蒜B立C.!¥D芦3化根式矗为最简二次根式得（) A. 32范迈1-8 c 范l-32 B 勾歹D. 4 二．化简题：1 互2 昙3. 归桓汇四将下列各式分母有理化：4 1. 1－拉＋石加~+n23.拉言；a+ 1 2. 2✓a+1 a品－b嘉4.总嘉5.嘉 五．将下列各式化成最简二次根式：1 启3.芦2五百万了4 .J25m3+50m2 5心言7. a尸6. ✓炉－灼~(x>y>O) 8了二(a>1) 六解答题：当a=－Jz,b= 5, c = -2-./i时，求-b－二1. 的值。 2a 当X= 1 , y＝对，求｛1 2x x2 亏十亏＋寻值2. VY Y Y l l 2 2 已知X=~'y= ，求值：x +巧＋y3. 5-2打＋2x+y 4. 已知a-b= 2+,/3, b-c = 2－石，求a丘沪＋c2- ab -be -ac的值．- e. 书是人类进步的阶梯，终生的伴侣，最诚挚的朋友．-－称基 【试题答案】1. X 2. X 3. X 4. ✓ 5. X 6. ✓ 1. C 2. B 3. C 5 4石24尽2. ff 3可4a凇＋111. 4 5. -9 四．五1森－Ji+ 2 2. ~ 3叭阮言嘉4品－屈5a+b 五．罕1. ~ 2. 7./3 3轻忘4.5加1品言竺嘉5. |ab| 已嘉了了石6. (x -y)启71a| 8了六3 1. 2打24 3.解答： 1 1 8x=＝－(、(3+ 2) y = ~ = -(..,/3 -2) --/3-2石＋2·. x+ y =-2石，xy=-1原式＝(x+ y)2 - xy (-2、店）2-(-1) 12 + 1 = = x+y -2✓3 -2✓3 13 = - 6 $ 4. 15 二次根式的加减乘除混合运算多边形的内角和、平行四边形及性质知识要点代数：同类二次根式：J5与品，我与J劳，，圈(1) 1 石(2) 1 2 -,,[3 (3) 1- b 1＋易分母有理化有三类：二次根式的除法运算可用分母有理化的知识解决。 儿何：多边形内角和定理：戎边形的内角和等于(n- 2)-180°(n ~ 3) 多边形内角和定理的证明：多边形外角和定理：任惩多边形的外角和等于360°证明（为什么外角和与边数无关）平行四边形的相关概念：平行四边形的概念对边，对角邻边，邻角对角线 平行四边形的性质定理：性质定理1:平行四边形的对角相等性质定理2:平行四边形的对边相等性质定理3:平行四边形的对角线互相平分推论：夹在两条平行线间的平行线段相等【典型例题】例1．计算(1)（应－｀－2矗信顶）(2)（｀压＋石）（2石＋3迈）(3)（飞－5$)(7拐＋5右）解：（1)原式｀亭－琴－2（孚－3叫(2)原式4石迈忑= - - + 6../2 3 2 2 4.-3 = 3 +5迈=、tx(2✓x+3迈）＋~(2石＋3../2)= 2x+3尽＋2｀陌＋3森= (3)原式（飞广－（头E)2=49x3-25x 5 = 147-125= 22 例2.将下列各式分母有理化 昙、丿1 ( `5- 1 (2)｀行－2石2a-1 (3)、后＋1丽3、fi3迈x、5森=-=-= 解：（1)求雨4,/3 4、/3.--/3 4 `5-1= （、E-1)（打＋2司(2)、行－2石亿－2｀巨）（石＋2羽恩行＋2｀闵－（石＋2勾= = 5 2a-1卢）2-1(岳＋1）（盆－1= = ) ＝尽－1尽＋1岳＋1(尽＋1)( 3 ) = 7-12 平＋2/6－石－2｀B-5 打＋2-/3－平－2兵例3.求下列各式的值（保留3位有效数字）8 (1) 2-~ (2)（卢）2,x=$ 8牢＋司8(2＋及2－及＝（2-丘）（2＋刮4－陌）=~=8(2＋句解：(1) i:::s 8(2 + 1.732) = 29.856 i:::s 29. 9 (2)2 44 4停＋1）2(2)二=(x-l)2＝停－1)2 =停－1广（石＋1）2 = 4停＋1）24停＋1)2=停＋1）22 = ［霄－lr-4:1 -4 6+2及31 r;;. 3 1 = = －＋-及~-+-X2.236 4 2 2 · 2 2 = 2.618 f::l 2.62 例4.个多边形的内角和与某个外角的度数总和为1340°,求这个多边形的边数。 解：设这个多边形的边数为n,这一个外角的度数为x则（n-2) · 180° + X = 1340° 而1340° = 7 X 180° +80° . (n-2)-180° +x=7x180° +80° 又0° (2)一个多边形每个顶点取一个外角，这些外ff]中最多有个钝角．(3)平行四边形的对边，平行四边形的对角，两邻角，平行四边形的对角线(4)在平行四边形ABCD中，乙A=30°, AB = 8, AD = 6 ，则s 平行四边序A议辽）= 理想的书籍是智慈的钥匙气尔斯泰 【试题答案】1.计算(1) 2森＋24-6迈34 ( 2 ) 9 (3 ) 4 ( 4 ) 2+｀启｀臣言－x+lO10,Js-10迈( 5) 4 2填空(1) 6 ( 6 ) 3 ( 2 ) 3 (3)相等、相等、互补、互相平分(4) 24 二次根式的化简平行四边形性质的应用知识结构：代数：绝对值la|＝｛二勹二扫=|a|=｛二勹相关知识不等式的一些性质几何：1. 四边形的性质平行四边形的性质＠四条边，四个内角相同之处：＠内角和为360°＠匹条边，匹个伪角＠内角和为360°＠外角和为360°＠两条对仇线不同之处：＠外角和为360°＠两条对几线CD对边平行且相等，对角相等，邻角互补＠对优线互相平分2.夹在两条平行线间的平行线段相等 B二11 12 已知AII i2 误区一：不知或不说明AB//CD,就判定AB=CD误区二：认为夹在两条平行线之间的所有线段都相等正确认识由i1II l2, AB/I CD,才能判定AB=CD 3.平行线间的距离＠定义：A 11 B 12 两平行线间的距离是定值，不随位置的不同而不同。 ＠应用：平行四边形的商A B二DC 【典型例题】例1.计算：( 1)－丿( 2 ) ~ (x <-2) (3)扫＋2叩＋忒(m＋n> 0) 解：（1）-[了＝－叶l=－；(2)高了歹＝lx+2|._.x <-2, :.x+2 <0 :.lx+21=-(x+2) =-x-2 ．三＝－x-2( 3 ) ✓汾＋2叩＋忒＝二＝Im+nl·:m＋凡＞0 ．如2+2叩＋n2=Im＋引＝m＋刀例2.求使下列等式成立的a的收值范围1)石豆了=-4a(2)品了歹＝a-3(3)品－品二亨＝4解：（1)j飞了＝回＝41al=-4”,...as;o (2)岛言)2=la -31= a -3, :. a - 3 ~ 0, :. a~ 3 (3)此题较难，首先应判断出求；了5了＞求；：＄了然后观察到右边＝4,说明字母a给消去了 ，同时只有第项的2减去笫二项的—2才得4,所以尸－忑言2)2= (a + 2) -(a -2) = 4 {a+22O 所以a-2~0，由a+2~0,:.a~-2 再由a-2 2 0, ...a 2 2 综合起来有a;?_2例3.化简< 1 ) 12m－归I(m < o) 1 (2)护－4x+4＋扣＋4x+42(-~x > 1) 解：(1 ) 12m-、阮石＝12m-12mll=l2m-(-2m)|＝彻4=-4m1 --x > 1 ( 2 ) ·: 2 . ·. - x > 2 :.x <-2 .".x+2 <0 心2-4x+ 4 +Jx2 +4x+ 4 ＝忑言宁＋求=lx-2|廿x+21= -(x- 2) +[-(x+ 2)] =-x+2-x-2 =-2x 例4.(2004年，泰安中考题）如图1，平行四边形ABCD的购长为16cm,AC, BD 相交千点0,OE_!_AC千0,则丛DCE的周长为（) B二三7D A. 4cm C. 8cm B. 6cm 0. 10cm 解：？平行四边形ABCD的对角线互相平分:.AO= CO 又OEJ_AC:.OE段AC的垂肖平分线上:.AE=CE ADCE的周长C=DE+Ec+co=DE+AE+CD =AD+CD 又？平行四边形ABCD的对边相等1 1 AD+CD= ~ X平行四边形ABCD的周长＝－X16cm= &m 2 2 ...ADCE的周长为8cm,答案选C。 例5.(2004年，陕西）如图在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,乙ABC的平分线交AD千点E,交CD的延长线千点F,则DF=_cmF B c 解：？四边形ABCD是平行四边形:.AB//CD :．乙1＝ 乙3（两直线平行，内错角相等）又AD是乙ABC的角平分线:.乙1= 乙2:.乙2=乙3:.BC=CF（等角对等边）又在平行匹边形ABCD巾，AD=BC.'.BC= AD=?cm :.CF= ?cm 同理CD=AB=4cm :. DF=CF- CD= 7cm- 4cm = 3cm 【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. (2003年，天津）如图1:0为平行匹边形ABCD的对角线的交点，EF经过点0且与边AD、BC分别相交千点E、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有() B二D阳1A. 2对C. 5对B.3对D.6对2. (2004,苏州）如图2,在平行四边形ABCD中，乙A=125°,乙B=度B二D图23.计算：(1)丿(2)喜（n< 0) (3)二(x> 0) 4.化简：(1)寸(2-2-2宁 (2)扫言二－扣(2 < a < 3) 存}乒~(a 3.直接开平方法4.配力法步骤：( 1)移项(2)方程两边同除以二次项的系数a(3)配力：两边加上一次项系数一半的平方(4)百接开平方求解5.公式法步骤：( 1)化成一般形式(2)找出a、b、C (3)判定沪－4ac~o -b土品x= (4)套用公式2a 求出解几何：平行四边形的性质：II (1 )对边＝(2)对角相等，邻角互补(3)对角线互相平分平行四边形的判定：从边的角度(1)( 2 ) ( 3 ) 从角的角度(1)从对角线的化度(1 )【典型例题】例1．用直接开平方法解下列力程1) x2 = 256 c2) (6x -1)2 = 36 解：(1) X＝士t丽＝士16:. x1 = 16, x2 = - 16 ( 2 ) 6x -1＝士J贲＝士6:. 6x =±6+1 即6x= 6+ 1或6x= -6+ 1 7 5 . xl =-, x2 = - - 6 6 例2用配方法解下列方程 en x2 +4x-12 = 0 (2)矿－1= 4x 解：(1) (D移项，得x2+4x = 12 ＠配方，得x2+4x+(2)2 =12+ (2)2 即(x+ 2)2 = 16 ＠直接开平方，得.x+2＝士J百＝±4X1 = 2, X2 = -6 (2)移项，得3x2-4x= 1 2 4 1 x---x= -两边同除以3,得3 3 4 2 2 1 2 2 X2 --x + (--) =-+(--) 配力，得3 3 3 3 ( 2 ) 2 7 X--= - 即3'92打x-－＝士－—直接开平方，得3 3 ｀行2... xl =—+ - , 3 3 打2X2=-—+- 3 3 例3用公式法解下列一元二次方程。 1)矿－4= 3x (2) X2-4x=--4 解：（1)化成一般形式6x2-3x-4 = 0 找出a、b、c,a=6, b=-3, c=-4 判定沪－4ac之0,b 2 - 4ac = (-3)2 - 4 x 6 x (--4) =9+96 = 105 -b士森了二;云:3士J而3士Jf5X= -= -= 套用公式2a 2x6 12 3＋厮..x = l 12 , 3－雇X2 = 12 (2)化成般形式x2-4x+4=0找出a、b、C,a=L b=- 4, c=4 判定沪－4ac~ 0,沪－4ac= (-4)2-4xlx4= 0 -b土品亡飞~4土心4 x = = = - = 2 套用公式2a 2 X 1 2 x1 = x2 = 2 例4平行四边形长边是短边的2倍，一条对伯线与短边垂有，求这个平行四边形各伯的度数厂CA B 解：在平行四边形ABCD中，AB=2AD,BD」.AD在R丛ABD中0AB=2AD,: 乙1=30° 乙A= 90° - 30° = 60°，乙ADC=180° - 60° = 120° ．．这个平行四边形各闭的度数分别为60°'120°'60°'120° 例5.在平行四边形ABCD中，如果一边长为8cm,一条对角线为6cm,求另一条对角线x的取值范围。 D C 3 /2 A 8 B 解：在平行四边形ABCD中，设AB=8,AC=6, BD=x 1 x AO =..:. AC = 3, BO = ::. 则22 在MOB中X 8-3 <.:: <8+3 2 :.10 1)3x2=54 ( 3 ) x(x+ 8) = -15 c2) 4(x-5)2 = 16 ( 4 ) 3x2 +2x-3= 0 (5)t2+2t=5 2.从平行匹边形的一个锐允顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°,求平行四边形各内角的度数3.已知，如图，平行匹边形ABCD的面积为64cm2,E、F分别为AB、AD的中点，求t:,.CEF的面积 D 【试题答案】1.(1)X1=+3我，X2=-3我2. (2 ) X1 = 7, x2 = 3 ( 3 ) X1 = -3, x2 = -5 -1＋痀－1一项x = (4 ) "l -3 'X:2 = 3 (5)X1=-l＋屈，X:i=-1－屈45°'135°'45°'135° 3. 24cm2 1复习直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；用因式分解法解l1一元二次方程特例：知识要点：代数1.复习一元二次力程2 ax1 +bx+c = 0 (a~ 0) 一般形式：｛言言：7二二从而不含一次项）矿＝0(b = c = 0) 2.＝种解—元二次方程的方法直持开平方法配方法公式法：a、b-b士甚了二五;I, 2 、C,X = 2a (b2 -4ac ~ o) 3用因式分解法解一元二次方程步骤：（1)先化成一元二次方程的一般式。 2)因式分解（公式法，提取公因式法，十分相乘法） 平行四边形(3)令每一个因式为O,求出根几何定义：有一个角是直角的平行四边形性质[::：：；:：尸气(3)面积＝两邻边之积( 1)定义判定[(2)有3个角是直角的四边形(3)对角线相等的平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形菱形｀性质［二勹目垂直，并且平分每一组对角(3)面积＝对角线乘积的一半【典型例题】例1.判断关千x的方程x2 - tx(2x -l + 1) = x-1 是不是一元二次力程，如果是，指出其二次项系数，一次项系数及常数项解：首先将方程化成一般式(1-2沪＋（t 2- t - l)x + 1 = 0 1 5 t = - --x+1 = 0 若1-2t = 0,即2时，方程变为4 '是一元一次方程，不是一元二次方程若1-2t * 0，则为一元二次方程，二次项系数为1-2t.一次项系数为t 2 -t-1,常数项为1注意：一元二次方程二次项系数＃0例2.用配方法解4x2-8x-5=0 错解：4x2- 8x = 5 4x2-8x+(-4)2 = 5+(-4)2 4x2 -8x+16=21 (2x- 4)2 = 21 4＋扣4－｀历.·. X 1 = ------;:::--'X 2 = 2 2 正确解法：4x2 -8x-5= 0 5 x2-2x- .:'..