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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟206一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．问题:1. 设曲线由给出，则此曲线的拐点个数为 ．A.0B.1C.2D.3答案:C本题考查参数方程的求导，以及拐点的求法．属于慨念与计算结合的综合题． 由t∈(0，π)，sint≠0，令，所以，且经过时改变符号，故有两个拐点(±1，0)．答案选择(C)．问题:2. 若，则z= ．A.(x+y2)+CB.(x2+y2)2+CC.2(x+y)2D.2(x2+y2)2+C答案:B本题考查多元微分学的基本应用，是一道基本计算题． 由于，故z=x4+2x2y2+f(y)=(x2+y2)2+g(y)，其中，记g(y)=f(y)-y4；又由于，得g(y)=C，答案选择(B)．问题:3. 设，则 ． (A) (B) (C) (D) 0 答案:A本题考查多元微分法，是一道基础计算题． 故 问题:4. 下列关于反常积分的四个命题： ①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则必收敛，且 ②设f(x)是(-∞，+∞)上连续，且存在，则必收敛，且 ③若都发散，则未必发散 ④若都发散，则未必发散 正确的命题个数为 ． A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A讨论一个反常积分时，要求其区间上的奇点(瑕点和无穷大)个数有且仅有一个，这是一个基本问题，于是，对于反常积分，其收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分都收敛，定义 设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且．但是=，故发散，这表叫命题①，②，④都不正确． 设f(x)=xg(x)=-x，由上面讨论可知都发散，但+g(x)]dx收敛，这表明命题③是正确的．故答案选择(A)．问题:5. 若α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且四阶行列式|α1，α2，α3，β1|=m，|α1，α2，β2，α3|=n．其中m＞0，n＞0，m≠n，则四阶行列式|α3，α2，α1，(β1+β2)|等于 ．A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n答案:C本题考查线性代数的基本工具：行列式与矩阵的基本运算，是一道基础题． 由于|α3，α2，α1，(β1+β2)=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|，且 |α3，α2，α1，(β1+β2)|=-|α1，α2，α3，β1|-|α1，α2，α3，β2| =-m+|α1，α2，β1，α3|=n-m 因而选择(C)． 问题:6. 给出以下三个二次型， ① ② ③ 正定二次型的个数为 ． A.0个B.1个C.2个D.3个答案:B本题考查二次型的正定的判别，是一道基础题，不过计算量不小． 二次型f1的矩阵为，A的各阶顺序全子式 所以二次型f1是负定二次型． 二次型f2的矩阵为，A的各阶顺序主子式 所以二次型f2是正定二次型． 二次型f3的矩阵为，A的各阶顺序主子式 所以二次型f3是不定二次型． 问题:7. 设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则U和V ．A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零答案:D本题是考查数字特征的计算与性质的基础题． 因X和Y同分布，所以E(U)=E(X)-E(Y)=0，E(U)E(V)=0． E(UV)=E(X2)-E(Y2)=0． 故cov(X，Y)=E(UV)-E(U)E(V)=0．选择(D)． 问题:8. 设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有 ．A.P(|X-C|≥ε)≤DX/ε2B.P(|X-C|≥ε)=E|X-C|/εC.P(|X-C|≥ε)≥E|X-C|/εD.P(|X-C|≥ε)≤E|X-C|/ε答案:D本题考查连续型随机变量的概率计算，是一道中等难度的基础题． 故答案选择(C)． 二、填空题问题:1. =______．答案:．本题考查极限的基本计算，涉及变限积分的换元法和求导等知识点，是一道具有一定综合性的基础题． 问题:2. 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6米/秒，问在2秒末扰动水面面积的增大率为______米2/秒．答案:144π．本题考查导数的基本应用，是一道基础题． 设在t时刻最外圈波的半径为r(t)，扰动水面面积为s(t)，则s(t)=πr2(t)，故s'(t)=2πr(t)r'(t)，由题知r'(t)=6，r(t)=6t，所以s'(2)=2πr(2)·6=144π(米2/秒)． 问题:3. 设A＞0，AC-B2＞0，则在条件x2+y2=1下，函数z=Ax2+2Bxy+Cy2的最大值与最小值之和为______．答案:A+C．本题考查多元函数的条件最值问题，是一道计算量较大的综合题．如果考生基础雄厚，还可以用线性代数中二次型的相关理论解决本题，见题后点评． 