灰色GM模型灰参数求解方法改进(精).docx

灰色GM(1,1)模型灰参数求解方法改进1引言在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境、地学等领域中，有时要对其产生 的某种现象做一定的变化趋势预测，这种现象往往受各种因素影响而产生，而这 些影响因素难以量化，信息不充分，不易用明确的、白化的数学模型来表达为 此，邓聚龙［1, 2］教授于20世纪七八十年代提出了灰色系统理论，该理论是一种 研究某些即含有已知信息又含有未知和未确知信息的系统理论和方法灰预测模 型是该理论的重要内容之一，它是利用系统部分已知信息，建立起反映系统发展 规律的微分数学模型，并通过建立的灰色模型来预测系统的发展灰预测模型(GM(1，1))主要适用于等时距的离散数据的灰色建模而在实际工作 中所得的原始数据往往是非等时据的，对于非等时距数据，传统方法是利用各种 插值方法将非等时距序列插值为等时距序列，然后再建模［3-5］；也有从灰色模型 建模原理出发，对非等时距序列背景值进行重构，以提高预测精度［6, 7］；考虑灰 参数的时变特性，也有基于GM(1,1)模型提出了时变参数的预测模型，即将灰参 数假定为时间的多项式，利用最小二乘法求出时变参数和预测模型［8, 9］这些方 法存在着精度不高，求解方法复杂等不足，应用范围受到一定限制。

本文从等时 距灰色GM(1,1)模型的原理出发，推导出不等时距GM(1,1)白化模式的响应式， 将白化响应式与一次累加生成序列拟合，并借助MATLAB中“非线性最小二乘 法”相关函数，直接求解灰参数，方法简单，预测精度高其中：Atk=k-(k-1)=const=1 (k=1,2, n)X(0)(tk)={X(0)(tl),X(0)(t2),...X(0)(tn)} (2)其中：Atk=tk-(tk-l)主const=l (k=1,2 ,n )根据文献［6, 12］可将以上等时距和非等时距 序列的一次累加生成算式看作原数据序列关于时间间隔的加权累加，对于等时距 序列，其权值为常数1：X(1)(k)=X(0)(1)x 1+X(0)(2)x 1+ +X(0)(n)x 1k=ZX(0)(i)(3)i=1对于非等时距序列，其权值为Atk：X(1)(tk)=X(0)(t1) x At1+X(0)(t2) x At2+ +Xk(0)(tk) x Atk=ZX(0)(ti)xAti(4)i=1因此，等时距、非等时距时间序列的一次累加可写成 更一般的累加生成算式：X(tk)=》X(O)(ti)xAti(5)⑴i=1k2灰色GM(1,1)模型的建模原理灰色理论的主要思想是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列，利用生成数列建立灰色方程，求解灰参数， 然后计算模型的预测数据序列。

累加生成是灰色建模中最常用的生成方法，原始 数据序列经一次或以上累加生成之后，弱化了原始数据的随机性，使生成数列具 有近似的指数规律［10, 11］这里仅讨论已经得到广泛应用的一阶一个变量的灰色 模型，即GM(1,1)模型，分别设等时距序列数据X和非等时距序列X(0)据灰色理论，累加生成序列X(tk)呈现指数函数变化规律，因此满足白化模式的微分方程(白化模型)：(1)dX⑴+aXW=u (6) dt其中：a为发展系数，u为灰作用量解微分方程得到白化模型的响应式：八(l)(t)=(X(0)(t)-u)e-a(tk-t1)+u(7)Xk1aa原数据序列在累加生成时经过了加权处理，因此在一 次累减时需做相应还原，即可求得原序列的预测拟合值:(0)(k)(tk)：X(0)(k)={X(0)(1),X(0)(2),・・・X(0)(n)}(1)八(0)(t)=X(0)(t) (X11(k=2,3, ,n) (8)I X(tk)= t-tkk-1 I白化响应式(7)为一非线性指数函数表达式，含有未 知灰参数a和u也即满足：(1)(1)2八(X(t)-X(t))=min (10)》kkk=ln八(l)(t)一次累减还原得X"(O)(t)也能与X(0)(t)则Xkkk无限接近。

将式(7)代入式(10)得3灰色GM(1,1)模型灰参数求解方法改进关于灰参数a、传统方法是根据GM(1,1)u的求解，模型的定义型(灰微分方程)[1, 2]求得：\ (X(0)(t)-u)e-a(t-t)+u-X(1)(t)l =min ( 11)单1k\ aaJ k=1Lnk1X(0)(tk)+aZ(1)(tk)=u (9)(Z(1)(k)=0.5x (XW( tk)+X tk-1)I k其中：I (1)(0)X(tk)=ZX(ti) Ii=1 I式(9)为一线性方程，数据序列X(0)关于灰参数a、u的求解，就由式(9)的线性最小二乘转变为非线性的最小二乘问题笔者借助MATLAB软件，编写小程序，并调 用其优化工具箱中“最小二乘非线性数据拟合”函数Tsqcurvefit”，通过设置最大迭 代次数、终止条件等参数，求得灰参数a、u,进而代入式(7)求得累加生成序 列和原始序列的预测拟八和值X(1)八和X(0)(tk),试验显示利用该方法预测拟合(tk)、Z(1)(tk)为原始序列与其他方法相比，预测精度更高已知数列，可采用线性最小二乘法求得a、u式(9)对等时距序列有非常高的预测拟合精度，一般都能满足要求，而对非等时距序列 并不适合，原因是背景值4实例分析为了便于比较，本文采用文献［6, 14］中给出的关于钛合金疲劳强度随温度的变化 数据(见表1),分别与以上两种计算方法得出的结果进行比较。

为了便于计算，将原始温度数据作如下处理：T = 50+50t，根据灰色理论关于级 比的定义要求，无需对本组疲劳强度数据进行处理，计算结果更佳，变换后数据 见表2利用变换后数据求解灰参数a=0.048975, u=592.485512建立模型为：Z(1)(tk)的计算方法存在一定偏差，有些学者从建模原理出发，采用各种方法改进背景值Z(1)(tk),使得预测精度得到一定提高，但是方法一般较为复杂根据文献［13］采用拉格朗日中值定 理对式(6)的分析与证明发现，用背景值Z (X(1)(1) k(t)近似代替X(l(t)g)本文所建模型与文献［6］［14］的相对误差对比如表3所示1) 误差，即使采用各种方法改进背景值Z(tk),也只能 用原始数据或变换后的数据所建模型的平均相对 从一定程度上降低误差，而不能消除误差误差、精度、后验差、小误差概率、 模型等级如表4所示八(0)(t)二aZ山(t)+u与既然将式(9) Xkk由表4可以看出，本文和文献6提出的非等间距GM(1,1)模型的建模方法与文献 6相比精度有明显提X(0)(tk)拟合，采用线性最小二乘法求a、u存在误 高，模型等级均达到一级，但是，从平均相对误差、 差，而且受时间间距的限制，能否寻找其它方法直接精度和后验差3个因子进行 比较，本文方法又优于文献求a、u呢？经分析发现，如果白化模型的响应式(7) 6提出的方法。

八(l)(t)能无限接近原一次累加生成序列X⑴(t)，中Xkk讥I 诚2=11(tk- l)

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