=O 4 5 x2-2x=.:'.. 4 2 5 x2 -2x + (-1)2 = ~ + (-1)2 4 2 9 (x-1) = - 4 3 :. x - 1 =土－2 5 1 ·. X1 =-;::'X2 = --;::-2 2 注意：配方法要先把二次项系数化成1许配方。 例3.用公式法解一元二次方程8x2+ lOx = 3 错解：a=8, b = 10, c = 3 2 b~ -4ac = 100-4 x 8 x 3 = 4 -b土嘉X= -10土J可－10土2= = 2a 2 x8 16 1 3 :. X1 = --;:::-'X2 = -7 2 4 正确解：8x2+ lOx-3 = 0 a = 8, b=10, c =-3 沪－4ac= 102 - 4 x 8 x (-3) = 196 -b士品－10士J飞污－10士14x=-= -= 2a 2 X 8 16 1 3 ... xl =-,x2 = - -4 2 注意：公式法先耍把方程化成一般式，注憩a、b、c的符号例4.用因式分解法解下列方程1) 3x(x+ 1) = x+ 1 2 2 2 (2 ) x~ -2mx－刀＝-m ( 1 )错解：方程俩边同除以x+1,得：3x= 1 1 :. X =-3 正确解：3x(x+l)-(x+l)=0 (3x-l)(x+l) = 0 :. 3x-1 = 0或x+1 = 0 1 X 1 = ~, x2 = -1 3 注：同除以、同乘以一个数或因式，首先要保证它不为0。 2 ) x 2 -2mx + m2 - n 2 = 0 x1 -2mx+(m-n)(m+n)=O [x-(m－汾］［x-(m＋汾]=0 x-(m-n) = 0或x-(m五）= 0 .'. X1 = m-n,石＝m＋刀 对比：用公式法解较为繁锁例5如图，折叠矩形的—边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6cm, BC= 10cm,求EC的长A D 下一\ - \ -..... `` \ 、．一、一\ -- ＼一＿6 | \ ~~..... E `、6-?／./1x. `. /. B F C 解：设EC=x．．四边形ABCD是矩形AB= CD= 6cm AD= BC= 10cm ·. DE = DC -EC= 6-x 由题意，知：AF=AD=10cm EF=DE=6-x 在R丛ABF中，BF=~=)而了二歹．＝8. FC= BC-BF= 10-8= 2 在R丛EFC中，EF2= FC2 + EC2 (6-x)2 = 22 +x2 8 :. X=-3 8 - cm 答：EC的长为3例6.如图： B c l-3 A 已知：菱形ABCD,F是AB上一点，DF交AC千E求证：乙AFD＝乙CBE证明：了四边形ABCD是菱形占BC=CD,乙1=乙2,AB//CD :.乙AFD=乙CDE在t::,CBE和t::,CDE巾厂；三· . 11CBE兰11CDE（岛笱．乙CBE=乙CDE:．乙CBE＝乙AFD（等晕代换）【模拟试题】（答题时间：20分钟）1 1.当k为何值时，关千x的力程(k2-9)x2 + (k-3)x + i k2 -9)x2 + (k-3)x + ~ = 0 (1)是一元一次方程？求出解。 2)是勹元二次方程？求出解2.用适当力法求卜列方程的解．(1) x2-2=0 C 2) 9x2 -12x-1 = 0 ( 3 ) 2x2 +4x-3 = 0 ( 4 ) (m-1)x2-(2m+1)x+m+1=0 3.矩形对角线长为10cm,面积为25"0cm2,求两条对角线所夹的锐角4.已知菱形的周长为40cm两个相邻角度数之比为1: Z则较长对角线的长是多少？今天所做之举勿候明天，自己所敬之举勿候他人．【试题答案】1 k=-3, 1. (1) X=— 24 一—歌信X= ( 2 ) k＃士3,当k<3且＃－31讨，3-k土J丙二飞石2(k2 -9) (4 ) 2. ( 1 ) X =士J52士J5x= ( 2 ) 3 -2士痀x= ( 3 ) 2 (2m+l)土45言万x= 2(m-1) 3. 60° 4. 10石cm 一元二次方程的根的判别式菱形的判定、正方形的性质例4.已知：矩形ABCD中，AB=2,BC=4,经过AC的中点0的直线菲直千AC,分别交BC千E,父AD千F1)试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论2)求EF的长及四边形AECF的面积A F D 2 B 4-x E X c 解：（ 1)证明：四边形AECF为菱形？矩形ABCD:.AF//EC, AO= CO :．公,AOF竺D.COE:.AF= EC :．四边形AECF为平行四边形又AC.lEF:．平行四边形AECF为菱形(2)设AE=x,则EC=x,则BE=4-x 在R丛ABE中，由勾股定理，得：x2=22+(4-x)2 5 :. X =-2 在R丛ABC中，AC2= A护＋BC2= 22 +42 = 20 :. AC= 2忑5 os桽序＝EC• AB = x • 2 = 2 x -;; = 5 2 s 1 . -· --1 = ~AC• EF = ~ • 2、fs• EF = -fsEF 姿序2 2 又．忑EF=5. EF = -Js 例5在正力形ABCD中，E为BC上一点，EF1.AC, EGl.BD,乖足分别为F、G,如果AB=SJ2.cm,求EF+EG。 A D B E c 解：？正方形ABCD:.AC上BO又EG上BO:.AC//EG 同盟EF//BD:．四边形EFOG是平行四边形:.EF=OG 义BO平分乙ABC:.乙1=45° 在R丛BEG中，乙1=45° :.乙2=45°:.BG=EG :. EF+EG= OG+BG= OB 在R丛AOB中，AO=BO, AB= 5我 由勾股定理得：A02 + B02 = 2B02 = AB2＝卢）2· . BO= 5 . EF+EG= 5(cm) 【模拟试题】（答题时间：20分钟）1. k为何值时，方程2x2 -4(k + l)x + 2炉－1= 0 (1 )有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根2.已知a、b、c是三角形的三边，判别方程归＋（沪＋c2- a2)x+c2 = 0 的根的悄况3.如图：A B D F c 在l::.ABC中，乙BAC=90°,AD.l_BC千D,BE平分乙ABC,交AD千M,EF.l_ BC千F求证：四边形AEFM是菱形一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系复习复习矩形、菱形、正方形八年级数学同步辅2009-08-1820:10:25阅读442评论0字号：大中小订阅代数：元二次方程的根的判别式，根与系数的关系复习几何：复习矩形、菱形、正方形 二．重点、难点：1.重点：代数：根的判别式的正用与逆用；韦达定理的应用。 几何：矩形、菱形、正方形的性质及判定2.难点：代数：根的判别式的逆用；韦达定理的应用几何：矩形、菱形、正方形性质的区别及判定［知识要点］代数：1 一元二次方程矿＋bx+ c = 0 (a -:t 0)的判别式I:,.=b2 -4ac 6>0⇒有两个不相等的实数根如果6=0⇒有两个相等的实数根/:,. <0¢:::}没有实数根2.一元二次方程根与系数的关系( 1 )韦达定理：矿＋bx+c = 0 (a -:t 0) 的俩个根是x1,x2，那么b C X1 + X2 = --'X1 • X:;i = -a a 注意：©一元了次力程，a# 0 ; ＠有两个根芍，X22)如果方程x2+ px+ q = 0的两个根是钉，X2'那么X1+X2 = -p, 芍X2= q , (3)以两个数砃，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1 )是x2 -(x1 +x主＋x心＝0几何：1. 名称矩形菱形正方形边II 对边＝4条边相等4条边相等角对角线4个化都是百九对角线相等且互相平分对角相等，邻角对角线垂直目互相平分，每条互补对角线平分一组对角4个九都是宜允对角线相等，互相垂有平分，每条对角线平分一组对角2.判定：判定矩形的方法：( 1)有一个角是直角的平行四边形。 2)有3个角是肖角的匹边形3)对角线相等的平行四边形判定菱形的力法：( 1)有一组邻边相等的平行四边形2)四条边都相等的四边形3)对角线互相乖直的平行四边形判定正方形的方法：( 1 )有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2)有组邻边相等的矩形3)有一个化是宵角的菱形4)既是矩形又是菱形的四边形3平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系面积邻边乘积对角线乘积的一半边长的平方 【典型例题】例1不解方程，判别下列方程根的悄况：en 2x2+3x-4=0 , C2) x2-4x+4=0 解：(1) ti = b2 -4ac = 32 - 4 x 2 x (-4)=9+ 32 = 41 > 0 即6>0:．方程有两个不相等的实数根( 2 ) ti= b2 -4ac = (-4)l -4 X 1 X 4 = 16-16 = Q 即6=0:．方程有两个相等的实数根例2.(2004,上海）关千x的一元一次方程汛沪－（3m-1 ) X + 2m-1 = 0 根的判别式的伯为1'求m的值及该力程的根2 解：根的判别式A＝沪－4ac= [-(3m-1 f -4m x (2m -1) 由题意知：=9矿－6m+1 －彻2+4m ＝汾－2m+l又6.=1·汾－2m+1 = 1，即m2-2m= 0 :. m = 0或m=2mx 2 -(3m-l)x + 2m-1 = 0 : 力一元了次力程:. m~ 0 :. m= 2 矿－（3m-l)x + 2m - 1 = 0即为宜－5x+3=0 宜－Sx+ 3 = (2x-3)(x-1 ) = 0 3 :. X1 = -;:-, X2 = 1 2 ，其 3 一，1即原方程的根为21 1 a2+2a=2,沪＋泌＝2 -+-例3.(2004广东）已知实数ab分别满足，求ab 的值。 {a2+2a= 2 沪＋2b=22 解：由知a、b是方程x~+2x=2的两个根由x2+2x=2得：x2+2x-2 = 0 由韦达定理，得：X1+ X2 = -2, X凸＝－2即a+b=-2,ab=-2 1 1 a + b - 2 -+-=—=—= 1 又ab ab -2 1 1 ... - + - = 1 a b 例4.(2004,重仄）如图，在菱形ABCD中，乙BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC千点F,E为垂足，连结DF,则乙CDF等千() D A c B A.80° B. 70° C. 65° D. 60° 解：连结FB·:EF垂有平分AB:.FA=FB 又L.CDF竺L.CBFCSAS) :. FD= FB= FA 80° 乙1＝乙2＝—=40°在等腰L.FAD巾，2 又乙ADC＝乙2＋乙CDF= 180°-80°= 100° :.乙CDF= 100°-40° = 60° :．选D例5.(2004,河北）如图，将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形而积的一半，则这个平行四边形的一个最小 内仇的侦等千A'D' 广一一一一一一一一一一一1B/ D 解：过点A作AE上BC千E？矩形A'BCD'变形为平行四边形ABCD. AB= A'B s 又免杠怼力= BC• A'B s 平行四边形ABCD=BC• AE S = 2S 沦忍'BClJ平行四边陀AB3D·. BC• A'B = 2BC• AE :. A'B = 2AE 即AB=2AE 在R丛ABE中，乙8=30°：．平行四边形ABCD的一个最小内角为30° 例6.(2004年，四川）已知：如图，D是6ABC的BC边上的中点，DE.lAC,DF .lAB,垂足分别是E,F且BF=CE。 求证：(1 ) 6ABC是等腰＝角形2)当 乙A=90°II寸，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论A B D c 证明：（1 )在R丛BFD和R丛CED中{BD=CD BF=CE ·. R丛BFD兰R丛CED(HL) ，乙B=乙c·• AB= AC 即丛ABC是等腰三角形(2)若乙A=90°,则四边形AFDE为矩形（三个角是直角的四边形为矩形）又由R丛BFD三R丛CED,设DF=DE:．匹边形AFDE为止方形（有一组邻边相等的矩形为正方形）【模拟试题】（答题时间：25分钟）1 不解方程，判断下列方程根的悄况：en x2 -3迈x+4=0(2)记－3迈x=-42小解方程判断(p2+1)x2 -px+1 = 0根的情况3.若方程(k-2)x2 -2(k-2)x + k + 6 = 0有两个实根，求正整数k的值 4.若关千x的方程2(x-1)(x-3m)=x(m-4)的两根之和与两根之积相等求m的值5在矩形ABCD中，M足BC的中点，且MA..lMD,若矩形的周长为48cm,则矩形ABCD的面积为cm 2 6.如阻在正方形ABCD中，截去乙A和乙C后，乙1＋乙2＋乙3十乙4等千。 A D 2 4 B c 求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究一一加菲劳【试题答案】1. (1)有两个不等的实根；(2)无实根2提示：8=-3p2-4<0,上无实根3.提示：（1)由6~0得：k::;2(2)由K为正整数，得；k=1或2(3)由k-2:t;O得；k=l4.由韦达定理，得：m=25. 128 6.540口一元二次方程的应用梯形知识要点代数：用列一元二次方程的方法解应用题1)解题步骤：市题；设未知量；找关系列方程：解方程；答题 (2)常见题型：面积问题；平均增长率（降低率）问题：数字问题几何梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形概念｛底：腰：A D .. 高对角线：B c 平行四边形乙：~四边形梯形／二＼麟梯形［二卿梯形／二三(1 )等腰梯形在同一底上的两个角相等(2)两条对角线相等等职梯形的性质~(3)两腰相等(4)轴对称图形，对称轴为上下底中点的连线(5)两腰的延长线交点在对称轴上，对角线的交点也在对称轴上等畔梯形的判定{(1 )在同—底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(2)两腰相等的梯形是等腰梯形常见的辅助线添加力法：(1)移动一腰： A D / \ B C (2)从同一底的两端作另一底的垂线：Al丛D B \ c A (3)移动一条对角线：D B 、、、、、、、`\\ C ---- －－－－－－－、斗(4)延长两腰交千一点：I\ I \ I \ I \ i A/ \ D B c 添加辅助线的自的：把梯形问题转化成平行四边形问题或三角形问题。 典型例题】例1.