【知识】初中数学一元二次方程总复习知识点梳理2.pdf

一元二次方程总复习考点 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程一般形式： ax2bx+c=0(a0） 注意： 判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式考点 2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（ b0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法X+a=b1x=-a+b2x=-a-b2.配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k 0）的一般步骤是： 化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；如果b0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b0，则原方程无解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是aacbbx242(b24ac0)步骤：把方程转化为一般形式；确定a，b， c 的值；求出b24ac的值，当 b2 4ac0 时代入求根公式4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若ab=0，则 a=0 或 b=0。

步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法5一元二次方程的注意事项：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；若b24ac0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x 4)2=3（x4）中，不能随便约去x4 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情况 b2 4ac0方程有两个不相等的实数根； b2 4ac=0方程有两个相等的实数根； b2 4ac0方程没有实数根解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b24ac解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围考点 3：根与系数的关系 :韦达定理对于方程ax2bx+c=0(a 0）来说， x1 +x2 = ab，x1x2= ac利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(xxxxxx21212111xxxxxx解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理二、经典考题剖析：【考题 11】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）Aax2bx+c=0 B. k2 x 5k+6=0 C.3x22x+x1=0 D.( k2 3) x22x+1=0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -【考题 12】解方程： x22x3=0 【考题 13】 （2009、青岛，6 分）已知方程5x2+kx 10=0 一个根是 5，求它的另一个根及k 的值三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21AxxBxyC axbxcD xxx2、若22324x( )xx与互为相反数，则的值为A12B、2 C、 2 D、123、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100 B.x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0 化为1681)47(2tD.3y2-4y-2=0 化为910)32(2y4、关于 x 的一元二次方程22(1)2mxxmm30的一个根为x=0，则 m 的值为（）Am=3 或 m=1 Bm=3 或 m= 1 Cm= 1 Dm=3 5、(2009 济南 )若 x1 ，x2 是方程 x2 5x+6=0 的两个根，则x1 +x2 的值是（）A .1 B.5 C. 5 D.6 6、(2009 眉山 ) 若 x1 ，x2 是方程 x2 3x1=0 的两个根，则2111xx的值为（）A.3 B.3 C.31D317、(2009 潍坊 ) 若 x1 ，x2 是方程 x2 6x+k1=0 的两个根，且242221xx，则 k 的值为（）A.8 B. 7 C.6 D.5 8、(2009 成都 ) 若关于 x 的方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.k 1 B. k 1 且 k0 C. k1 D. k 1 且 k0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -9、已知一元二次方程x2+2x8=0 的一根是2，则另一个根是_. 10、(2009 泰安 ) 若关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+2k2=0 有实数根，则k 的取值范围是 _ 11、解方程： (1)32)32(22x; (2)3(1)2(1)y yy; (3) 3(4x2 9) (2x3)=0; (4) x2 6x+8=0 12、 (2009 鄂州 )关于 x 的方程 kx2+(k+2)x+4k=0 有两个不相等的实数根，(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。

考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1 x）2=b，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率） ，b 表示后来的数据注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1 经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）销售数量；或者，总利润=总销售额总成本 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：【考题 1】 （2009、深圳南山区） 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图121） ，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为332x米，依题意得332130 xx，C 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -22331300 xx110 x2132x又当110 x时，33213x当2132x时，33220 x15 132x不合题意，舍去10 x答：花圃的长为13 米，宽为10 米【考题 2】 （2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9B.10C. 11D.12 解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得 x1=0.1， x2 =2.1因为增长率不为负，所以x=0.1。

故选 D考题 3】 （2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10 元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(5002 0 x)（10+x）=6000整理，得x2 15x50=0解这个方程，x1=5， x2=10要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克应涨价5 元 点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况【考题 4】 如图， 在 ABC 中，B=90 ，AB=5 ，BC=7 ，点 P 从 A 点开始沿AB 边向点 B 点以 1cm/s的速度移动，点Q 从 B 点开始沿BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 . （1）如果点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于4？（2）如果点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -解： （1）设经过x 秒钟， PBQ 的面积等于4，则由题意得AP=x ，BP=5x，BQ=2x, 由21BPBQ=4，得21（5 x） 2x=4，解得， x1=1，x2=4当 x=4 时， BQ=2x=8 7=BC，不符合题意。

故x=1 （ 2）由 BP2+BQ2=52得（ 5x）2+（2x）2=52, 解得 x1=0（不合题意），x2=2 所以 2 秒后， PQ 的长度等于5三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜05 元，结果小明的妈妈只比上次多花了2 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540 米 2，道路的宽应为多少？4小红的妈妈前年存了5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税P Q B C A 32m 20m 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -为利息的20%） ，共取得5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5如图 12-3，ABC 中， B=90，点 P从 A 点开始沿AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动。

1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒钟，使ABQ 的面积等于8cm2? (2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且P 到 B 后又继续在BC 边上前进， Q 以 C 后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使PCQ 的面积等于12.6 cm2解：依题意，得：21（6-x） 2x=8 解这个方程得：x1=2 ，x2=4 即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过4s，点 P到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处故本小题有两解2）设经过 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有。