2022年概率与数理统计_知识点总结.docx

名师整理精华学问点第一章 随机大事和概率1、概念网络图第一节基本概念古典概型几何概型加法B C基本领件减法B C随机试验 E 样本空间P〔 A〕五大公式 条件概率 B / C和乘法公式 BC随机大事 A全概公式贝叶斯公式独立性 贝努利 概型2、重要公式和结论（ 1 ）排列n m.Pm〔 mn) .从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；组合公式n m.Cmn.〔 mn) .从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；（ 2 ）加法和 乘 法 原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试 验 和 随机大事加法原理（两种方法均能完成此事） ： m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m种方法完成,其次种方法可由 n种方法来完成,就这件事可由 m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m种方法完成,其次个步骤可由 n种方法来完成,就这件事可由 m× n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个） 次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；（ 5 ）基本领件、样本空 间 和 大事在一个试验下, 不管大事有多少个, 总可以从其中找出这样一组大事, 它具有如下性质：①每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；②任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用 来表示；基本领件的全体,称为试验的样本空间,用 表示；一个大事就是由 中的部分点（基本领件 ）组成的集合；通常用大写字母A,B,C,⋯表示大事,它们是 的子集；为必定大事,. 为不行能大事；不行能大事（ .）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理, 必定大事（ Ω ）的概率为 1,而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；①关系：假如大事 A 的组成部分也是大事 B的组成部分, （ A发生必有大事 B 发生）：A B假如同时有 AB , BA ,就称大事 A 与大事 B等价,或称 A 等于 B：（ 6 ）大事的 关 系 与运算A=B；A、B中至少有一个发生的大事： A B,或者 A+B；属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为 A 与 B的差,记为 A-B,也可表示为 A-AB或者 AB ,它表示 A 发生而 B不发生的大事；A、B同时发生： A B,或者 AB；A B=.,就表示 A与 B 不行能同时发生, 称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事,或称 A 的对立大事,记为 A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；②运算：结合率： A〔BC〕=〔AB〕C A ∪ 〔B ∪C〕=〔A ∪ B〕∪ C安排率： 〔AB〕 ∪ C=〔A∪ C〕∩ 〔B ∪C〕 〔A ∪ B〕 ∩ C=〔AC〕∪ 〔BC〕Ai Ai德摩根率：i 1 i 1A B AB , A B A B（ 7 ）概率的 公 理 化定义设 为样本空间, A 为大事,对每一个大事 A 都有一个实数 P〔A〕 ,如满意以下三个条件：1° 0 ≤P〔A〕 ≤ 1,2° P〔 Ω 〕 =13° 对于两两互不相容的大事 A1 , A2 ,⋯有P Ai P〔 Ai〕i 1 i 1常称为可列（完全）可加性；就称 P〔A〕 为大事 A 的概率；1°2° P〔1 , 21 〕 P〔n ,12〕 P〔 n 〕 ；n（ 8 ）古典设任一大事 A ,它是由, 组成的,就有概型P〔A〕 = 〔 1 〕〔 2〕1 2〔 m 〕m= P〔 1 〕P〔 2 〕P〔 m 〕m A所包含的基本领件数n 基本领件总数（ 9 ）几何 如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称, 同时样本空概型 间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述, 就称此随机试验为几何概型；对任一大事 A,P〔 A〕L〔 A〕；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） ；L〔 〕（ 10）加法公式（ 11）减法公式P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕-P〔AB〕当 P〔AB〕＝ 0 时, P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕P〔A-B〕=P〔A〕-P〔AB〕当 B A时, P〔A-B〕=P〔A〕-P〔B〕当 A=Ω 时, P〔 B 