(2004,广东） 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%,5月份营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率分析：审题：月份营业额2月份400万3月份400 (1+10%) 4月份5月份633.6万设3月份到5月份营业额的平均月增长率为x列等式：4月份营业额400(1+ 10%)(1+ x) 400(1 + 10%)(1 + x)(l + x) = 633.6 5月份营业额2 即400(1+10%)(1+xr= 633.6 解：设3月份到5月份营业额月平均增长率为x2 则400(1+10%)(1+xr= 633.6 解之得：l X, = 0.2, x~ = -2.2 2 （不符合题意，舍）.". X = 0.2 = 20% 答：3月份到5月份营业额的月平均坻长率为20%例2.利用墙的一边，再用13米的铁丝网围成三边，围成一个面积为20平方米的长方形，求这个长方形的长和宽厂分析：AD代表墙，则AB +BC+ CD = 13, BC • AB = 20 解：设AB为X,则DC=x, BC= 13-2x ·. (13-2x) • x= 20 5 X1 = ~, x2 = 4 解之得：2 5 5 5 x =.:.. AB =.:.., BC = 8 ~ 当2时，2 ,长为8,宽为2。 当X= 4 fl寸，AB =4, BC= 5 ，长为5,宽为45 答：这个长力形的长、宽为8,2或5,4米例3.一个两位数等于它个位上的数的平方，个位上的数比十位上的数大3,求这个俩位数分析：首先要明白怎样用各个位上的数表示这个数，例如：28=2Xl0+8Xl 十位上的数个位上的数125 = 1 X 100 + 2 X 10 + 5 X 1 解：设十位上的数为X,则个位上的数为x+3:．这个两位数为10x+(x + 3) 又这个两位数等千个位数的平方(x+3)210x+(x+3)= (x+3)2 整理，得：x2-5x+6 = 0 解之得：X1= 2, X2 = 3 当x=2时，十位上的数为2,个位上的数为2+3= 5,这个两位数为25当x=3时，十位上的数为3,个位上的数为3+3=6,这个两位数为36答：这个两位数为25或36例4.在梯形ABCD中，上底AD=4cm,下底BC=11cm,乙B＝50°，乙C=65°,求腰AB的长 A D B 分析：过A作AE//CD交BC于E,即把腰CD移到AE,ADEC即为一个平行四边形，把耍求的AB放到!:::.ABE中来求解：过点A作AE//DC交BC千E则匹边形AECD为平行四边形EC= AD=4cm BE= BC -EC= 11-4 = 7cm 乙AEB＝乙C=65° 在6ABE中，乙8=50',乙AEB=65'．乙BAE=180°-50°-65°= 65°=乙AEB.'.AB= BE= 7cm 即腰AB的长为7cm2 例5.在等腰梯形ABCD中，ADI/BC且AC..lBD,AF是高梯形的面积是32cm-, 求梯形的商AF。 A D J / ./ J J J' ./ / J' / / /' 4' ＿，，＿＿．一一一····l E B F C 分析：由等腰梯形可得阿l要相等，又AC..lBD,AF..lBC 2 S = 32cm 由面积求高，在木题中只知撑序止心），并未出现其他线段的值过A作AE//BD,交CB的延长线于E,得平行仰边形AEBD及Rt6ECA解：过A作AE//BD交CB的延长线千E 则四边形AEBD为平行四边形:.EB=AD 又AC上BD:.EA上AC又梯形ABCD为等腰梯形占 AC=BD=AE:. 6.EAC为等腰肖角三角形1 :. AF =.::...Ee 又AFl_EC,2 s 1 归C=.::...Ee • AF 2 1 = ;; (EB + BC) • AF 2 1 =~(AD+ BC)• AF 2 =S 邸序ABCD= 32 设AF=xcm,则EC=2xs . 1 ．．止A贮=.::... • 2x• x=32 2 · • x=4~cm 答：梯形的高AF为4石cm模拟试题】（答题时间：15分钟）2 1.长方形的周长为62cm,而积为210cm-,求长2一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？3如图，在梯形ABCD中，AB//DC,AB= S, BC= 3'\/2, , L.BCD=45°,乙CDA=60°,求DC的长及梯形面积。 A// B\＼＼一D c 4.如图，AB//CO,乙C=50°,乙0=80',AB=4, CD=10,求BO的长/_A 【试题答案】1.长为212. = 6.9% D B\ 3.提示：过A、B向另一底作垂线CD=8＋石s 3 帛严＠飞(13＋句4.提示：延长CA、DBBD= 6 二次三项式的因式分解中心对称和中心对称图形知识结构：1.代数 (1 )被开方数不含分母；录简二次根式{(2)被开方数不含开得尽方的因数或因式．同类二次根式：化成录简二次根式后，被开方数相同．互为有理化因式：两个含有根号的式子相乘后不含根号，就称这两个{ 二次根式式子是互为有理化因式．(1)先乘除，后加冻，先筠括号里的；二次根式混合运阳的规则{(2)只有同类二次根式才可以合并．分母有理化：正的化简：三回＝｛a(a20) -a (a < 0) 一元二次方程｛直持开平方法：配方法：使用前提：二次项系数化为1解法｛-b士甚了：三公式法：x=2a 因式分解法：对于一个一元二次方程，如果没有指定用什么方法来解，应先用因式分解法试试，如不合适，可选用公式法；公式法是解一元二次方程录基本、录重要的方法心O,有两个不相等的实数根根的判别式{A=0，有两个相等的实数根11 < o,没有实数根b C 韦达定理：x l + X2 = --, X西＝- ”“ 根与系数的关系l特例：x'+px+q= 0气＋心＝－p, X西＝q确定一元二次方程：以X1、x2为根的一元二次方程为＃－（芍五）x＋硒＝0层因：二次项系数为1的二次三项式可通过十字相乘法来因式分解，而不为1的清况不太好用十字相乘法．二次三项式方法：求出方程ax'2+ bx +c = 0的两个根X1,的因式分解｝X2，然后写成矿＋bx+c＝小－叶(X-X2) 注意：(l) a不要忘记；（2)在小－X1)(X-X2) 中，是x-xl,x-x2 2.几何 ｛内角和定理：四边形的内角和等于36『四边形外角和定理：四边形的外角和等千3600灵活性内角和定理：(n -2) • 180° 外角和定理：360°多边形」对角线：如－3)2 从每—个顶点出发的对角线：n-3定义平行四边形边：// 性质i角：对角相等，令＄角互补对角线：平分定义：//,// 边仁，＝II 判定l 角：两组对角相等对角线：互相平分 矩形｛定义：有一个角是直角的平行四边形｛角：四个角者t是直角性质对角线：相等面积：邻边之积气｛言三立了：边形对角线：对角线相等的平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形边：四边相等菱形尸性后［对角线：互相垂直面积：对角线乘积的一半叶( l)有一组邻边相等的平行四边形判定{(2)四边都相等的四边形对角线：对角线互相垂直的平行四边形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形正方形尸，性防｛：．二直角对角线：对角线相等、垂直、平分，每—条平分一组对角气｀；；菱形又是矩形的四边形(3)对角线相等，垂直的平行四边形梯形专题知识要点1.等腰梯形的性质(1)两腰相等； (2)在同一底上的两个打］相等；(3)两条对角线相等；(4)存在两个等腰＝角形，心AOD和6.BOC;B二c(5)等腰梯形为轴对称附形，对称轴为上下底中点的连线；p B F c (6)两腰的延长线的交点在对称轴上，两条对灼线的交点在对称轴上；(7) BE、CF均是上下底之差的一半。 A//-E B c D\＼＼尸2.梯形的面积1 S =-;: (a +b)h (1)肖接求2 三(2)间接求 A D B二三、二＿三寸s心立）= S“应Bl_ G IC 7 H D` S =S 拂平行四边序AB的A B D --—--,F ,/ ---J C E s 1 =-S 心D -2罕行四边形且过F3.对角线互相垂直的等腰梯形A D B c t-,AOD与£-,BOC均为等腰直角三角形【典型例题】例1．已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，上下底分别为3cm和7cm,求梯形的商和面积 A 3 D B A B E \- c\- \- )\C 法＼方D( ．金解过点D作DE//AC,则BD..lED,四边形ACED为平行四边形占CE=AD,DE=AC 又？梯形ABCD为等腰梯形:.AB= CD, AC= BD 丛BDE为等腰直角＝角形，BE上的商等千BE边上的中线1 1 1 高h=.;;BE=.;;(BC+ AD)=.;;(3+ 7) = S(cm) 2 2 2 1 1 S = S = -BE • h= - (3 +7) • 5 = 25(c汾）沸序凸担2 2 （方法二）A D B E F （方法二）c A E D B F c 例2.巳知：ADI/BC,DE=EC, EF上AB千点F,AB=a, EF=h,求S涕序也D。 A D B c 解：过E作GH//BA分别交BC,AD的延长线丁G,H 由E为DC中点，可证f:::.GCE兰f:::.HDES = S = AB. EF = a . h • 梯陀庄CD平行四边序.AJ!,GHs :.梯吵立）=ah 例3.在梯形ABCD中，ADI/BC,乙B＋乙C=90°,E、F分别是AD、BC的中点，1 = -;::(BC-AD) 证明EF2 A E D I \ I \ I \ / \ \ B G F H C 解：作EG//AB, EH//CD,得EH.l..EGF为GH的中点，EF为斜边中线 1 1 EF = GF = -;:GH = -;:(BC-2BG) 2 2 1 = ~(BC-2AE) 2 1 =-;:(BC-AD) 2 1 EF = ~ (BC -AD) 2 【模拟试题】（答题时间：15分钟）1．在梯形ABCD中，ADI/BC,AD= 5, BC=?,若E为DC的中点，射线AE交BC的延长线千F点，求BF2.已知AB//CD,AE..LDC, AE=12, BD=15, AC=20,求梯形ABCD的面积A B D E F c ^ 勃能补拙是良训，一分辛劳一分才。 一一华罗庚【试题答案】1. BF=12 2.S梯形ABCD=150由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；知识要点代数：1.二元二次方程的一般形式：矿＋bxy+cy2十也＋ey+f= 0 矿，bxy,cy2—－二次项(a、b、c不能同时为零） dx, ey_＿一次项f一一常数项2.二元二次方程组{ax :by = c 2 mx· +mnxy +gy· +dx +ey+f = 0 ｛气灶＋blxy+c1沪＋叩＋ely+fl=0 或a2灶＋b2xy+c2沪＋炉＋e2y+f2 = 0 3解二元二次方程组基本思想：消元降次基本方法代入消元，加减消元法几何：1.平行线段等分线段定理：如果一组平行线在一条］气线上截得的线段相等，那么在其他宜线上截得的线段也相等推论1:经过梯形一胺的中点与底平行的直线，必平分另腰推论2:经过＝角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行丁第三边，并且等于它的一半1比例线段；平行线分线段成比例定瑕知识结构：1.比例线段：2.比例中的项：a: b a—比的前项，b—比的后项a C b d a、b、C、d比例的项a : f = f: d d一一比的第四比例项比的内凶比的外项 3.比例中项：若a:b=b: c，则b叫a、c的比例中项．4.比的性质：比的基木性质：a : b = c: d {::}ad =be a : b=b: C匀2=ac}内项之积＝外项之积比的合比性质：a c a士bC士d－＝－＝今＝b d b d （注意：在分子上加分母）比的等比性质：a c m.. a+c+"·+m a 一＝- ＝…＝一(b+d+…+几#0)-= - b d n', b+d +…＋几b5.贷金分割点A c B 若AC是AB、BC的比例中项，点C叫做线段AB的黄金分割点。 AC2 = AB.BC AB AC AC BC AC BC —=—f:::$ 0.618 AB AC 6.平行线分线段成比例定理：]1 ]2 ]3 l4 Il5 三条平行线截两条有线，所得的对应线段成比例AB A'B' BC B'C' AB A'B' AC A'C' AB BC A'B' B'C' 7平行线分线段成比例定理的推论：平行于二角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例A D E A E B c B c E (1) ( 2 ) (3) 【典型例题】X a C 2 -=-=-=-例1．已知yb d 3,求x+a+c x-2a +c c1)Y+b+d c2)Y－泌＋dx+a +c 2 = - 解：（1)由合比性质y+b+d3 X a C —=—= - <2 ) y b d X -2a C 2 —= = - = - y -2b d 3 x-2a +c 2 = - y－泌＋d3 a b c a +2b+c - = - = -例2已知23 4,求义＋泌＋ca b c -=-= -=k 解：令23 4 则a= 2k, b = 3k, c = 4k a+ 2b +c 玄＋泌＋c2k+2 x 3k+4k 3 x 2k + 2 x 3k +4k 12k 3 =-=-16k 4 例3.( 1 )把30cm长的线段进行荽金分割，求较短的线段。 3x-2y+z (2)已知X:y: Z = 4: 2: 3求2x+y A c B 解：若AB=30, c为苗金分割点，则要求的线段为BCAC 0—s:::i 0.618, AB . BC :.—=1-0.618 = 0.382 AB ·. BC s:::s AB x 0.382 = 30 x 0.382 = 11.46 BC 约为11.46cm2)令兀y、Z分别为4k,2k, 3k 3x-2y+z 3x4k- 2 x 2k + 3k = 则2x+y2 x4k+2k 1 lk 11 = = 10k 10 例4 如图，EDI/BC, AB= 8, AD= S, EC= 20,求AEE B e DE I/BC, 解：AD-BD = CAE-EC AE 5 20 5+8 100 :. AE=— 13 例5如图，E为平行俚边形ABCD边CD延长线上的点，连结BE,交AC千O,交AD千FE B C 求证．BO~=OF-OE BO OE 分析：要1.il:B02=OF-OE,只需证OFBO 0 AF! !BC, 证明：0 AB/ ICE, BO CO OF AO ( 1 ) OE OC BO AO c2) BO OE 由（1)、（2)得OFBO B02 =OF-OE 【模拟试题】（答题时间：20分钟）AB BC CA 2 1 已知，在心4BC，显＇B'C冲，A'B' B'C' C'A' 3，显BC的周=-=-=-长为40cm,求红4IB`C'的周长。 x+ 4 x + 2 x =--2 已知y+2y+l,求Y3如图，已知：DEI I BC, AD = 2, AB = 5, EC= 6,冰ACA B c _ ^ 业秸于勃而荒于婚，行成于思而毁于随-－韩愈 【试题答案】1 显'B'C'的周长为60cm2 2. l （合比性质）3. AC= 10 相似三角形的性质及相似三角形的复习知识结构：(—)相似三角形的判定(1) A B DE I I BC⇒ MDE ~ MBC DE I I BC⇒ MDE ~ MCB ( 2 ) A // , B B 乙A＝乙A'乙B＝乙B＇｝⇒显BC～凶＇B'C'( 2 ) A A' c B B'!