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第一节 函数 一、集合与邻域 二、映射与函数 一、集合与邻域 定义 . 给定两个集合 A, B,定义下列 运算: 并集 交集且 差集 且 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 或 定 义 . 设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规 则 f , 使得有唯一确定的 与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 二、映射与函数 例 1 . 例2.(点集) (点集) 向 y 轴投影 对映射 若, 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射. 例1, 2 例1 例1 X (数集 或点集 ) 说 明 : 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠  ) Y (数集) f 称为X 上的泛函 X (≠  ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 定义域 2.函数的概念 定义. 设数集则称映射为定义在 D 上的函数 , 记为 称为值域 函数图形: 自变量因变量 (对应规则)(值域)(定义域) 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. • 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法 • 解析式不同形式: 显函数、隐函数、分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 y 1 -1 x o. (2) 取整函数 y = [x] 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 [x] 表示不超过 x 的最大整数 有理数点无理数点 • 1 x y o (3) 狄利克雷函数 (4) 取最值函数 y x o y x o . . 例3 解 故 M -M y x o y=f(x) X 有界无界 M -M y x o X （1）．函数的有界性: 函数的特性 说明: 还可定义有上界、有下界.(见 P11 ) （2）函数的单调性: o x y x y o （3）函数的奇偶性: 偶函数 x y xo-x 奇函数 y xox -x 说明: 给定 则 偶函数 奇函数 （4）函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 例4 解 有界函数,偶函数, 周期函数(无最小正周期) 不是单调函数, 3. 反函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数为单射, 则存在一新映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射为 f 的反函数 . 使其中 D W D W 2) 函数与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线对称 . 指数函数 , 其反函数(减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 例 5. 求 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当时, 则 当 时, 则 反函数 定义域为 (1) 幂函数 （一）基本初等函数 三、 初等函数 (2)、指数函数 (3)、对数函数 (4)、三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 (5)、反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. (二) 复合函数 定义:设 因变量 中间变量自变量 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过多 次（或多层）复合构成. 解: 设 则 故 例6 解 例6 综上所述 解： 所给的函数是由 四个函数复合而成的。

例7将函数 分解成基本初等函数的复合 二、 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数. 例如 , 可表为故为初等函数. 奇函数. 偶函数. 双曲函数 奇函数,有界函数, 双曲函数常用公式 反双曲函数 奇函数, 奇函数, 作业 习题11: 4(3,4,7), 5(2,4), 8, 12(1,5), 15(2,4), 16 设函数 x 换为 f (x) 思 考 题1. 解: 思考题2 证明：任何一个定义在区间 上的函数可表成一个奇函数与一个偶函数之和 证明： 设 又 而 思考题2 是定义在 上的函数 是偶函数， 是奇函数， 故命题得证 练 习 题 练习题答案 第二节 数列的极限 • 一、概念的引入 • 二、数列的定义 • 三、数列的极限 • 四、数列极限的性质 • 五、小结 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： 播放——刘徽 一、概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义 例如 数列记为 注意 ： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 通过上面演示实验的观察: “无限接近”的含义：只要 n 足够大， 可以小于任意给定的小正数。

无论它多么小， 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意 ： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 例3 证 所以, 小结 （1）用定义证数列极限存在时, 关键是任 意给定  > 0 寻找 N, 使当 n > N 时， （2）为了找到上述 N ，常常先将 适当放大为 再令并从中能方便的解出 此时取 （3）有时为了方便，在不妨碍  可以任意小的前提 下，可事先设  小于某个正数 例4 证 所以, 例5 证 四、数列极限的性质 1、有界性 例如, 数列有界； 数列无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2、唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证由定义, 故收敛数列极限唯一. 3.收敛数列的保号性 定理3 如果 （证略） 注意 如果数列 例如 推论 如果数列 4、子数列的收敛性 注意： 例如， （1）显然 （2） 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． （证略） （3）常见的子数列 推论：若某数列有两个子数列收敛于不同的极限，则 该数列一定发散。

例如 五、小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性. 第二节作业 习题12: 1(2,4,7,8), 2, 3(2), 5 1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 播放 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 。