〕=1- P〔B〕定义 设 A、B 是两个大事,且 P〔A〕>0 ,就称P〔 AB〕P〔 A〕为大事 A 发生条件下,事（ 12）条件概率件 B 发生的条件概率,记为P〔 B / A〕P〔 AB〕 ；P〔 A〕条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P〔Ω /B〕=1 P〔 B /A〕=1-P〔B/A〕乘法公式：P〔 AB〕P〔 A〕 P〔B / A〕（ 13）乘法更一般地,对大事 A1, A2,⋯ An,如 P〔A1A2⋯An-1 〕>0 ,就有公式 P〔 A1 A2 ⋯An 1〕 ；An〕P〔 A1〕P 〔 A2 |A1〕 P〔 A3 |A1 A2〕 ⋯⋯P〔 An |A1A2 ⋯①两个大事的独立性设大事 A 、B 满意P〔 AB〕P〔 A〕P〔 B〕 ,就称大事 A 、B 是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且P〔 A〕0 ,就有P〔 B | A〕P〔 AB〕P〔 A〕P〔 A〕P〔 B〕 P〔 A〕P〔 B〕（ 14）独立性如大事 A 、 B 相互独立,就可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A与 B 也都相互独立；必定大事 和不行能大事 . 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；②多个大事的独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件, P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕 ； P〔BC〕=P〔B〕P〔C〕 ； P〔CA〕=P〔C〕P〔A〕 并且同时满意 P〔ABC〕=P〔A〕P〔B〕P〔C〕那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；设大事B1, B2,, Bn 满意（ 15）全概公式1° B1, B 2,nA, Bn 两两互不相容,BiP〔Bi 〕0〔i1,2,, n〕 ,2° i 1 ,就有P〔 A〕P〔 B1〕 P〔 A | B1〕P〔 B 2〕 P〔 A | B2〕P〔Bn 〕P〔 A |Bn〕 ；（ 16）贝叶设大事B1 , B 2 ,⋯,Bn 及 A 满意斯公式1° B1 ,B2 ,⋯,Bn 两两互不相容,P〔 Bi 〕>0, i 1, 2,⋯, n ,nA Bi2° i 1 , 就P〔 A〕 0 ,P〔 Bi/ A〕P〔Bi 〕 P〔 A/ Bi 〕nP〔 B j 〕 P〔 A/ Bj 〕, i=1 , 2,⋯ n；j 1此公式即为贝叶斯公式；P〔 Bi 〕,（ i1 ,2 ,⋯, n ）,通常叫先验概率；P〔Bi /A〕 ,（ i1 , 2 ,⋯,（ 17）伯努利概型n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断；我们作了 n 次试验,且满意每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的,即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为 n重伯努利试验；用 p 表示每次试验 A 发生的概率,就 A 发生的概率为 1 pq ,用Pn 〔k 〕 表示 n重伯努利试验中 A 显现k 〔0 kn〕 次的概率,Pn 〔k〕kCn pk q n kk,0,1,2,, n ；其次章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图基本领件随机大事 AP〔 A〕随机变量 X 〔 〕a X bF 〔b〕F 〔a〕0 1分布分布函数：F 〔 x〕P〔 X x〕八大分布离散型二项分布 泊松分布 超几何分布几何分布函数分布连续型匀称分布指数分布正态分布2、重要公式和结论（ 1）离散型 随 机 变量 的 分 布律设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk〔k=1,2, ⋯ 〕 且取各个值的概率,即大事〔X=Xk〕 的概率为P〔X=xk 〕=p k, k=1,2, ⋯,就称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：X | x1, x2,, xk,P〔 Xxk 〕 p1, p 2,, pk, ；明显分布律应满意以下条件：（ 1） pk0 , k1,2,pk 1, （ 2） k 1 ；（ 2）连续型 随 机 变设 F 〔 x〕 是随机变量 X 的分布函数, 如存在非负函数xf 〔 x〕 ,对任意实数 x,有量 的 分 布密度F 〔x〕f 〔 x〕dx,就称 X 为连续型随机变量； f率密度；密度函数具有下面 4 个性质：〔x〕 称为 X 的概率密度函数或密度函数, 简称概1° f〔 x〕 0 ；2°（ 3）离散P〔 Xx〕P〔xXxdx〕f 〔x〕dxf 〔 x〕 dx 1；与 连 续 型随 机 变 量的关系积分元 f 〔 x〕dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与散型随机变量理论中所起的作用相类似；P〔 Xxk〕pk 在离（ 4）分布设 X 为随机变量, x 是任意实数,就函数。