>c• 或ce 官3区凶~ ~ cc 3MB5 ⇒⇒ 、＞乙气A”I CCBC, A-A，于4__ =4 ,____ 言LAAB-ACLAA A' B c B' AB AC BC —=—=—⇒MBC～凶B'C'A'B'A'C'B'C' (5) B B' 尸c A C' A' R丛ABC,R丛A'B'C'AB BC —=—⇒区BC～凶＇B'C'A'B'B'C' （二）相似三角形的性质A A' c B' B 丛BC～丛＇B'C'（相似比为k)AD A'D' =k(对应高的比等于相似比）AF A'F' —=k（对应角平分线的比等于相似比）⇒{ AE A'E' —=k（对应中线的比等于相似比）C也CC =k（对应周长的比等于相似比）止'B'C:（三）补充的相似三角形的性质(1)相似二角形的面积比等千相似比的平方(2)角平分线分三角形所得比的性质A c B AB BD 乙BAC=〉—=—AD平分AC CD (3)射影定理： c A B 在R丛ABC中，CD为斜边AB上的高ABABBD ADBDAD ==__ CJ2C矿ABC ,V· 【典型例题】例1如图，心4BC的AB边和AC边上各取点D和E,且使AD=AE,DE延长BF BD 线与BC延长线相交于F,求证：CF CE B D A F 证明：过点C作CG//FD交AB于G B A F AD AE AG AC 又0AD = AE, :. AG= AC ·. DG=CE BD BF 0 GCIIDF, DG CF BD BF CE CF 小结：本题关键在千AD=AE这个条件怎样仗用。 由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例例2.梯形ABCD,AD//BC,乙A=90°'AClBD'AD=1, BC=4,求两条对角线AC:BD为多少？A D B c AD AO DO 1 解：0AD If BC,.. BC CO BO 4 设AO=X,则 C0=4x= -= -= - DO=y, 则B0=4y畔t.6.ABD中，AD2= DO- BD 即1= Y· Sy, :. 5沪＝1 @ 同理，在R丛ABC中，BC2= COxAC 即42=4x-5x, :. 5x2 =4 @ 巠矿1y _ 1 @—=- -=- ，得：5x 4，即X2 ·. AC: BD = Sx:Sy = x:y = 2:1 小结：这类题屈丁计算性的证明求解，需要设未知扯，列方程例3如图，在MBC中，AB=15,AC=10，乙BAC的平分线交BC千D,过D作AB的平行线交AC千E,求DE,A B C 解：elAD平分乙BACAB BD 15 3 = -= -= -AC CD 10 2 DE CD 8 DE I/AB, .. AB BC BD 3. CD CD 2 0—= -..—= = - CD 2, BC CD+ BD 5 DE 2 DE 2 AB 5,即155 :. DE= 6 小结：角平分线分三灼形所成比的应用。 例4 已知丛BC~MJEF,心BC的三边长分别为,./2,,,./百，2, MJEF 的其中两边分别为1,J7，求第三边A c E F B 分析：若MBC与!:::-.DEF相似，则AB与DE,AC与DF,BC与EF是对应边，则AB BC AC AB DE =-=--= 有关系DEEF DF,具实还有BCEF,…… 解：设WEF的第二边为x@1：打＝｀历：平·• 1与我，打与沂可是对应边，x与2是对应边X 1 -= 2迈:. X = "\fj, :. fiDEF的第三边为J5【模拟试题】（答题时间：20分钟）1 在MBC中，AB=5,AC=2, AD平分乙BAC,交BC千D,DE//AC交AB千E,则MDE与MBC的周长之比为多少？面积之比为多少？2.直角梯形两底分别为a,b（c!>b)'短腰的长为C,求对角线的交点到短底及短腰的距离3.平行四边形ABCD的面积为64,E, F分别是AB、AC的中点，则MEF的面积等千多少？4.在R丛ABC中，AB=1,AC= 2, ADJ.BC千D,求AD,CD A B c 理想的书籍是智君的钥匙1 . 气尔斯栗【试题答案】1 周长之比为5:7:面积之比为25:49 be ab 2到短底的距离为a+b,到短腰的距离为a+b3.8 2忑4'\EAD=—CD=— 4. 5'5 期末复习知识结构代数a之0二次根式：｀丘双非负性{五20二次根式——{同类二次根式，录简二次根式分母有理化｀司：：：：：厂＇a，勹。 矿+bx+c= O (a-:t:-0) 直持开平方法一元二次方程的解法——｛配方法公式法因式分解法 一元二次力程根与系数的关系｛韦达定理x1+x2 =-:, x凸＝：以X1,X2为根的一个方程为灶－（x1+x2)x+x凸＝0fl= b2 -4ac A>0仁f有两个不等实根fl= o⇒有两个相等实根根的判别式心 相似三角形的判定：三＠二二:/: 三尸相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比，都等千相似比四．典型例题例1.计算：1 范＋（2－丘尸－（－）°(1) 5 1 + 2 (2)、历－1.13+1 屈＋迈－1－4,(3)、E+18 1应＋（2－扛）一l-（－）解：(1) 5 1 =2花＋－12－石=2和(2＋花）－1＝迈＋1迈＋1.2（在1)= + (2)肝式顷－1)（,.fi+ 1)（石＋1)(...,fi-1)＝迈＋1＋｀巨－1`` =3护磷－1）21(3)原式磷＋1）（石－1）－[/= 3J?_＋（五－1）仁拉= 3J?_ + 3-2拉－我=3 例2化简求值(1)已知－l 2)已知关千x的力程x2-3x+ m = 0的一个根是另一根的2倍，求m解：(1) 2 2 /'i = b ~ - 4ac = 3~ - 4 x 2 x (-4) = 9 + 32 > 0 ．方程有两个不相等的实数根(2)设方程的一个根为a,则另根为2ab C X1 +x2 =--, x1x2 = -由韦达定理a a -3 a +2a=- — = 3 :. a= 1 a-2a= m 1 :. m = 2a2 = 2 :. m = 2 例5.( 1)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°'永这个多边形的边数a+ b 4 b = -(2)已知3b 3,求a,觯：（1)设这个多边形的边数为n,则(n -2) -180°= 360°x3-180° :. n = 7,即这个多边形为7边形a +b 4 0—=- ( 2 ) 3b 3 :. 3(a + b) = 4 x 3b :. a= 3b b b 1 - =-=-a 3b 3 例6.已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFl.EC交AB于F,连结FC,若AB>AE( 1 ) AEF与Lili.CF是否相似？若相似，证明你的结论。 AB —=k (2)设BC,是否存在这样的K值，使得MEF~ bi.B CF ?若存在，证明你的结论并求出k的值：若不存在，请说明理巾G A E,-,,',2 1 D B 解：（ 1)相似证明：延长FE交CD的延长线千GAE=ED，乙A=乙EDG,乙AEF＝乙DEG:. l::.AEF三LillEG乙1＝乙2,EF=EG 在Rtl::.EFC与Rtl::.EGC中EF = EG, CEl.FG, EC= EC ·. R凶EFC兰R凶EGC乙2＝乙3，乙1＝乙3在RtAAEF与Rtl::.ECF中 乙A＝乙FEC= 90°,乙1=乙3·. fiAEF ~ LffiCF (2)若MEF~fiBCF AE AF BC BF 1. _ 1 AE=－AD=-BC2 2 AE 1 = - BC 2 AF 1 =— BF 2 1 . AF=.:.AB 3 在RtfiECG中，ED为斜边上的高归射影定理，得ED2= CD-DG 1 1 (-BC)2 =AB·-AB 即2,3 1 1 .. -BC2 = -AB2 4 3 AB2 3 = - .. BC2 - 4 AB -f3 BC 2 石k=— ．．当2时，MEF~fiBCF 【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.化简计算(1)22+25-（6－叶－平 石－（1）°+(－2)3-3-l(2)忑＋21 f a+ (3) 的整数部分为a,小数部分为b,求b+2 2.解方程(1) 3长－1= 6x 2. ". 3 x +2x+ 2 -4=0 ( 3 ) x.. + 2x ( 2 ) 2沪－4y-1=0 1 x-—= 1 (4 ) X -1 3若沪＋沪＝25,X + y = 7, X > y,求x-y.4.已知方程妒＋kx-6=0的个根是2,求另根及k.5.已知；在等腰梯形ABCD中，AD//BC,BD平分乙ABC( 1)求证；AB=AD(2)右- '.AD = 2，乙C=60° ，求梯形ABCD的周长。 A D B c 6.如图，AD//BE//CF,AB:BC= 2:3, AD= 6, CF= 11 ，求BE.A D c E F 1. (1)3 (2)-23 【试题答案】1石a=2, b=、fs-2, a + ~ = 2+— (3) b+ 2 5 3土2石x= 2. (1) 3 2土寸5x = ( 2 ) 2 (3) X1 = -1＋我，x2= -1－我，x3= 1, x4 = -3 ( 4 ) X1 = 0, x2 = 2 3. 1 4. X = -3, k = 1 5. C 1)略(2)10 6.8（提示：从A、D向CF作垂线）期末模拟试卷【模拟试题】（答题时间：60分钟）一．选择题(3分X10=30分）2 1.计算(--12)的结果是（) A.4 8.2 C.土2D.土42.已知a=4, b=6 ，则a、b的比例中项为（) A.±2森B. 2森C. -2森D. 5 3若力程x2-3x+2 = 0的两根为X1、X2,则X1+ X2 ( ) A. 2 B. -2 C.3 D. -3 4.若C是线段AB的冀金分割点，AC>BC,若AB=1,则AC= C ) A. 0.618 5-2 ` B C.石－1忑－1D. 2 1 x-—= 1 5.方程x-1 的根为（) A. X1 = 0, x2 = 2 C. X = 2 8. X1 = X2 = 3 D. x= 0 6. 下列命题正确的是() A.对角线相等的四边形为平行四边形B.对角线互相雏直且互相平分的匹边形为菱形C.四边相等的四边形为正方形D.有一个角是直角的四边形为矩形7一个多边形的每个外打j均为30°,则这个多边形的边数为() A. 18 B. 13 C. 10 D. 12 8某商品连续两次降价10％后的价格为a元，该商品的原价为（) " A. 10% X 10% 2 C. a (l-10%) 8. a X 10% X 10% a D. (1-10%)2 9.在丛ABC中，D是AC边上的-·点，乙DBC＝乙A,，则BC＝祁，AC=3 CD的长为() 3 5 A. 1 _2 B C.2 -2 D 10.如图，在梯形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，且AD、BC是方程2 x~ -4x+3= 0的两根，则EF为（) A D B c A. 1 B.3 C.2 D. 4 二．埴空题(2分X9=18分）1.归{乒了是二次根式，则x的范围为2.止方形的对角线具有而菱形的对角线不具有的性质是3.请写出一个既是中心对称又是轴对称的图形4.写出打了，｀厉，忒页中的同类二次根卫5.若方程x2-kx = k有两个相等的实数根，则k的值为2 6.在实数范围内分解因式：x~-x-1 = 7如图，若乙ABD＝乙C,写出相似的三灼形A B c 3x+y = 8.若X:y: Z = 3: 2: 4,则砂＋3z9.如图，AB=CD,ADI/BC, AC_!_BD, A0= 1, C0=2,则梯形ABCD的高为 A D B c 二．计算(5分＋7分＝12分）1. (5分）丽＋（3－动°1 `5 2. (7分）1 x2 -2x + 1护－2x+1x = + 已知2＋石，水x-1 · x(x-1 ) 的值。 四．解方程(5分＋7分＝12分）1. (5分）2x2 -3x-4 = 0 2. (7分）x2 + 2 4x + = 5 解X,i +2 五解答题(6分十7分十7分＋8分＝28分）1. (6分）如图，矩形ABCD中，E为BC上点，DF上AE千F,若AE=BC求证：CE=FE A D B E c 2. (7分）若关千x的力程2(x-1)• (x-3m)= x(m-4)的两根之和与两根之积相等，不解方程求m的值3. (7分）已知：如图，梯形ABCD中，ADI/BC,E为AB中点，CD=AD+BC求证：DE..lECA D E B c 4. (8分）已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，ADI/BC,乙A=90°,点E在1 BE= AD=..:._AE AB上，ED1-CD千D,且2 ,若DC=6../5，求BC的长A D E B c 石求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究一一加菲劳 【试题答案】—．选择题1. B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. D 8. D 9.C 10. C 二．填空题1. X S3 2.正方形的对角线相等3.矩形4应与m6. (x-1＋门（X－1门5.0或-47.公ABO(/)公ACB1-6 11 8 3j?_ 9. 2 2.解：三计算。 3迈＋1迈1.解：原式2 5`E =-—+ 1 2 1 2-、启X =------= = 2+.fj -(2＋羽（2－勾= 2-13 o岛1.732,:. 2-丘＜1 x2-2x+l护－2x+1+ x-1 x(x-1) = x- 1+ 言x(x- 1) lx-11 = x-1+ x(x-1) x-1 = x-1-x(x- 1 ) 1 = x-1-..:. X =2－石－1-(2＋句=-2石－1四．解方程1解：/:,.= (-3/ - 4 X 2 X (-4) = 9 + 32 = 41 -b土J囚3土寸可i3土寸可i.·.x=-=-= 2a 2x2 4 3＋妇3－如.·. X1 =------=---'X2 = 4 , 2 4 4 y+__:_=5 x2 +2 y= 2.解：令X，则原方程定为Y 整理得：y2-5y+4 = 0 (y-4)(y-1) = 0 ·. Y1 = 1, Y2 = 4 x2 +2 = 1 当X时，即x2- x + 2 = 0 6. = (-1) 2 -4 X 2 < 0 占该力程无解x2 +2 = 4 当X时，即x2-4x+2=02 f1 = (-4)"" - 4 X 2 = 8 4士｀厄4士2--/2x=-= .. 2 2 =2士迈2 检眙把x=2＋我，2－忒；分别代入中＋2)中，均不力0。 x1 = 2＋拉，X;i= 2-｀历是原方程的解五．解答题1 A D B E c 证明：．．四边形ABCD为矩形:.BC= AD 又AE=BC,.'.AE=AD:.乙1＝ 乙ADE又乙ADE十 乙2=90°'乙1＋ 乙3=90°:.