平面与平面垂直的判定.ppt

2．3.2 平面与平面垂直的判定• 要点一定义法判定平面与平面垂直 • 利用两个平面互相垂直的定义可以直接判 定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出 两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面 角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相 垂直．• 【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a， • ∴△ABD与△BCD是等腰三角形， • ∴取BD的中点E，连结AE、CE，则 AE⊥BD，BD⊥CE. • ∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．• AC＝a， • ∴AC2＝AE2＋CE2， • ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°， • 即二面角A－BD－C的平面角为90°. • ∴平面ABD⊥平面BCD.• 【规律方法】 利用定义证两平面垂直的 基本思路是作出二面角的平面角，计算二 面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等 边三角形构成的几何体．• 变式1 如图，过S点引三条长度相等但不 共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC ＝60°，∠BSC＝90°. • 求证：平面ABC⊥平面BSC.• 证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC， ∠ASB＝∠ASC＝60°， • 可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD， • 则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角 A－BC－S的平面角，• 要点二面面垂直的判定定理的应用 • 利用面面垂直的判定定理．具体作法是在 其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的 直线．• 例2 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥ 平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点．求证： • (1)DE＝DA； • (2)平面BDM⊥平面ECA； • (3)平面DEA⊥平面ECA.• 【分析】 由题目可获取以下主要信息： • ①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC； • ②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD， ME＝MA. • 解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注 意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明 平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．• 【证明】 (1)如图所示，取EC的中点F， 连接DF.• 【规律方法】 证明平面与平面垂直的方 法有两个： • (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角 ； • (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线，则两个平 面互相垂直．• 变式2 (2010年高考课标 全国卷)如图，已知 四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形， AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱 锥的高．• 解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的 高，所以AC⊥PH. • 又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且 PH∩BD＝H， • 所以AC⊥平面PBD. • 又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.• 要点三简单的二面角的求法 • 求二面角的大小关键是作出二面角，作二 面角的平面角的方法． • 法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点 ，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 ．• 如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角 ．• 法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该 平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交 线所成的角，即为二面角的平面角． • 如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． • 法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一 个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂 直可找到二面角的平面角或其补角． • 如图③，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．• (2)证明：由(1)知，PD⊥平面ABCD， • ∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形， • ∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D， • ∴AC⊥平面PDB. • 同时，AC⊂平面PAC， • ∴平面PAC⊥平面PBD.• (3)由(1)知PD⊥BC， • 又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC， • ∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的 平面角． • 在直角△PCD中，PD＝CD＝a， • ∴∠PCD＝45°. • ∴二面角P－BC－D的平面角为45°.• 【规律方法】 立体几何的计算并非单纯 的数字计算，而是与作图和证明相结合的 ．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为 画—证—算三步．“画”是画图，添加必要的 辅助线，或画出所要求的几何量，或进行 必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法 证明你所画的几何量即为所求，然后进行 最后一步计算．• 解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°， ∴SA⊥AC，SA⊥AB. • 又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC， ∴SA⊥BC. • 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. • 又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC， ∴SC⊥BC.。