大学物理第六章-机械振动教材.ppt

第六章 机械振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体在某一中心位置附近来回往复的运 动. 简谐运动 最简单、最基本的振动. 简谐运动复杂振动 合成 分解 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或 角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化 6-1 简谐振动 1.弹簧振子 弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一 个不发生形变的物体系统 简谐振动的特征及其表达式 回复力：作简谐运 动的质点所受的沿 位移方向的合外力, 该力与位移成正比 且反向 简谐振动的动力学特征: 据牛顿第二定律，得 令 运动学特征 或 位移 之解可写为： 或 简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化 速度 加速度 简谐振动的特征及其表达式 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: 简谐振动的特征及其表达式 常量 和 的确定 根据初始条件： 时， , ，得 在 到 之间，通常 存在两个值，可根据 进行取舍 取 已知 求 讨论 6.2 简谐振动的振幅、周期和相位 (1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。

由初始条件确定 (2)周期和频率 周期：物体作一次完全运动所经历的时间 频率：单位时间内物体所作完全运动的次数 角频率: 物体在 秒内所作的完全运动的次数 对于弹簧振子，因有 ，得: 利用上述关系式，得谐振动表达式： (3)相位和初相 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 )cos( 0 jw+=tAx 1） 存在一一对应的关系; 2）相位在 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性） 相位 ：决定简谐运动状态的物理量 初相位 ：t =0 时的相位描述质点初始时刻的运动状态. 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动. 当 时 时 6.3 简谐振动的矢量表示法 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动. 时 简谐振动的矢量图示法 振动相位 逆时针方向 ω M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律： 的长度 旋转的角速度 旋转的方向 与参考方向x 的夹角 XO M P x 振幅A 振动圆频率 简谐振动的矢量图示法 用旋转矢量图画简谐运动的 图 讨论 相位差：表示两个相位之差 . 用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。

1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间 二者的相位差为： 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们 间步调上的差异. 采用旋转矢量直观表示为： 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 讨论: (a)当 时,称两个振动为同相； 同步 (b)当 时,称两个振动为反相； 反相 (d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 (c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ； 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 为其它 超前 落后 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相 位比位移的相位超前 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于 简谐振动的位移、速度和加速度，存在: 例6-1 一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s当 t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动求:(1)简谐振动 表达式；(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从 x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。

解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 其中A=0.12m, T=2s, 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得 据初始条件 得 简谐振动的矢量图示法 在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得 简谐振动的矢量图示法 (2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度； 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 因该时刻速度为负，应舍去 ， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为： 简谐振动的矢量图示法(3)物体从 x = - 0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间 ※ 几种常见的简谐振动 (1) 单摆 重物所受合外力矩： 据转动定律，得到 很小时(小于 )，可取 令 , 有 转角 的表达式可写为： 几种常见的简谐振动 (2) 复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 刚体的质心为C, 对过O 点的 转轴的转动惯量为J, O、C 两点间 距离的距离为l 所受合外力矩： 令 据转动定律，得 若 角度较小时 几种常见的简谐振动 例6-2 一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为 h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。

解: 船静止时浮力与重力平衡， 在任一位置时船 的位移用y 表示 几种常见的简谐振动 船的位移为y 时船所受合力为： 船在竖直方向作简谐振动 其角频率和周期为: 因 得: 几种常见的简谐振动 6.4 简谐振子的能量 动能 势能 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量 系统总的机械能： 考虑到 ，系统总能量为 ，表明 简谐振动的机械能守恒 简谐振动的能量 能量平均值 上述结果对任一谐振系统均成立 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 简谐振动的能量 6-5 简谐振动的合成 1.同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独立的 同频率的简谐振动，两个振动位移为： 合位移： 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律 旋转矢量图示法 同方向同频率的两个简谐振动的合成 ω 同方向同频率的两个简谐振动的合成 (1)当Df=f 2-f1=2kp (k=0及正负 整数)，cos(f2 -f1)=1, 有 同相迭加，合振幅最大 讨论： 同方向同频率的两个简谐振动的合成 (2)当Df=f 2-f1=(2k+1)p (k=0及正 负整数), cos(f2 - f1)=0, 有 反相迭加，合振幅最小。

当A1=A2 时，A=0 同方向同频率的两个简谐振动的合成 同方向同频率的两个简谐振动的合成 (3)通常情况下，合振幅介于 和 之间 一般情况 相位差 相位差 相互加强 相互削弱 2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化 两个简谐振动的频率 和 很接近，且 x = x1+ x2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍 因或有 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 的简谐函 数合振动可视为是角频率为 、振幅为 的简谐振动 或 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象 拍频:单位时间内强弱变化的次数 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍 拍频:单位时间内强弱变化的次数 振幅部分 拍频 同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍 相互垂直的简谐振动的合成 两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式 消时间参数，得 合运动一般是在 ( x 向)、 ( y 向)范围内的一 个椭圆。

椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2 确定之后,主要决定于 用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图 相互垂直的简谐振动的合成 (1) f2 - f1=0, 两个分振动同相位，得 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) f2 -f1 =p, 两个分运动反相位，得 几种特殊情况： (3) f2-f1=p/2，得 (4) f2 -f1 =3p/2，仍然得 几种特殊情况： 这是坐标轴为主轴的椭圆，质点 的轨迹是顺时针旋转 与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转 相互垂直的简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 几种特殊情况： Q P . 相互垂直的简谐振动的合成 方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 • 两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而Df 随t 缓慢变化，合运动 轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形 -A2 y x A1 A2 O - A1 • 两振动的频率成整数比 相互垂直的简谐振动的合成 1:21:32:3 几幅典型的利萨如图形 相互垂直的简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 6-6 阻尼振动 受迫振动 共振 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用 下所作的振动，称为无阻尼自由振动。

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动 阻尼：消耗振动系统能量的原因 阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼 摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能； 辐射阻尼：由于振动系统引起临近质点的振动，使振动 系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量； 对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速 度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示 为 ：阻力系数 在阻力作用下的弹簧振子 阻尼振动 受力： 运动方程: 引入 阻尼因子 固有频率 在小阻尼条件下 ，微分方程的解为: 其中 振幅 阻力弹性恢复力 其中 和 为积分常数,由初始条件决定上式 中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期 运动； 反映了阻尼对振幅的影响 减幅振动 其中 振幅 阻尼振动不是周期 性振动，更不是简谐振 动，因位移不是时间的 周期函数但阻尼振动 有某种重复性 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振 动的周期，有 由于阻尼，振动变慢了 阻尼振动的振幅为： 振幅随时间作指数衰减阻尼 大小决定了阻尼 振动振幅的衰减程度 阻尼振动 其中 振幅 减幅振动 阻尼振动的三种情形： 临界阻尼 过阻尼 欠阻尼 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 通过控制阻尼的 大小，以满足不同实 际需要。

阻尼振动 2.受迫振动 物体在周期性外力的持续作用下发生的振动 称为受迫振动 物体所受驱动力： 运动方程： 设 受 迫 振 动 对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为: 衰减项稳态项 经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项 稳态时振动物体速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供 能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相 等，则系统达到稳定振动状态 受 迫 振 动 2.共振 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大 根据 共振 位移共振 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大根据 共振 受迫振动速度在一定 条件下发生共振的的现象 称为速度共振 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以 认为等同 共振现象的危害 1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌 。