乙2=乙3在Rt6DFE和Rt6DCE中｛勹勹＝2乙DCE=90° ED=ED .'.Rt丛DFE兰Rtt:.DCE:.CE=FE 2解：方程2(x-l)(x-3m)= x(m-4)可化为宜＋（－7m+2)x+6m= 0 令其两根分别为气、X2,则-7m+2 7m-2 X 1 + X2 = -------=--= 2 2 6m X1 • X2=— = 3m 2 又X1 + X2 = X1 • X2 7m- 2 飞＝3m,即m=2:.m= 2 3.证明：找出CD的中点F,连结EFA D B c 1 EF = ~(AD+BC) 则21 1 DF =CF= ~CD= ~(AD+BC) 又22 :. EF= DF= CF 乙1＝乙2,乙3＝乙4又乙1＋乙2＋乙3＋乙4= 180° ．乙2＋乙3=180° -—=90° 2 :. DE..lEC 4.解：过D作DFl_BC丁F,则OF//AB A D E X 6石B F c :.乙1= 乙3又乙3＋ 乙2=90°:.乙1+ 乙2=90°又？乙2＋乙C=90°:.乙1=乙C:.Rt6AED=Rt6FCD AD DF AE FC 设AD=x,则BE=x, AE = 2x AD x 1 =-=-AE 2x 2 DF 1 = - FC 2 又DF=AB= 2x + x = 3x ·. FC = 6x 在Rt6.DFC中，DF2+ FC2 = CD2 即(3x):i+(6矿＝卢）2.". X = 2 BC= BF+FC= x+6x=7x=7x2= 14 一元二次方程根与系数的关系；四边形八年级数学同步辅2009-08-181 9 :25 :59阅读255评论0字号：大中小订阅暑假专题一－元二次力程根与系数的关系；四边形二蜇点、难点單点：一元二次方程根与系数的关系：四边形的内角和、外角和定理；多边形的内伯和、外角和定理。 难点：一元二次方程根与系数的关系；四边形内化和外角和定理的应用；多边形内、外角和定理的应用知识要点：代数：1.韦达定理-元二次方程ax2+bx +c = O(a * 0)，如果有实数根（即b C 2 x1 +x2 =--X凸＝- 11 = b'-4ac ~ 0),设两实数根为X1 ,X2,则a, a 引申1矿＋矿＝(x1 +x2)2 -2x凸1, 1 X1 + X2 —+—= X1 X2 X1X2 伍－X2) 2= (X1＋沁2-4x凸2 . 2,.,2 X2'X1 -X1 ~ + X2伈＋吩－2x凸—+—= = 芍环芍勺芍朽 C X1X~ = -引中2:由”可判断两根符号之间的关系：C X凸＝－> 0 若a ,则X1 ,X叭司号C X凸＝－< 0 若a ，则X1,X2异号，即—正—负b X1 +X:,i =--再由a可判断两根大小的关系2.由X1,X2两根可构造的一元二次方程以X1,X2为根的一个一元二次方程为x2-(x1 +x2)x+x1x2 = 0 . 儿何：内角和定理：四边形的四个内角之和为360°四边形｛外角和定理：四边形的外角和为360°引申：四边形的4个内角中可能有几个锐角内角和定理：多边形的内角和等于(n-2) • 180° 多边形｛外角和：任意多边形的外角和等于360°n(n -3) n边形的对角线条数：—一2 【典型例题】例1.( 1 )若X1,X2是方程3x2-Sx = 7的两个根，求x1+ X:;i, x1x2 : 1 1 —+— (2)若力程2x2+3x = 1的两个根是X1,X2,求钉X2。 b - 5 5 x1 +x2 =--=-—= - 解：（1)中韦达定理，得a 3 3 C -7 7 X1X2=-=—= --a 3 3 (2)把原力程化为—般式2x2+ 3x-1 = 0 b 3 X1 + X2 = - - = -~ 由韦达定理，得a 2 C -1 1 X凸＝－= - = -- a 2 2 3 1. 1 X1十勺2 —+—= =— = 3 X1. X2平21 2 1 1 -+-= 3 即凸X2 例2.（汀西2004中考题）巳知关千x的方程x2- 2(m+ l)x＋汾＝0 ( 1 )当m取什么值时，原方程没有实数根？(2)对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和解：(1) fl= b2 - 4ac = [- 2(m+ 1)]2 - 4 x 1xm2 = 4(m+ 1)2 -4m2 = 4(2m+ 1) 当fl<0时，原方程无实数根:. 4(2m + 1) < 0 1 .. m <-- 2时，原力程无实数根1 (2)当fl~0时，即4(2m+1)~ 0 m~一一2时，原方程有两个实数根设方程的两根为X1,X2,则两根的平方和为： 矿＋矿＝（x1+x2)2-2x凸＝［2(m+1)]2-2m2 = 2m2 +8m+4 1 m~一一在2范围内取m=1,则矿＋寸＝2汾＋8m+ 1 = 2 X 12 + 8 X 1 + 1 = 11 例3.(2004海淀中考）已知，关千x的一元二次方程ax2+ 2ax+c = 0的两个实数根之差的平方为m,若对于什意个非零的实数a,m~4总成立，求实数c及m的值。 2 解：设原力程的根为X1'X2'由题意，知(x1-x2)"'= m 又灼－x2)2= (x1 +x2i -4x凸2a x1 +x~ =-—= -2 山韦达定理" C X1X:;i = -a C m = (X l -X 2) 2 = (X l + X2) 2 - 4 X凸＝(-2)2 -4 X-= 4 -4 X -C a a C 汛＝4-4x..:..要使对千任意—个非零的实数a,m~4总成立，需a中的c=O汛＝4-4x..:..=4这时" 即c=O时，m=4例4.(1)如果匹边形的匹个内角的度数之比为1:2: 4: 5,求这个匹边形各内角的度数2)一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个多边形的边数解：（1)根据题意，设这个四边形的四内角分别为x,2x, 4x, 5x,根据四边形内角和定理，则x+ 2x +4x +Sx = 360° · . 12x = 360°, :. X = 30° ·. 2x=60°, 4x=120°, 5x=150° ．．该四边形的四个内角分别为30°,60' , 120· , 150°2)设这个多边形的边数为n,则其内角和为(n-2) X 180° ，设这个外角为X,则0°< X < 180°,中题憩，知(n - 2) X 180° + X = 1350° 又1350°= 7 X 180° + 90° :. X = 90°, n - 2 = 7, :.凡＝9 ．这个多边形的边数为9。 模拟试题】（答题时间：25分钟）1.如朱方程x2+6x+k = 0的一根为1'求k及另一根1 1 —+— 2设方程x2-7x+2=0的两根分别为X1,X2,求＠芍朽；＠芍2-x22 心1> X2) 3.求以3,—1为根的方程4.如果两数之和为7,俩数之积为12,求这两数5. (1)内角和等千外角和的多边形是儿边形？(2)若个多边形的每一个内角都相等，且内角和为2340°'求每个外角6.匹边形ABCD中，对角线AC平分乙BAD,且AB=21,AD= 9, BC=DC= 10, 求AC的长如图：／三A B 理想的书籍是智慧的钥匙—托尔斯泰 1. k=-7,另一根也为－77 2正，＠7`陌3. X2 -2x - 3 = 0 4.俩数为3,4 5. (1) 4: (2) 24' 【试题答案】6.提示：过C向AB、AD的延长线作垂线，AC=17平行四边形平行四边形i性质｛知识结构：边：对边平行且相等角：对角相等，邻角互补对角线：互相平分对称性：中心对称图形(1)两组对边分别平行的四边形(2)两组对边分别相等的四边形｝边(3)一组对边平行且相等的四边形判定~(4)两组对角相等的四边形一一角(5)对角线互相平分的四边形一一对角线 定义：有一个角是直角的平行四边形角：四个角都是直角矩形中性质｛对角线：两条对角线互相平分，且竺面积：S＝两邻边之积＝长x宽(1)有一个角是直角的平行四边形判定{(2)有三个角是直角的四边形｝角(3)对角线相等的平行四边形—一对角线定义：有—组邻边相等的平行四边形菱形i性质｛R：二三，平分每一组对角面积：S=对角线乘积的一半判定(2)四边都相等的四边形} 边{（l)有一组邻边相等的平行四边形(3)对角线互相垂直的平行四边形一~寸角线定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形边：四条边均相等正方形呾性质｛角：四个角均为直角对角线：互相平分，互相垂直，相等，平分每一组对角判定：平行四边形➔矩形（菱形）➔菱形（矩形）【典型例题】例1.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9,80=12, AD=10, 求该平行四边形的而积。 A 10 D / B 5 M C (2004重庆中考）解：？四边形ABCD是平行四边形占AD=BC=10又M是BC的巾点:.BM= 5 又？AD//BC:. t:,AOD~ t:,MOB AD AO DO = = MB MO BO AD 10 2 =-=-又 MB5 1 AO 2 = -MO 1 AO= 2MO 义AO+M0=92MO+M0= 9 . MO = 3, AO = 6 同理D0=8,80= 4 在6AOD中，AD=10, A0= 6, D0= 8 AD2 = 102 = 100 A02 +D02 = 62 +82 = 100=AD2 ·. AO..l..DO （勾股定理逆定理） 1 __ ·-1 ·. s凶即＝－BDx AO=-;;:-x 12 x 6 = 36 2 2 又显BD三bCDB 如果EF=4,求CDA B D (2004北京中考）解：？E为AB的中点，EF//BC:.F为AC的中点1 :. EF =.:..Be 2 又EF=4·. BC=8 ．．．四边形ABCD为菱形:.BC= CD :.CD=8 例4.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值A D 〉三M, ＼矿I I } J , I I J I , , J ', 2 B M' C (2004黑龙江中考） 解：在BC上取点M' ，使CM'=6连结NM'·: DM=2, DC=8 :.CM= 6 又四边形ABCD是正方形:.AC平分乙BCD,即乙1＝乙2·. fiCMN兰fiCM'NC SAS) ·. MN= M'N :. DN+MN= DN+M'N 又两点之间线段最短．．．连结OM'交AC千N'即当N在N'处时，ON+M'N =ON'+ M'N'= OM' ON+M'N最小在Rtt':,.OCM'中，DM'＝欢c矿＋CM2＝熹了二歹－＝10即当N在N'处时，ON+MN取到最小值10模拟试题】（答题时间：20分钟）1.口述平行四边形、菱形、矩形、正方形性质的异同点。 2.A、B、C、D在同一·平面内，(DAB//CD:@AB= CD: @BC//AD: @BC=AD,在这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有3.矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD上点，若AE=AB,求乙EBC的度数4.菱形ABCD中，乙A:乙8=1:5,周长为8cm,求菱形的高5.已知：在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使AE=AB,并且作EF..l.AC交BC于F，求证：BF=EC D c 理想的书籍是智瑟的钥匙．气尔斯泰【试题答案】1.略2 @©I@@I@@I@@ 3. 15° 4. 1cm 5.略暑假专题一相似形二重点、难点：1.亟点：比例线段的基本概念、性质；平行线分线段成比例定理及推论；相似＝角形的概念、判定、性质2.难点：比例线段基本性质的应用；平行线分线段成比例定理及推论的理解；相似＝角形的判定、性原的应用二．知识要点： 比例线段前项，后项基本概念{成比例线段（比例线段）：项，外项，内项，第四比例项比例中项：黄金分割：基本性质{a : b = c: d ⇒ad= be a : b =b: c ⇒b2 =ac a c a士bC士d合比性质：= b d ⇒ 性质ib = d 等比性质：a c m .::. =.:.. = · · · · · · = :..:..:. (b +d +……+n-:#-0 b d n () a+c+······ +m a ⇒ =- b+d+……＋几b定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行千三角形一边的直线截其他两边平行线分线段成比例定理{（或两边的延长线），所得的对应线段成比例三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 定义：(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．(2)两角对应相等，两三角形相似．相似三角形i判定i(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(4)三边对应成比例，两三角形相似．(5)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．｛定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对匣角性质平分线的比都等于相似比．定理：相似三角形周长的比等于相似比．【典型例题】例1．填空：(1)如果线段a=3,b=4, c=S,那么b、a、c的第四比例项d=(2)如果线段a=2,且a,b的比例中项为J百，那么线段b=(3)如图，如果乙ADE＝乙C,那么AD•AB= • A B c 解：（ 1）由题意知：. b: a= c: d :. bd = ac ac 3 x 5 15 :. d =—=—=— b 4 4 15 d = -即4(2)由题意知：ab＝卢）2:. b = 俨）2 10 =—=5 a 2 即b=5(3)在!:::.ADE和6ACB中，乙ADE＝乙ACB,乙A＝乙A:．丛ADE'-"6ACBAD AE AC AB :. AD • AB = AC • AE X 2 x-y - = --= 例2.(1 )已知y3,则Y a c e 3 a-c +2e - =—= —=- (2)若bd j 7,则b-d+2fx+y y = a c a土bC土d-＝－⇒ = 解，（1)由比例的合比性质，bd b d X 2 O-=- y 3 x-y 2-3 1 =-=--y 3 3 x+y 2+3 5 =-=-y 3 3 。 a 3 -= -, (2)由b7 b 3-7 = a .. 3. 3 c =-d, e = -j 同理，7 . 7 a-c+ 2e b- d +2f 3 3 3 -b--d + 2x - j 7 7 7 b- d +2f = 3 ~(b-d +2f) 7 b- d +2f 3-7 a-c+ 2e 3 = - b-d +2f 7 例3.已知：如图，AD·AB=AE·AC求证：6FDB=6FECA B c 证明：?AD• AB=AE • AC AE AB AD AC 在!:,.AEB和!:,.ADC中AE AB AD AC 乙EAB＝乙DAC:.!:,.AEBC/)6.ADC（两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似）:.