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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题184填空题问题:1. 设A，B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，，则(B-2E)-1=______．答案:[解析] 由AB=2A+3B移项并提公因式可得 A(B-2E)-3B=O． 再在等式两边同时加上6E可得A(B-2E)-3(B-2E)=6E，也即 (A-3E)(B-2E)=6E， 进一步有．可知 问题:2. 设α1=[1，0，-1，2]T，α2=[2，-1，-2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，-5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=______．答案:-3[解析] 由 故β不能由α1，α2，α3线性表出 问题:3. 已知3维向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1-α2，α2-kα3，α3-α1也线性无关的充要条件是k______．答案:≠1[解析] 由 又因α1，α2，α3线性无关，故α1-α2，α2-kα3，α3-α1线性无关的充要条件是 问题:4. 已知r(α1，α2，…，αs)=r，则r(α1，α1+α2，…，α1+α2+…+αs)=______．答案:r[解析] 因向量组α1，α2，…，αs和向量组α1，α1+α2，…，α1+α2+…+αs是等价向量组，等价向量组等秩，故r(α1，α1+α2，…，α1+α2+…+αs)=r．问题:5. ，其中ai≠0，bi≠0，i=1，2，…，n，则r(A)=______．答案:1[解析] 因 又A≠O，r(A)≥1，故r(A)=1．问题:6. 设A是5阶方阵，且A2=O，则r(A*)=______．答案:0[解析] 因 A2=AA=O，r(A)+r(A)≤5，r(A)≤2, 从而 A*=O，r(A*)=0． 问题:7. 已知-2是的特征值，其中b是不等于0的任意常数，则x=______．答案:-4[解析] 由|λE-A|=|-2E-A|=0，可求得x=-4．问题:8. 设A是3阶矩阵，|A|=3，且满足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，则A*的特征值是______．答案:，μ2=-6，μ3=1[解析] |A||A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故A有特征值λ1=-2． 又，得．因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3． 故A*有特征值，μ2=-6，μ3=1．问题:9. 设3阶矩阵，3维列向量，已知Aα和α线性相关，则a=______．答案:-1[解析] ，得λ=1，a=-1．问题:10. 已知二次型是正定的，则t的取值范围是______，答案:[解析] f的对应矩阵，f正定，即A正定A的顺序主子式大于0，即 解得 取公共部分，知t的取值范围是 问题:11. 已知，则A-1=______．答案:[解析] 因为，所以 又 于是 则 问题:12. 设A，B均是3阶矩阵，其中|A|=2，|B|=-3，A*，B*分别是矩阵A，B的伴随矩阵，则 答案:[解析] A*=|A|A-1，则|A*|=|A|3|A|-1=|A|2，同理，|B*|=|B|2． 问题:13. 设3阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且，则B=______．答案:diag(3，2，1)[解析] 由A-1BA=6A+BA得B=6(E-A)-1A=diag(3，2，1)．问题:14. 设A是n阶矩阵，且|A|=5，则|(2A)*|=______．答案:2n2-n·5n-1[解析] 由(2A)(2A)*=|2A|E，(2A)*=|2A|(2A)-1，得 =|2n-1·5A-1|=(2n-1·5)n|A-1| =2n2-n·5n-1． 问题:15. 设，则(A*)-1=______．答案:[解析] 问题:16. 已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A1，将B中第1列和第2列对换得到B1，又，则AB=______．答案:[解析] 因为 所以 问题:17. 设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1=1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=______．答案:18[解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值，由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，故A，B的特征值均为λ1=1，λ2=-1，λ3=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而 |E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2． 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18． 问题:18. 已知向量组 与向量组 等秩，则x=______． 答案:1[解析] 由 知r(α1，α2，α3)=2，由题设：r(β1，β2，β3)=2 因 故x=1． 问题:19. 已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n-1，则线性方程组AX=0的通解是______．