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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟219一、选择题问题:1. 已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 由α1+2α2-α3=β知 即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则 η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T， η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T 是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系 问题:2. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 根据线性方程组解的结构性质，易知2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解。

故选C 如果题目给出非齐次线性方程组的两个解向量，可直接将两者相减得到对应齐次线性方程组的一个非零解 问题:3. 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 对于A、C选项，因为 所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确 对于D选项，虽然β1-β2是非齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D选项也不正确 事实上，对于B选项，由于α1，α1-α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1-α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，故选B问题:4. η1，η2是n元齐次方程组Ax=0的两个不同的解，若r(A)=n-1，则Ax=0的通解为______A.kη1B.kη2C.k(η1+η2)D.k(η1-η2)答案:D[解析] 因为r(A)=n-1，所以Ax=0的基础解系只含有一个解向量，η1-η2为Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解为k(η1-η2)。

故选D问题:5. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有______A.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解B.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D.(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解答案:A[解析] 如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得 ATAα=AT(Aα)=AT0=0， 即α是(Ⅱ)的解故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解 反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得 0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)， 若设Aα=(b1，b2，…，bn)，即么 (Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0bi=0(i=1，2，…，n)， 即Aα=0，说明α是(Ⅰ)的解因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解 问题:6. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题： ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； ③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

以上命题中正确的是______ A.①②B.①④C.③④D.②③答案:A[解析] 若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题①正确 如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面，若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0由Anα≠0可知必有k=0类似地可得k1=k2=…=kn=0因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关 但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故An+1α=0时，必有Anα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解因此命题②正确 故选A 问题:7. 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)； ④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的有______ A.①②B.①③C.②④D.③④答案:B[解析] 由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。

下面证明①③正确 对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B))，故r(A)≥r(B) 对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其基础解系包含的解向量的个数相同，即n-r(A)=n-r(B)，从而r(A)=r(B) 问题:8. 设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A*是A的伴随矩阵，则______A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0没有非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好有一个非零公共解答案:B[解析] 由题设知n-r(A)≥2，从而有r(A)≤n-2，故A*=O，任意n维向量均是A*x=0的解二、填空题问题:1. 设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是______答案:[解析] 由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4-r(A)=1个解向量。

又因为 (α1+α2+2α3)-(3α1+α2)=2(α3-α1)=(0，-4，-6，-8)T 是Ax=0的解，所以其基础解系为(0，2，3，4)T，由 A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b， 可知是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是，k为任意常数问题:2. 设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为______答案:k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R[解析] 该线性方程组的系数矩阵为已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式所以r(A)≥2故r(A)=2 因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T-(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系 故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R 问题:3. 设n阶矩阵A的秩为n-2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为______。

答案:α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2为任意常数[解析] α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2-α1，α2-α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关又n-r(A)=2，故α2-α1，α3-α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2为任意常数问题:4. 若则X=______答案:其中x2，y2是任意常数[解析] 矩阵不可逆，故可设可得线性方程组故x1=2-x2，y1=3-y2，所以问题:5. 已知齐次线性方程组 有通解k1(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组 的通解是______ 答案:k2(13，-3，1，5)T，k2为任意常数[解析] 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解 代入(2)的第三个方程，得 (2k1+3k2)-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0， 即5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为 5k2(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，-3，1，5)T， 其中k2为任意常数。

问题:6. 已知方程组与方程(2)x1+5x3=0，则(1)与(2)的公共解是______答案:k(-5，3，1)T，k为任意常数[解析] 将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组(3)(3)的解就是两者的公共解对(3)的系数矩阵作初等行变换可得 由于A的秩为2，所以自由变量有一个，令自由变量x3=1，代入可得x2=3，x1=-5，所以(3)的基础解系为η=(-5，3，1)T因此(1)和(2)的公共解为是(-5，3，1)T，k为任意常数 同解与公共解的问题考查方式可以是证明题(证明两线性方程组同解或有公共解)，也可以是判断题(判断两线性方程组是否同解或有公共解)，还可以是计算题(已知两线性方程组同解或有公共解，计算方程组中的参数或是求所有的公共解)运用的基本知识还是线性方程组解的判定和解的结构的相关定理 三、解答题问题:1. 设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组Ax=b的通解答案:解：已知a2，a3，a4线性无关，则r(A)≥3又由a1，a2，a3线性相关可知a1，a2，a3，a4线性相关，故r(A)≤3。

综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为4-3=1又因为 所以x=(1，-2，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系 又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程组Ax=b的一个特解 。