设辅助函数F(x，y，λ)=Ax2+2Bxy+Cy2+λ(x2+y2-1)，则令则 对于该方程组，(1)·x+(2)·y，得到Ax2+2Bxy+Cy2+λ=0，即，z+λ=0，只要求出λ，即可得到z的最值． 又(1)、(2)式可化为是关于x，y的线性齐次方程组，由于x2+y2=1,该齐次方程组有非零解，则,两根之和λ1+λ2=-(A+C)，即最大值与最小值之和为A+C．问题:4. 某商品市场价格p=p(t)随时间变化，且p(0)=p0．而需求函数QA=b-ap(a，b＞0)．供给函数QB=-d+cp(c，d＞0)且p随时间变化率与超额需求(QA-QB)成正比．则价格函数p(t)=______．答案:．本题考查微积分的经济应用，涉及导数和微分方程的求解，是一道有一定计算量的中等难度题． 由题设，即， 问题:5. 若a1=(1，3，4，-2)T，a2=(2，1，3，t)T，a3=(3，-1，2，0)T线性相关，则t=______．答案:-1．本题考查向量组的线性相关的判别，是一道基础题． 故6-2(t+4)=0，即t=-1． 问题:6. 设X服从参数λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则λ=______．答案:．本题考查泊松分布，需要考生记住泊松分布的公式并清楚知道参数λ的含义．泊松分布是考研常考点． ，则．舍去负值． 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 设f(x)在x=a的某邻域内可导，且f(a)≠0，求极限 答案:本题考查极限计算和导数定义，是一道概念和计算结合的综合题． 又 所以， 设f(x)在(-a，a)内连续，在x=0处可导，且2. 求证：对任意0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使 答案:本题考查拉格朗日中值定理的变体形式，并涉及一元微积分的多个知识点，是一道具有一定难度的综合题． 令，则F(0)=0，F(x)在[0，x]上可导，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得 3. 求极限．答案:将上式两边同除以2x2，得 又f'(0)存在，且f'(0)≠0．所以 故．问题:4. 设，讨论F(x)在区间(-∞，+∞)上零点的个数问题．答案:本题以积分定义的函数为研究对象，用导数工具研究函数性态，进而讨论零点个数的问题，是一道综合了微分学和积分学知识的有较大计算量的题目．历来考研试卷上，对于这类问题回答得都不好，是一种区分度较高的题目，请考生多加训练和总结． 记，则 故φ(x)为偶函数，所以F(x)为偶函数，于是我们只需讨论0≤x＜+∞上的性态即可． 当0≤x＜1时， 当1≤x＜+∞时， 且 F(x)在x=1处连续，所以在0≤x＜+∞上F(x)严格单调增加．又 所以F(x)在(0，+∞)内有且仅有1个零点，在(-∞，+∞)内有且仅有2个零点． 5. 若f(x)，g(x)在[a，b]上可积且平方可积，证明 答案:本题是一元积分学的综合题，计算量大，逻辑推理性强，是一道难题． 若g(x)=0，自然成立． 设g(x)≠0，则对于一切实数λ，均有，即 又由于，则关于λ的这个二次三项式的判别式必须有 结论成立． 6. 证明 答案:证明 由(1)得 问题:7. 计算，[x]表示不超过x的最大整数．答案:本题考查二重积分的精确定义法和计算，需要考生对于二重积分的基本概念和取整的方法掌握得比较扎实，是一道有新意的综合题． 由二重积分的定义，且，故 用将D划分为D1，D2，D3，D4． 在D1内，[2(x+y)]=0，在D2内，[2(x+y)]=1， 在D3内，[2(x+y)]=2，在D4内，[2(x+y)]=3． 则，故I=3．已知3维列向量组S1：α1，α2线性无关；S2：β1，β2线性无关．8. 证明存在非零向量ξ既可以由α1，α2线性表示，也可由β1，β2线性表示；答案:本题是考查向量组与方程组的综合题，计算量大，逻辑性强，是一道难度较高的题目，具有很好的区分度． 因4个三维向量必线性相关，使用定义，即存在不全为零的数k1，k2，k3，k4，使 k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0， k1，k2不能均为零，否则会有k3β1+k4β2=0，由β1，β2线性无关，则k3=k4=0，这与题设k1，k2，k3，k4不全为零矛盾，从而， 由k1，k2不全为零，α1，α2线性无关，有 0≠ξ≠k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2， 得证． 9. 设α1=(-1，2，3)T，α2=(1，-2，-4)T，β1=(-2，a．7)T，β2=(-1，2，5)T，求(Ⅰ)中的ξ．答案:事实上问题转化为求解方程组． 构造k1α1+k2α2+k3β1+k4α2=0，即 ① 其中， (*) 当a≠4时，根据(*)，r((α1 α2 β1 β2))=3知，方程组①有无穷多解，基础解系由4-3=1个非零解向量组成，故①的通解为(k1，k2，k3，k4)T=t(1，2，0，1)T，则所求 ξ=-k3β1-k4β2=0β1-tβ2=t(1，-2．-5)T， 其中t为任意非零常数． 当a=4时，根据(*)，r((α1 α2 β1 β2))=2知，方程组①有无穷多解，基础解系由4-2=2个线性无关的解向量组成，故①的通解为(k1，k2，k3，k4)T=(-t1+t2，t1+2t2，t1，t2)T，则所求 。