乙B= 乙C 在丛BDF和丛CEF中乙B＝乙C乙1＝ 乙2（对顶角相等）:. i6.BDF{/) i6.CEF（俩角对应相等，两三角形相似）即i6.FDB{/)i6.FEC例4.已知：如图，在6.ABC中，AD1-BC千D,BC= 24, AD=18,矩形EFGH内接千6.ABC,且EH=2EF,求矩形EFGH的周长B F D G c 解：?EH=2EF 设EF=x,则EH=2x设AD与EH交千点0？矩形EFGH,:.EH//FG 又？AD..LFG,:.AD..LEH "."EH//BC,．．．心AEHv->f::,.ABC. EH AO .. -= BC AD 又OD=EF=x,AO=AD-00=18- x 2x 18-X = 24 18 36 :. X =— s ：．矩形EFGH的周长为：36 216 2(EF+EH) = 2(x+2x)= 6x= 6x— = — 5 5 216 答：矩形EFGH的周长为5 Q 【模拟试题】（答题时间：15分钟）x+2 X = -1．已知5 3,则x=2 已知a:b: c = 3: 5: 7,且3a+ 2b -4c = 9,则a+2b-3c = 3. L.ABC中，EDI/BC交AB于D,交AC千E，若AD,D8= 2: 3. EC-AE= 2cm,则AC=cm。 4.已知L.ABC中，P、Q分别在BC、AC上，且PQ//AB, PQ= 6, BP= 4, AB= 8, 则PC=1 GC=-AC 5.如图，BD=DC,3 . EF// AD,则EG:GF= F B D E C 一一加菲劳 【试题答案】4 02 11 .. 38 .. 1 .. 5 34 12 梯形、梯形中位线、三角形中位线、平行线等分线段定理及其2个推论知识结构平行四边形四边形｛梯形｛直角梯形等腰梯形 (1)两腰相等(2)在同—底上的两角相等基本性质(3)两条对角线相等} A D (4)两个等腰三角形／：三＼B C 性质）(5)延长两腰形成一等腰三角形等腰梯形p`\/] 拔高性质C 6) BE= BC-AD 2 B A D 』c B E C 对称：等腰梯形为轴对称图形，不是中心对称图形(l)两酌相等的梯形为等腰梯形} 判定{(2)在同一底上的角相等的梯形为等归梯形可直持用(3)对角线相等的梯形为等腰梯形一一简单证明后可用 平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等霾推论l:经过梯形一睡的中点与底平行的直线，必平分另—腰B E二FC 推论2:经过三角形—边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．A B c 三角形的中位线｛定义：连结三角形两边中点的线段．定理：三角形的中位线平行千第三边，并且等于它的—半．定义：连结梯形两腰中点的线段．.. 梯形的中位线i定理：梯形的中位线平行千两底，并且等千两底和的一半。 1 面积：S= -(a+b) • h=i. h (i为中位线）2 【典型例题】例1．已知一个等腰梯形的高是2m,它的中位线长是5m,一个底fa是45°,求这个梯形的面积和上、F底边的长， A D B E F c 解：如图AD、BC分别为上卜底，AB=CD,乙B＝45°过A、D分别作AE、DF菲直千BC,乖足分别为E、F,则AE、DF均为梯形的商.".AE=DF=2m 在RtD.ABE中，．：乙8=45°:.乙BAE=90°一乙8=45°.".BE=AE=2m 同理：CF=2m设AD=x,则EF=x:. AD+BC= AD+(BE+EF+CF) = x+(2+x+2) = 2x+4 又中位线长是5m,:.AD+BC= 2 x5m = 10m :. 2x+4 = 10, :. x= 3m ：．上底AD=3m,下底BC=BE+ EF +FC= 2+3+2 = 7m 梯形的面积S = 1 • h = 5 x 2 = 1 Om2 答：梯形的面积为10m2,上底为3m,下底为7m例2.如团，在6ABC中，D为AB中点，E在AC」了，且AE=2CE,BE、CD交于点F,又知BE=8,求EF的长 A B c 解：过点D作DM//AC·.．D是AB中点:.M为BE中点1 :. DM=-=-AE 2 1 CE= -=-AE 又AE=2CE,即2:.DM=CE ：心DMF竺6.CEF(AAS) :.MF= EF 1 --1 FE =....:. BE =..:. x 8 = 2 4 4 答：EF的长为2。 例3.(2004北京海淀中考）缅，哪ABCD中，ADI/BC8D平分乙ABC乙A=120',BD =BC= 4"/气求梯形的面积 A D E B F c 解：·:乙A=120',ADI/BC :.乙ABC=60°又BO平分乙ABC:.乙ABO=乙CBD=30'又AD//BC:.乙ADB＝ 乙DBC=30'在6.ABD中，乙ABD=30°,乙ADB=30°:.AB= AD 过点A作AE上BD千E则E为BO中点1 --1 :. BE= ~BD = ~ x 4"/3 = 2--/3 2 2 在Rt6.ABE中，设AE=x,则AB=2x 中勾股定理，得：x2+（泣丫＝(2x)2 .'. X = 2,即AE=2s . 1 1 ．．屯= ~ BD • AE = ~ x 4、/3x2=4、62 2 在6.BCD中，过点D作OF上BC于F·:乙DBF=30° 1 1 :. DF =.!... BD =..: x 4石＝2石2 2 ·. s 1 1 .....,.o.l!CD =..: BC x DF =.:... x 4石x2J3=122 2 沁庄切＝S也o+SAl!CD = 4勹仔＋12答：梯形ABCD的而积为4、(3+ 12。 例4.（上海2004中考）如图，等腰梯形ABCD中，ADI/BC,乙DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合千点D,折痕分别交边AB、BC千点F、E,若AD=2,BC=8,求BE的长A B D 二=..,. ..,. 一己I ..,.．．一一I/ I/ 、0/、IJ' 汽/ \ l 、| \ l \ l 、I二E G c 解：？EF为折痕，B、D重合:.EF_i_BD, 80=00, BE= DE 在Rt6BOE中，乙OBE=45°:.乙OEB=45°·:!':,BOE竺!':,DOE:.乙OED=45°：．乙DEB＝乙DEO＋乙OEB=45°+ 45° = 90° :.DE_l_BC 过点A作AG_l_BC千G可证!':,.ABG竺!':,.DCE(HU 1 1 · . BG= CE= i(BC-AD) = ~(8-2) = 3 2 2 BE= BC-CE= 8-3 = 5 答：BE的长为5模拟试题】（答题时间：20分钟）1.梯形ABCD中，ADI/BC乙A乙B=31,则乙A=，乙B=2.三角形的周长为112cm,三角形三条中位线的比为3:5: 6,求三条中位线的长3.等腰梯形ABCD中，AB//DC,AD=DC=10,乙DAB=60°,求梯形的面积。 4. （黑龙江2004中考）若等腰梯形的三边长分别为3、4、11,则这个等腰梯形的周长为5. （昆明2004中考）已知：在梯形ABCD中，ADI/BC,乙B＝乙C,点E是BC边的中点求证：AE=DEA D B E c 学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究一一加菲劳【试题答案】1. 135° , 45° 2. 12cm, 20cm, 24cm 3. 75｀巨4. 29 5.证明略 代数：用提公因式法进行因式分解学习目标：熟练应用提公因式法进行因式分解二．重点与难点：瓜点：用捉公因式法进行因式分解难点：寻找公因式＝．主要知识点1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式囚式分解，也叫做把这个多项式分解因式2.公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式3.用捉公因式法进行因式分解一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的为法叫做捉公因式法4怎样寻找公因式：观察法( 1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数(2)公因式中的字母取各项的相同字母，且各字母的指数取次数最低的四典犁例题例1.把6a2b-8ab2c分解因式分析：先找出公因式，再提公因式(1)公因式的系数取6和8的最大公约数2(2)公因式的字母是：ab所以公因式为2ab 解：6a2b-8ab2c = 2ab-3a-2ab-4bc = 2ab(3::i -4bc) 例2.把3x2一切＋x分觥因式分析：先找出公因式，再提取公因式容易发现公因式为X,多项式最后一项x可看成x1，提取x之后，剩下的应是1 。 解：织－6歹＋x= X · 3x -X · 6y + X · 1 =x(3x-6y+1) 注意：( 1)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，捉公因式后，该项剩下的应是12)提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数相等例3.把2a(b +c)-3b(b +c) 分解因式分析：在这个多项式的两项中，都含有b+c,与前面例题中的不同，这里可把b+c看成一个整体m,这样原多项式可化为2am－劣m这样形式的多项式我们是会分解的，最后再把m变回b+c这样就完成了对原多项式的因式分解这种方法称为换元法，即把一个式子看成一个整体，最后再变回原来的形式解：2a(b+c)-3b(b+c) = 2a-m-3b-m =m(2a-:) ｝这两步在做题时可不出现= (b+c)(2a－劣）注意：由这道题，我们可以得出这样一个结论：公因式可以是单项式，也可以是多项式如果是多顶式，可用换元法处理例4_把12(a -b)3-18a(a -b)2 因式分解分析：观察该多项式，两项中均含有a-b,在第一项中是3次方，第二项中是2次方，这里把a-b看作整体m,原不等式可化为12m3-18am2,对该多项式提取公因式，分解因式后，再把m还原即可。 解：12(a -b)3 -18a(a -b)2 = 12m3 -1&lm2 二:(22:～勹义｝可不出现= 6(a-b)2[2(a-b)-3a] = -6(a -b)2 (a+ 2b) 注慈：(1 )公因式可以是多项式的乘方2)在因式分解的最后结果中，通过合并同类项来保证每一个因式是最简的5(x-y)江10(y-x)2 例5.把因式分解分析：观察此多项式，发现没有明显的公因式 但同时发现(x-y)3与(y-x)2可以提取一个负号，变成相同的形式(y-x)2=［一(x-y)广＝(x-y)2 原多项式可化为5(x-y)3 + 10(x-y)2,对这个多项式分解因式即可3 2 解：5(x-y)"'+10(y-x) = 5(X -y) 3 + } 0(X -y) 2 = S(x - y)2 -(x -y) + S(x一对2 = S(x-y)2(x-y + 2) 注意：(1)当个多项式没有明显的公因式时，可以通过恒等变形，改变彴置等方法寻找公因式2)这题也可以这样做：囚为(x-y)3=［一(y-x)］3=－(y-x)35(x-y)巨10(y-x)2= - 5(y-x)3+10(y-x)2 =-5(y-x)2 (y-x)+[-5(y-x)2] (-2) =-5(y-x)2(y-x-2) 比较两种方法的结果，其实是完全样的，只是负号的位置不同。 五．小结在用捉公因式法分解因式H寸，寻找公因式是关键，首先要明确公因式既可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式的乘方如果公因式是多项式或多项式的乘 方；可用换元法化复杂为简单，为避免湘项，要检查分解因式的最后结果：提公因式后的困式的项数应与原多项式的项数一致模拟试题】（答题时间：30分钟）一．判断题：下列各式从六到右哪些是因式分解？2 x" -x=x(x-1) ( 1 ) () ( 2 ) a(a-b) = a2 -ab () ( 3 ) (a+b)(a-b)=a2-b2 () a" - 2a + 1 = a (a - 2) + 1 2 ( 4 ) () ( 5 ) 沪－6b+ 9 = (b-3)2 () 二．将下列各式囚式分解( 1) 8x沪－12矿z(2)减＋2,u-C 3) -2zy +4x c4) -8矿＋32a8C S) 3x(y+z)-4(y+z) (6) a(x-y)-b(y-x) (7) 3(b-a)3 - (a -b)5 ( 8 ) x分(a-b)-xy(b-a) +y(a-b) ( 9 ) a(x-y) +2by-2bx+x-y (10) 叭a-b)2+ z(b- a)5 +a - b 灰冷－lc11)a·-a 三求值2次＋3浓＋1(12) X -3x 已知a = -2, a+b+c= -2.8,求代数式矿(b+c)-3.2a(c +b) (1)寸理想的书籍是智禁的钥匙．( 2 ) X 【试题答案］一．判断题(3) X 气尔斯泰( 4 ) X (5)✓ 提示：因式分解是和差化积，积化和差的是乘法分配律，不是因式分解。 二将下列各式囚式分解解：(1) 8x3沪－12矿z=4矿(2x2- 3yz) ( 2 ) 2戒＋2冗＝2双R+r) ( 3 ) -2万＋4x= -2x(y-2) <4) -8a2 + 32a8 = -8a2 (1-4a勺( 5 ) 3x(y+z)-4(y+z) =(y+z)(3x-4) ( S ) a(x-y) -b(y-x) = (x-y)(a +b) 或a(x-y)-b(y-x)=-(y-x)(a+b) (7) 3(b- a)3 -(a -b)5 = 3(b- a)3 +(b- a)5 = (b-a)3[3+(b-a)2] C S) x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b) = x2y(a-b)＋巧(a- b) + y (a -b) = (a - b)y(x2 + x + 1) ( g ) a(x-y) + 2by-2bx + x-y = a(x-y) +2b(y-x) +(x-y) = (x-y)(a－泌＋1)(10)守（a-b)2+z(b-a)5 +a-b = ;ry(a -b)2 -z(a -b)5 + (a -b) = (a-b)［守(a-b)-z(a-b)4+1] 冷灰－l( 11) a -a 济-1济一l= a. a-a = am -l (a -1) (12) X 2浓＋3次＋1-3x 济＋1次＋2济＋1= X. X-x -3 =x汛＋l(X济＋:i-3) 三求值分析：代数式a2(b +c) - 3.2a(c+b) 中有3个未知数，要求此式的值需知a、b、C的值。 