答案:k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数[解析] 由r(A)=n-1知AX=0的基础解系由n-(n-1)=1个非零向量组成． A的各行元素之和均为零，即 ai1+ai2+…+ain=0，i=1，2，…，n 也就是ai1·1+ai2·1+…+ain·1=0，i=1，2，…，n， 即ξ=[1，1，…，1]T是AX=0的非零解，于是方程组AX=0的通解为k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数． 问题:20. 方程组 有解的充要条件是______． 答案:[解析] 故 问题:21. 设线性方程组 有解，则方程组右端 答案:，k1，k2，k3为任意常数[解析] 使方程组有解，即当 其中k1，k2，k3是任意常数，方程组有解，或是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解．问题:22. 已知非齐次线性方程组 A3×4X=b ① 有通解k1[1，2，0，-2]T+k2[4，-1，-1，-1]T+[1，0，-1，1]T，则满足方程组①且满足条件x1=x2，x3=x4的解是______． 答案:[2，2，-1，1]T[解析] 方程组①的通解为 即 由题设x1=x2，x3=x4得 解得k1=1，k2=0，代入通解得满足①及x1=x2，x3=x4的解为[2，2，-1，-1]T． 问题:23. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若 β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4， 则Ax=p的通解为______． 答案:，k1，k2为任意常数[解析] 由 β=α1+2α2-α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4， 可知均为Ax=β的解，故均为Ax=0的解． 由于α1，α2线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解β1-β2，β2-β3，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4-r(A)≥2，即r(A)≤2． 综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故β1-β2，β2-β3即为Ax=0的基础解系，则Ax=β的通解为，k1，k2为任意常数．问题:24. 设，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是______．答案:k[-1，1，0]T，k为任意常数[解析] 由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换 由r(A)＜3，有a=1． 当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[-1，1，0]T，因此通解为k[-1，1，0]T，k为任意常数． 问题:25. 设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是______．答案:0(n-1重根)，n(单重)[解析] 因 故λ=0(n-1重特征值)，λ=n(单重)． 问题:26. 设A是3阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=______．答案:6[解析] 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知A有特征值λ=-1，-2，-3，则A+4E有特征值μ=3，2，1，故|A+4E|=6．问题:27. 设A是n阶实对称矩阵，λ1，λ2，…，λn是A的n个互不相同的特征值，ξ1是A的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵的特征值是______．答案:0，λ2，λ3，…，λn[解析] 因A是实对称矩阵，λ1，λ2，…，λn，互不相同，对应的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn相互正交，故 故B有特征值0，λ2，λ3，…，λn． 问题:28. 矩阵的非零特征值是______．答案:4[解析] 方法一 因 解得A的非零特征值为4． 方法二 由AX=4X，即 得λ1=4．又r(A)=1，知AX=0有3个线性无关特征向量，故λ2=0是三重特征值，即A的非零特征值为4． 问题:29. 与α1=[1，2，3，-1]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是______．答案:[解析] 设β=[x1，x2，x3，x4]T，若β与α1，α2，α3都正交，那么 对齐次方程组Ax=0的系数矩阵进行初等行变换，有 故n-r(A)=4-3=1，则Ax=0有一个基础解向量，故Ax=0的基础解系为[-1，1，1，0]T，将其单位化，得，即为所求．问题:30. 已知α=[a，1，1]T是矩阵的逆矩阵的特征向量，那么a=______．答案:-1[解析] α是矩阵A-1属于特征值λ0的特征向量，由定义A-1α=λ0α，于是α=λ0Aα，即 即 解得 问题:31. 已知，则r(A-E)+r(2E+A)=______．答案:3[解析] ，存在可逆矩阵P，使得 则 故r(A-E)+r(A+2E)=1+2=3． 问题:32. 设A是3阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三个线性无关的3维列向量，满足Aξi=ξi，i=1，2，3，则A=______．答案:E[解析] 因Aξ1=ξ1，Aξ2=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩阵形式有 [Aξ1，Aξ2，Aξ3]=A[ξ1，ξ2，ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]，ξ1，ξ2，ξ3线性无关，[ξ1，ξ2，ξ3]是可逆矩阵，故 A=[ξ1，ξ2，ξ3][ξ1，ξ2，ξ3]-1=E． 问题:33. 已知α=[1，3，2]T，β=[1，-1，2]T。