新高考数学一轮复习第8章 第10讲 高考难点突破二 圆锥曲线的综合问题（定值问题） (精讲）（教师版）.doc
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第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题）(精讲）目录题型一：椭圆中的定值问题角度1：椭圆中的定值问题角度2：椭圆中的定直线问题题型二：双曲线中的定值问题角度1：双曲线中的定值问题角度2：双曲线中的定直线问题题型三：抛物线中的定值问题角度1：抛物线中的定值问题角度2：抛物线中的定直线问题题型一：椭圆中的定值问题角度1：椭圆中的定值问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程；(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.【答案】(1)(2)为定值4，证明见解析(1)当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.(2)由（1）知，,设直线，,，联立整理得，由得，，,，故为定值4.例题2．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)证明见解析，定值为(1)解：圆的圆心为，半径，由点在的垂直平分线上，得，所以，所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，所以，，，所以的方程为；(2)证明：①当直线的斜率不存在时，易知，②当直线的斜率存在时，设：，，，则把代入得，显然，有，，，所以，综上所述，为定值．例题3．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是直线上的一动点(的纵坐标不为零且不在椭圆上)，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为，直线与轴的交点为，且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，则，解得，所以椭圆E的方程为..(2)证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组消去y，整理得.则，因为，所以，.同理可得.因为且，所以，则直线MN的方程为，令，得.则.例题4．（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设经过点且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点，点，．若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．【答案】(1)(2)(1)由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．(2)由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．同类题型归类练1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.(1)求的方程；(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，所以，① 因为的右焦点为，所以，②联立①②可得，，所以的方程为.(2)证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，所以. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立与，得，设，，则，，恒成立， 由题可知，，则的方程为，①的方程为，②②－①得， 因为，所以 ，所以，所以，所以的横坐标为， 又，，所以为垂直平分线上一点，所以.综上，.2．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由见解析(1)因为焦距，所以，因为离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)当直线l斜率为0，即为x轴时，则，所以；当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，将直线l与椭圆联立，消x整理得，所以，，所以，，所以.综上所述：为定值0.3．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：依题意，解得，所以椭圆方程为；(2)解：由（1）可知，当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，不妨设此时，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以；当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得，依题意，，设，，则，，又直线的方程为，令，得点的纵坐标为，即，同理，得，所以，综上可得，为定值，定值为．4．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：由题意可得，，，解得，所以椭圆的方程为：；(2)解：设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线与的交点，所以，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，可得，，即，因为，直线的方程为：，联立，解得：，由题意可得，所以，，所以，即，所以，即为定值；角度2：椭圆中的定直线问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．(1)若直线的斜率为3，求的值．(2)过点且与轴垂直的直线交直线于点，探究：点是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点G在定直线上，该直线的方程为x＝4(1)设，，依题意，，直线l：y＝3x－6，联立，消去y整理得：，，则，，故．(2)由题易知直线l不与y轴垂直，设直线MN的方程为x＝my＋2，联立，消去x整理得：，，则，，得．由，可知点E的坐标为，则直线EN的方程为，①，直线的方程为，②（根据点G是直线与直线EN的交点，联立方程求解即可）联立①②可得，，故点G在定直线上，该直线的方程为x＝4．例题2．（2022·全国·高三专题练习）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点任作一动直线交椭圆与两点，记，若在直线上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，（1）解：由题可知：，所以，因为的周长为，所以，即，所以，所以椭圆的方程为；（2）解：依题可知：直线的斜率存在，设方程为，，所以，所以，，由，设，由，所以，所以.所以点是在直线上运动.例题3．（2022·广西·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心（高的交点），若存在，求出直线的方程：若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在：(1)因为焦距为4，所以，即，又过点，所以，又，联立求得，所以椭圆C的方程为(2)由（1）可得，所以，因为F为垂心，直线BF与直线l垂直，所以，则，即直线l的斜率为1，设直线l的方程为，，与椭圆联立得，，所以，因为F为垂心，所以直线BN与直线MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又时，直线l过点B，不符合题意，所以，所以存在直线l：，满足题意.同类题型归类练1．（2022·广东广州·高二期末）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，方程为，或，或，或．(1)解：由题意可得， 解得， 故椭圆方程为．(2)解：设直线为，设，，因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以． 联立直线与椭圆的方程，得，所以，，， ，所以，得． 存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下： 四边形为平行四边形，则点，点在椭圆上，则 因为，， 所以，即， 当，时，满足，所以直线的方程为或或或．2．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．(1)若直线垂直于轴，求线段的长；(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．【答案】(1)3(2)(3)、或(1)因为，令，得，所以，所以(2)设直线，，不妨设，由得， ，，， ，令，则，，记，可得在上单调递增所以当且仅当时取到，即面积的最大值为；(3)①当直线不与x轴重合时，设直线，，中点为．由得，，，因为的重心在y轴上，所以，所以，又，，因为，所以 ,故直线，所以，从而， 代入得，所以，或．② 当直线与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时．综上，，或．3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直。