而分析已知条件{a=-2 只能得出{a=－2a+b+c=-2.8 · ·· lb+c=-0.8 所以把a、b、c的值代入求值是行不通的矿(b+c)-3.2a(c+b) 但，我们发现= a2 (b +c) - 3.2a(b +c) = (b +c)(a2 - 3.2a) 把b+c看成一个整体，上式即可求解(b +c)（矿－32a) = -o.8[(-2)2 - 3.2(-2)] = -8.32 这类题的思路可概括为：当没有足够的条件有接代入求值，可通过囚式分解熬体换元来求" 2 解：(b +c) - 3.2a(c +b) = （矿－3.2a)(b+c) 由{a=-2 1导{a=-2 a +b+c = -2.8 · · lb+c = -0.8 把{a=－2代入(a'-32a)(b +c) b+c = -0.8 得－8.32a凇＋c)-3.2a(c+b)= -8.32 代数：用公式法分解因式几何：关千三角形的一些概念内容概要：［代数］用公式法分解因式1.平方差公式：a2 -b2 = (a +b)(a-b) (1)公式特点：左边是平方差的形式，右边是两数和与差的乘积2)符号含义：公式中的符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。 2 2 (3)应用公式的条件多项式可以写成两部分的平力差的形式即()"'-( ) 2.完全平力公式：矿＋2ab＋沪＝（a+b)2 矿－2心＋沪＝(a -b)2 ( 1)公式特点：左边是一个三项式，两个数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，右边是这俩个数和（或差）的平力2)符号含义：公式中符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式3)应用公式的条件：多项式可以写成三部分，符合以下条件：（）2士2()bi.+ bi. 2 3.解题步骤：(1)观察多项式，如果能提公因式，先提公因式2)观察多项式，只有使多琐式符合公式特点，才能利用公式因式分解 (3)在因式分解的结果中，保证每一个因式都不能再分解［几何］1.三伯形基本概念：三角形、边、角、顶点A c b B a c 2.＝角形的＝条重要线段：(1)＝一角形的角平分线A B D c 1 乙BAD＝乙DAC=－乙BAC2 (2)三角形的中线A B 1 BD= Dc=.:...Bc 2 (3)＝角形的商CD锐角三角形A B c ＠直角三角形A B c ＠钝角二角形A B ＿＿勹｀－－－C\ iD J I \ I E上上＼\ ! •,,、、,.l 、\G 【典型例题】1 2 －－x位＋1)＋1 2 —x(1－万）例1将4 16 分解因式。 分析：式中没有明显的平力养结构，但捉取公因式x后，剩下的因式就可以用平方羌公式1 1 解：4 --X位＋1)2+ -hx(l－守）216 =x[－』伈＋1)2＋点(1-xy)2]雇（五）2分（三］—等价变形=x{[¾(l-,y）『－［；伈＋1叮｝=x［扣－动＋；位＋1)］［伈－动－；伈＋1)]｀＋长）（－i三）1 1 =x•¾(3＋巧）（－』酝＋1)1 =－—x（歹＋3)（切＋1)16 小结：先捉取公因式，再利用平方差公式合并同类项例2将x(x-y)+2x2(x-y)+ x3(x-y)分解因式分析：该多项式有三部分，但没有明显的完全平方结构如果提取公因式x(x-y),就可用完全平方式了解：x(x-y) + 2x2(x-y) + x3(x-y) = x(x-y)(l + 2x+ x2) = x(x-y)(x + 1)2 小结：提公因式与完全平方公式混合使用分解因式 例3将x4-8x2 y2 + 16y4分解因式分析：该多项式有＝项，二项平力和x4 +16y4 = (x2)2 +(4沪）2，另一项是x2, 4y2的积的2倍，符合完全平方差公式解：x4-8x2沪＋16y4= (x2)2-2xx2 x 4沪＋（矿）2= (x:i -4沪）2一要保证因式不可再分解= (x- 2y)1 (x + 2y)1 小结：平力差公式、完全平力差公式混合使用。 例4.(a'分）2-4 分析：该多琐式有二项，符合平方差公式的结构，由平方差公式得(“江~+2）（“三－2)矿+~+2,a三－2a -/\ a ，则a a 都是完全平方式，可再用完全平方式把囚式分解到最简解忙分）'-4= （矿＋订－22= (a2＋产）（a2＋厂）完全平力式 = [“2心）2+2xax~卜心－2xa三］=(a三）2(a-：了小结：平方差公式、完全平方公式混合使用例5.计算：1222X 9 -1.332 X 4 分析：这道题可有接计算，但比较繁琐仔细观察，该式有两项，且是两项的平方差，所以可用平力差公式因式分解，再计算解：l222 X 9 -1.332 X 4 = (1.22 X 3)2 -(1.33 X 2)2 = 3662 -2662一平方差公式= (3.66-2.66)(3.66 + 2.66) = l x 6.32 = 6.32 小结：利用公式因式分解后再计算，可使计算简便例6.判断对错，对的打“J”号，错的打“X"号1)＝角形的顶点到对边的距离是三角形的高 ) (2)＝角形的腐所在直线交千一点，这点不是在三角形内，就是在＝角形外) (3)过＝角形的—个顶点和它对边中点的直线是三角形的中线。 ) (4)三角形的三条角平分线交千一点，且这点在三角形内 ) (5)三川形的角平分线就是三代形内角的平分线 ) 解：(1) X囚为高是一条线段，高的长度才是三伯形的顶点到对边的距离2 ) X 锐允三角形的高交千三化形内部 钝角＝．角形的商的延长线交千＝角形外部直角＝角形的商交千＝角形的直角顶点 3 ) X中线是线段 4)..; ( 5 ) X角平分线是线段，不是有线模拟试题】（答题时间：30分钟）一．将下列各项因式分解25 2 —a2 _ x2y2 (1) 4 (2) -x2 -5y(5y-2x) l. "'l. 3 ( 3 ) ax"+ 2a" x +a C 4) (x2 -3)2 + 2(3-x2) + 1 二计算：( 1 ) 9.92 + 9.9 X 0.2 + 0.01 (2)（三）2 (3)已知,3y = x+2z，求．x2-9沪＋4z2+4xz的值二证明题1 )求证：523-521能被120整除3 (2)若a为大丁1的整数，证明a--a能被6整除 四判断题1)＝角形的高是一条线 (2)＝条线段组成的图形叫做＝角形 ) (3)三们形三条高都在三允形内部 ) (4)三化形的伯平分线是射线。 ) 五．解答题1.写出含有AC边的所有三角形，阳中共有几个三角形？A c B 2.已知三角形三边为连续整数，且最小边长既是偶数又是质数，求三边长3. 6ABD的高与6ABC的高相等若AB=4cm,6ABC的面积S=12cm2,求AABD中AB边上的高A B 知识，只有知识，才能使人成为目由的人和伟大的人一一（俄）皮萨列夫 【试题答案】一．将下列各式因式分解 1) （:a－守）（长习2 (2 ) -(x-5y) ( 3 ) a(x+a)2 ( 4 ) (x + 2)2{x - 2)2 二计算1)原式＝（9.9+0.1)2= 102 = 100 (2)原式＝（三）'=1 oo'-2 x 1 oo x ¾飞）21 1 = 10000 -100 +.:. = 9900.:. 4 4 (3 ) 8 3y= x+2z, :. x+2z-3y= 0 :．原式＝(x2 +4z2 +4叫－9y2= (x + 2z}2 - (3y)2 = (x + 2z-3y)(x + 2z + 3y) = 0 x (x + 2z + 3y) =0 三证明题守－521= 521伞－1)= 521 X 24 = 520 X 5 X 24 = 220 X 120 ( 1 ) 故能被120整除(2)矿－a= a(a + l)(a -1) 0a, a +1, a-1 是＝个连续整数:. a(a+1)(a-1)是6的侣数3 .. a -a能被6整除四判断题。 1 ) X (2 ) X ( 3 ) X (4 ) X 五．解答题1.含有AC边的＝角形：6AFC、心ADC、6AEC、6ABC,图中共有9个＝角形，2既是偶数又是质数的数是2,...＝边长为2,3, 42S 心C2 X 12 = AB| = 4 = 6 (cm) 3.在6ABC中，AB边上的高1 而6ABD中AB边l'的高与6ABC中AB边上的高相等:.6ABD中AB边上的高为6cm代数：用分组分解法分解因式几何：三角形三条边的关系内容概要；代数1.分组分解法：（本幸难点）把多项式的各项分组，通过提取公因式或运用公式来分解因式的方法称为分组分解法2分组分解法的关键：进行恰当的分组，使得分组后能继续分解因式2 3_ x2 + (p +q)x + pq型多项式＠二次项系数为1: ＠常数项是两个数之积；＠一次项系数是常数项的两个因数之和结论1,x2 +(p+q)x+pq= (x+p)(x+q) 结论2:( 1)祁数项＞0时，它分销成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同 (2)常数项<0时，它分解成两个异号因数，其中绝对伯较大的因数和—次项系数符号相同4.配力法：（较商要求）通过加减项配出完全平力公式把一次＝项式分解因式的力法，叫做配力法。 5.解题步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先捉公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止几何不等边三角形1 三角形底边d捶等腰三角形等边三角形定理：三角形（任意）两边和大于第三边A 2三边关系jB二二推论：三角形两边的差小千第三边3.应用： ( 1)判断三条线段能否组成三角形：关键石较小的两边长之和是否大千第＝边长2)判断＝角形中边的范围典型例题】例1.将ab作－d2)-cd（矿－b2)分解因式分析：没有公囚式，不能用公式，如用分组法，需将括号打开，亚新组合解；叫c2-d2)-cd炉－b2)= abc2 -abd2 -cda2 +cdb2 = (abc2 -cda2) + (cdb2 -abd2) = ac(bc-ad) +bd(bc-ad) = (ac +bd)(bc -ad) 注意：先打开括号，再重新分组例2（北京市2004年海淀中考题）将ac-be +a2 -b2分解因式分析：没有公因式，不能用公式，试石用分组法解：ac-be +a2 -b2 = (ac - be) + (a 2 - b 2) —分组= c(a-b)+ (a-b)(a +b)＿一提取公因式= (a -b)(a +b+ c) 例3将邓2x2-2mx-35因式分解。 y 2 分析：将mx看成一个整体y,原多项式变为－2y-35,可按x2 +(p +q)x+ pq犁来分解该多项式最后再把y换回成mX,这里应用了换元法 解：戒x2-2mx-35 =(mx)2-2 • mx-35 =(mx)2 +(-7+5) • mx+(-7) • 5 = (mx-7)(mx + 5) 例4将(x2+ 3x-3)(x2 + 3x +4)-8 分析：将括号打开，在这个过程中，可把x2+3x吞成整体y,原多项式变为(y-3)(y+4)-8，把这个多项式括号打开的过程中，我们可以用＝沪＋y-20x2 +(p +q)x+ pq = (x+ p)(x+q) 的逆运算，得{y-3)(y+4)- 8 ＝沪＋［（－3)+4},+(-3)• 4-8 ＝沪＋y-20X 2 再用＋（p+q)x+pq型的结论来分解该因式解：设Y= x2 +3x 忙＋3x-3)(x2 + 3x +4)-8 = (y- 3)(y +4)-8—换元=y2+[4+(-3)J>,+4 • (-3)-8 x2 + (p +q)x + pq = (x+ p)(x +q)的逆运算＝沪＋［5+(-4)9'+5• (-4)一一x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q) r+b-c|-~-a-cl= l(a +b)-cl-l(b-a)-cl 根据定理知(a +b)-c > 0 根据推论知(b-a)-c< 0 所以可以去绝对值了解：r+b-c|－卜－a－c|= l(a +b)-cl-l(b-a)-cl = (a +b)-c-lc-(b-a)I =a+b-c-[c-(b-a)] =a+b-c-c+(b-a) =a+b-2c+b-a =2b-2c :.1±:a = 3, b = 5 例6.在6ABC中，若，求第二边c取值范围分析：根据定埋知，第三边c应小千另两边之和根据推论知，第＝边c应大千另两边之差的绝对值解：13-51 今天所敬之孚勿候明天，自己所做之孚勿候他人．气洁 【试题答案】1.将下列各式因式分觥1) (1-a2)(1-b2)-4ab = 1-b2＿让＋矿沪－4ab= a2沪－2ab+ 1-b2＿矿－2ab= (ab-1}2-(a +b)2 = (ab-1 +a +b)(ab-1-a -b) = (ab+ a + b - l)(ab - a - b - 1) (2) a沪－ab-2= (ab)2 -ab-2 = (ab)2 +(-2 + 1 )ab + (-2) • 1 = (ab-2)(ab + 1) ( 3 ) a 4 - 15a2 +9 = a4 -fu::i+ 9 - 9a2 =(a:i-3)2-（河＝（矿－3五）（a2-3＋司= (a::i五－3)(a2＋32- 3) ( 4 ) x5 + x3 -x2 - 1 = x3炉＋1)-(x2 + 1 ) = (x2 + 1)(x3 - 1 ) = (x2 + 1)(x-1)(x2 + x + 1) ( 5 ) (x2 +3矿－2伈＋3x)-8＝伬＋3x- 4)(x2 + 3x + 2) = (x+4)(x-1)(x+1)(x+ 2) 2解：·:x、y为矩形边长• X, y > 0 ？矩形周长是300cm ·. 2(x + y) = 300 < 1 > y-4矿－4y33. 2 0 x+x 又= x2 (X + y) - 4 y2 (X + y) = (,.2 -4沪）（x+y)= (x-2y)(x + 2y)(x + y) =0 E) X + y * 0, X + 2y * 0,.'. X -2y = 0 < 2 > 巾<1>、＜2>得：{x= 100(cm) y=50(cm) :.矩形面积S=巧＝100x 50 = 5000 cm2 3.解：俩部分养9cm,当腰比底大9cm时，设底为xcm则2(x+9)+x=21.x=l :. x+ 9 = 10 当腰比底小9cm时，设腰为xcm,则2x + X + 9 = 21, X = 4 :. x+9 = 13 e 2x < 13,．．．腰比底小9cm不可能:．三边长为10cm,10cm, 1 cm 4.解：当4为最长边时，则满足条件的三角形边长为：4, 4, 3 / 4, 4, 2 / 4, 4, 1 / 4, 3, 2 当4不是最长边时，则满足条件的三角形三边为：5, 4, 3 / 6, 4, 3 / 5, 4, 2 分式的加减法角边角公理的推论，边边边公理。 两个三角形中对应相等的全等画”./",不定全公理或推论简写边或角等画“X"条边J 边对应相等(SSS)两边夹角J SAS 两边一角两边与一边X 对角两角夹边J ASA 两角—边两角与一角J AAS 对边个角X 例6.如图所示，点C、D段BE上，BC=DE,AB//EF, AD//CF,求证：AB=EFE F A B 证明：0AB! IEF ：．乙FEC＝乙ABD（两直线平行，内错角相等）0 AD/IEF ·. LADE＝乙FCE（同上）e BC= DE BC+CD= DE+DC（等量代换）即EC=BD在丛F呀Db.BAD中 ｛：言：2B2EC=BD :. t;EFC三/!:;BAD(A岛）EF=AB（全等三角形对应边相等）4如图所示，乙A= 乙D,AB=DE, AF=CD, BC=EF,求证：BC//EFF E A D B C 证明：在6ABF和6EDC中，{；!