线性代数性质定理公式全总结.docx

概念、性质、定理、公式必须清楚,如可逆r(A) = nA的列(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax = o只有零解 u> Vx o, Ax o 网卫°0< Ve R〃，Ar =0总有唯一解AM是正定矩阵A = EA = p p ••• p 〃是初等阵 1 2 s i、存在〃阶矩阵8,使得AB = E或AB = E@：全体〃维实向量构成的集合R 〃叫做〃维向量空间.'A不可逆r(A) < n|A| = 0 <^>< A的列(行)向量线性相关0是A的特征值、必=有非零解，其基础解系即为A关于人=0的特征向量r(aE + bA) < ngi \aE + bA\ = o <^> < (aE + bA)x = o有非零解X=-ttl b向量组等价、:艾：「 反身性、对称性、传递性矩阵相似(：)矩阵合同(；)，V关于e 1 2 n解法必须熟练，计算必须准确① 称为i n的标准基，i n中的自然基，单位坐标向量p教材87③|匕,e2,...,e | = 1 ；...n④ trE=n ；aaLaii12L1naaa21222 nMMMaaLan1n2nn行列式的定义I D =n⑤任意一个n维向量都可以用ei, e2,…,e线性表示.=Z (-1)t(jij2l jn)a a L a, 1 j1 2 j2 njnj1j2L jnV行列式的计算:①行列式按行（列）展开定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零②若A与8都是方阵（不必同阶），则AOA*OBOBOA*ABOBO=(―1)mn |w| 81（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.*aOa1n1naa2 n-1=2 n - 1NNaOaO④关于副对角线:n1n1=(-1) ^-) a a K a1n 2n n1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）11L1xxLx12LnX 2x2x212nMMMXn-1Xn-1LXn-112nn⑤范德蒙德行列式:1< j

r(A) v n ；m维列向量组a1,a2,…,a线性无关o r(A) = n.⑨ 若a , a , ..., a线性无关，而a , a , ..., a , p线性相关，则&可由a, a , ..., a线性表示，且表示法唯一.1 2 n 1 2 n 1 2 n⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵I可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为|行最简形矩阵矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.v矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等@变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵Q乘A ；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r .记作r(A) = r向量组的秩|向量组a ,a ,L ,a的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作r(a ,a ,L ,a ) 1 2 n 1 2 n矩阵等价I A经过有限次初等变换化为B.记作：A % B向量组等价a ,a ,...,a和p , p ,..., p可以相互线性表示.记作：(a ,a ,-,a )%(p , p ,…,p ) 1 2 n 12 n 1 2 n 1 2 n⑫矩阵A与B等价o PAQ = B ,P,Q可逆o r(A) = r(B), A,B为同型矩阵 冷A,B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价o r(a ,a ,…，a ) = r(P , P ,…，P ) = r(a ,a ,・・・a , P , P ,…，P ) n1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n矩阵A与B等价.⑬ 向量组P , P ,…，P可由向量组a ,a ,…,a线性表示o AX = B有解o r(a ,a ,…,a )= r(a ,a ,・・・a , P , P ,…，P ) n r(P , P ,…，P ) w r(a ,a ,…,a ).1 2 s 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 s 1 2 s 1 2 n⑭向量组P , P ,…，P可由向量组a ,a ,…,a线性表示，且s > n，则P , P ,…，P线性相关. 12 s 12 n 12 s向量组P , P ,…，P线性无关,且可由a ,a ,…,a线性表示，则s W n . 12 s 12 n⑮ 向量组P ,P ,…，P可由向量组a ,a ,...,a线性表示，且r(P ,P ,…，P ) = r(a ,a ,...,a )，则两向量组等价；p 1 2 s 1 2 n 1 2 s 1 2 n "教材 94,例 10⑯任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑰向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定⑱若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.⑲ 设A是m X n矩阵，若r(A) = m, A的行向量线性无关；若r(A) = n , A的列向量线性无关，即：a『a2,…,a〃线性无关.V矩阵的秩的性质：p①若人主 O o r (A) N1 若A = O o r (A) = 0 0 W r (A ) W min(m, n) ② r (A) = r ( At ) = r ( At A) 教材 101,例15③ r(kA) = r(A)若k 丰 0④ 若A , B ,若 r (AB) = 0 nr(A) + r(B) < n8的列向量全部是火=0的解⑤ r(AB) W min {r(A), r(B)}若A可逆=^> r(AB) = r(B)。