：＝FD;EC乙EDC．显BF兰f1EDC（岛S)BF=CE（全等三角形对应边相等）连结FC,在!:,,_BCF和f:,.EFC中，｛曰F:（公共边）·. fiBCF三tiEFC(sss) 乙EFC＝乙BCF（全等三角形对应角相等）BC/ IEF（内错角相等，两直线平行） F E A 、\ ` ` ` ` 、` ` ` ` ` ` ` 、` ` D B c 直角三角形全等的判定及角的平分线如图，DE..lAB千E,CF..lAB于F,AC、BD交千点0,且AC=BD.AE=BF。 求证：OC=ODD C A E F B 证明：连结AD、BC,D C I O /' l ~I\ I ', A E F B ·: AE=BF, :.AF=BE 又？ AC=BD:.Rt6ACF兰Rt6BDECHU :.DE=CF, 乙DBA＝乙CAB:.Rt~AED竺Rt~BFC(HL) ：．乙DAE＝乙CBF,AD=BC ：．乙DAO＝乙CBO 又？乙AOD＝乙COB占D.AOD兰D.BOC(AAS) :.OC=OD 4.在BC上截取BD=BF．：乙A=60°,BE、CF分别平分乙ABC、乙ACB:.乙F0B=60°,乙B0C=120°又？乙FBO＝乙DBO,BO=B0, BD=BF :.t::,FBO兰60B0(SAS) :.OD=OF,乙BOD＝乙BOF＝乙COD=60°．：乙EOC＝乙DOC=60°,OC=OC,乙DCO＝乙ECO:.t::,DCO竺D.ECO,(ASA) :.OD=OE :.OF=OE 等腰三角形的复习课已知：B、C、E在同一直线」＿，6.ABC、6.DEC是等边三角形，BD交AC丁Q,AE 交CD丁P,求证：(1) BD=AE; (2) 6.CPQ是等边三角形：(3) PQ//BC。 A B c E 分析：（1)证8D、AE所在的68DC和6AEC全等2)可证CQ=PC,可通过证6CEP与t:,CQD全等来证 (3)由丛PCQ为等边＝角形可得乙QPC=60',可通过内错角相等来证PQ//BC证明：（ 1 )．．心ABC,6DEC为等边＝角形:.乙ACB＝ 乙DCE=60'在6BCD和6ACE中，厂二＝C乌CE（等呈加等罣相等）CD=CE :.6BCD竺公ACE(SAS) :.8D=AE（全等二角形的对应边相等）(2)由（1)乙CDQ＝乙CEP（全等三角形的对应角相等）·:乙BCE=180"：．乙QCP=180"一乙BCA－ 乙DCE=180°-60° -60° =60° 在6CDQ和6CEP中，｛＄言PCE=60°乙CDQ＝乙CEP（已证）:./:c.CDQ竺丛CEP(ASA) :.CQ=CP（全等三角形对应边相等）在/:c.PCQ中，乙PCQ=60':./:c.PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）(3) ·: 1:c.CPQ是等边三角形:．乙PQC=60°（等边三角形的每一个角都是60°)：．乙PQC＝乙BCQ:.PQ//BC（内错角相等，两直线平行）例4如图：AB=AC,BC//DE, AD、AE分别交BC于点G、H,乙ADE＝乙AED。 求证：BG=CHA B c E 证明：?BC//DE :. L.1＝乙ADE（两直线平行，同位角相等）同郎，乙2＝乙AED又乙ADE＝乙AED:．乙1＝乙2（等揽代换）:.AG=AH（等角对等边）过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO:.BO=CO（等腰＝角形底边的齿与底边的中线重合）·: AQJ_GH :.GO=OH（同上）:.BG=CH（等豐代换）勾股定理及逆定理的综合应用如图所示，在四边形ABCD中乙B＝乙D= 90° , LA= 60° ，若AB=2,CD=1，求四边形ABCD的面积 A 60° 2 D B c 分析：不规则四边形求面积，可利用分割法来求解：过B作BEl.AD,垂足为E,过C作CFl.BE于F ，在RtD.ABE中，A 2 D B ＠乙A=60° ·. LABE = 30° c 1 1 :. AE =.:... AB =.:... · 2 = 1 2 2 BE=.JAB2- AE2 ＝五了言亡§又四边形CDEF为矩形·. EF= CD= 1 BF = BE -EF = "fj -1 乙FBC=90° 在Rtl:o.BCF中，－乙ABE=90° -30° = 60° :乙FCB= 30° :. BC= 2BF= 2亿－1)FC＝扆勹汇小（在1)『－（在1丫＝、5(石－1)= 3---/3 沁陀心吵＝S竺＋Sucr+s沦坏DEF1 1 =.:....BE• AE+..:....BF• FC+CD• CF 2 2 叶·｀氐1分·陌－1)• (3－司＋1• (3-'\/3) 飞石＋告（拐－1)2+3项3石2 例5.在6ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证：AP2 = AB 2 - PB • PC A B c 分析：构造肖角三角形，才可能出现边的平方的关系。 证明：（1)如果APlBC,8 AB= AC A唾直平分BC在RtD.ABP中， AP2 = AB2 -BP2 = AB2 -PB-PC 故结论得证A B -P c (2)如果AP不垂直千BC,作BC边的商ADe AB= AC :. BD= CD 在Rt6APD中，AD2= AP2 - PD2 在Rt6ACD中，AD2= AC2 -CD2 AP2 - PD2 = AC2 -CD2 AP2 = AC2 -CD2 + PD2 = AC2 -(CD2 - PD2) = AC2 - (CD+ PD)(CD-PD) = AC2 - (BD+ PD) · PC = AC2-PB-PC 即AP2= AB2-PB-PC A B c 3.如伤所示，在四边形ABCD中，AB=4,BC=13, CD=12, AD=3, ~.n. -.;,v , 乙A=90° 求四边形ABCD的面积 c B A D s 四边形ABCD= 36 ，利用割补法代数：二次根式的除法几何：三角形及三角形全等的复习知识结构代数：商的算术平方根：产＝五b品(a~ 0, b > 0) 一一4二次根式的除祛：五＝＇（a凶0,b > 0) 、屈b分母有理化：把分母中的根号化去几何：形角部三内角，部钝点内、一，角于点直交一于角段交锐边边三三第笫卫段劫于于系系关关大小线线国理等等分：定相不和差平线D)）之之角中高禾12边边{角（（两两段）线内｛2要) 1 (( r丿、—、重类醮归义f__ 1 __ L 三迈定角,',1 形角三 三角形边｛；二：『多底叶要三角形的分类｛等边三角形直角三角形：（两个锐角互余）三角形角｛斜三角形｛锐角三角形钝角三角形竺：A湿：AAS: 涎用于任何三角形SSS: 丿判定＝角形全等的5种方法1HL:只适用于直角三角形【典型例题】例1.计算( 1 )召－启( 2 ) 分析：带分数化成假分数解(1)－R-｀=－｀`=－｀勹＝－尸=-m=－35 7 ( 2 ) 沪9= 8＿迈= 生岳= 昙= 19-27 + 竺27例2.把下列各式的分母有理化 a2 -5 5森(1) 4范2(a + 2) (2)｀酝( 3 ) "fs +a 三三－＝2,五解：(1 ) 4-/i百42花83 8 2(a + 2) 2 (a + 2)二= ＝二(2)、厄拉迈a2 -5 (a2 -S)(a－心（a2-S)(a－忑）= = ＝a－岳(3)石＋a(a＋约(a－石）a2-S 例3.(1)如果三角形的三边长分别为3,4, 1-2a,求a的取值范围。 2)等腰二角形的个外角是110°,求底角解：(1) （利用三角形二边的关系）4 - 3 < 1 - 2a < 4 + 3 即1< 1-2a < 7 0 <-2a <6 0 >a> -3 .-3 求证：6ABC为等腰三角形A F B D c 思路分析：要证AB=Ac~AE= AF~心ED兰MFD扫)DE=DF 和志)fiBDE = fiCDF 证明：？D是BC边的中点:.BD=CD 在RtLBDE和RtLCDF中， {BD=CD BE= CF ·. R丛BDE兰RtfiCDF(HL)DE=DF（全等三角形对应边相等）在Rt心伍D和RtflAFD中，{AD=AD DE=DF :. R丛AED三R丛AFD(HL)AE=AF（全等三角形对应边相等）:. AE+BE = AF+CF（等量代换）即AB=AC【模拟试题】（答题时间：30分钟）( 1 ) 匣1.计算(2)尸( 3)~ 犀2) 4 ( (5)归臼2.把下列各式的分母有理化4迈（ 1 )尽a+l ( 3 ) 3,_[a了、历(2).fj x2 -3 (4 ) X＋花3. (1)一个＝角形的两边长分别是2和4,且第＝边为奇数，求第＝边长2)一个＝角形的两边长分别是2和4,且第＝边为偶数，求第＝边长，4.已知命题：(1)＝角形内角中至少有俩个锐角； (2)＝角形＝个内角中至少有一个钝角；(3)等腰三角形有—个角是40°,则它的底角为70°; (4)一个＝角形中，至少有一个角不小千60°: (5)钝伯三灼形中，任意两个内化的和必大千goo。 其中真命题的个数是几？5如图所示，AB=AD,CB=CD,且AC、BD相交千E点求证：(1) DE=BE: (2) AC.J.DB C D B A 【试题答案】7 78 1. ( 1) 8 ; ( 2 ) 5 ; 、尼x(4 ) 2y ; -4 尽(5) 13 －一2顶2 . (1) 5 一1五言(3 ) 3 3. (1) 3; 5; (2 ) 4 4. (1) (4)共2个正确5.证明·OAB= AD :.A在BD的垂肖平分线上·:CB=CD :.c在BD的垂肖平分线上:.AC垂肖平分BD:. DE=BE, AClBD ( 2 ) 3｀匠( 4 ) X－石—1 { ( 3 ) 12 代数：二次根式儿何：勾股定理及其逆定理知识要点］1.代数概念：品(a;?_O)二次根式｀两个性质｛卢0时，妇o臣）2= a,(－五）2＝a2.儿何勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形 功能：已知三角形的三边长，来判定此＝角形是否为直角＝一角形力法：比较较小的两边长的平力和与最大边的平）J若相等，则为直角＝角形若不等，则不为宜卅三角形典型例题】例1．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：1 1 (1)~; (2）巨(3)口(4)卢＋仁，（5)五气了分析：二次根式有意义要求被开方数大千或等千0。 2x s 1, (1)要使寸言百言有意义，需－2x+l~O,即1 XS-当2时，J三百了了有总义1_2 <- x .“ 义00意＞－＃有卢X:丘, 义得得时1 >> 意12<< 山由＞有压｀使要、丿2 ( (3)要使汇有意义，需1 ~o 五－1石－1--t:.0 石有意义<1> <2> <1> <2> <3> 由<1>得：丘~1, :. X ~ 1 由<2>得：丘＃1,.".X':/:-1 由<3>得：x~O综」',x>1时，五勹有意义4)要使J言＋J二有意义，需J了二百与J5言均有意义x-2~0 即{X-250, x = 2 ：．当x=2时，五万＋迈二有意义(5)要使J了了了有意义需x2+ 1 ~ 0，而x取任意值时，x2+ 1 ~ 0 :．当x为任何值时，J了了了有意义例2把下列非负数写成一个数的平方的形式1 (1) 8 _3 、丿2 ( (3)冗解：(1) 8＝信）2=（－呵( 2 ) i =信）2 = ` 2 (3)万＝伍尸（－珂例3.在实数范围内分解因式1) 3x2 -18 (2) x 4 -Sx2 +6 分析：（1)两项，可吞成平方差 窄－6）＝仁－（对］(2)三项，可看成亢全平方差。 x4 -沪＋6=（吓－沪＋6=伬－3)(x2-2)3=（霄，2＝卢）2解：(n 3x2 -18 ＝在－6)＝仁－（尉］＝和－森）（x＋匈(2 ) x4 -5x1 +6 = （叮－沪＋6＝伬－2)(x:i-3) ＝尸－（对］尸－（河］= (x--./2)(X +'\!5.)(X-｀巨）（x+句例4.如图，在l':::.ABC中，乙C=90°,AB的垂直平分线交BC丁M,交AB丁N,AC= 6cm, MB=2MC,求AB的长C A B 分析：题目中出现乖直平分线，要想到利用菲直平分线的性质，所以连结AM,可得AM=BM,又BM=2MC,如果能求出BC长，根据勾股定理，即可求出AB解：连结AM?MN是AB的垂直平分线.'.AM=BM（乖直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）设CM=x，则BM=2x· . AM= 2x 在R丛ACM中，AC2+ MC2 = AM2 62 + x2 = (2x)2, :. x2 = 12, :. x = 2--/3 ·. MC=2石，BM=4-fj ·. BC= 2、行＋4石＝6石在R止凶BC中，AC2 + BC2 = AB2 沪卢）2= AB2 :. AB= 12 例5已知三角形的三边长分别是2n2 + 2n,初＋1,2凡2+2n十1(n为自然数），试猜想6-ABC是不是直角三角形。 若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由分析：已知三角形三边长，判定该三角形是否为直角三角形，只需判断较小两边的平方和是否等于最长边的平方证明：（2汾＋2叶2 = (2矿（正1)2=4沿忖＋2凡十1)=4沪＋8汾＋4沿 (2n+ 1)2 =矿＋4n+1（宜＋2矿＋（2刀＋1）2= 4n4 +8戒＋4n2+4n2 +4n十1=4沪＋8示＋8戒＋4n+1 2 （霆＋2叶1)又= (2n2)2 + (2n十1广＋2• 2沿•(2n十1)= 4n4 +8戒＋8汾＋4n+1（矿＋2矿＋（2n+ 1/ = (2沪＋2n十1)2:.LABC为RtL例6在6.ABC中，若AC=15, BC= 13,高CD=12,求6.ABC的周长分析：该题的关键是如何画出符合条件的图形，考察的是发散思维解：若图形如(1)C 15 13 A D ( 1) B 在R丛ACD,-r,AD＝孔歹二了歹＝9在R丛BCD中，BD=J百了了五了＝5·. AB= AD +BD= 9+5= 14 .'.f:.ABC的周长为15+13+ 14 = 42 若图形如(2)c A B D 在R丛ACD中，AD=ft歹二了歹＝9 在R丛BCD中，BD=ft歹二了了＝5:. AB= 9-5= 4 :.tc,ABC的周长为15+13+4 = 32 综上，6ABC的周长为42或32。 模拟试题】（答题时间：30分钟）一．填空题1．已知个直角二角形的两边长分别是3和4,则笫三边长为2 已知·个等腰三角形的周长是16底边上的高是4则它的底边长是3将直角二角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是4 ｀在实数范围内有意义时，x的取值范围是二．在实数范围内分解因式：(1) 3x2-6 ( 2 ) x4 -3沪－10 ＝．解答题s 如图，在h.ABC中，AB=6,AC= 4, BC= B, ADJ..BC,求丛BCA c -D B 求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究一一加菲-【试题答案】埴空题1. 5或打2.6 3直角三角形4. X <0 ( 1 ) 3(x＋五）（X－笥(2)伬＋2)(X－忑）（x+幼s心c=3平 。
