结构动力学第四章结构动力学的求解讲课文档.ppt

结构动力学第四章结构动力学的求解第一页，共五十页优选）结构动力学第四章结构动力学的求解第二页，共五十页齐齐次方程的解：令次方程的解：令得到得到讨论讨论特征特征值值和特征向量的性和特征向量的性质质： 1.满满足足则则（前乘特征向量的共（前乘特征向量的共轭转轭转置）置）可知可知都是都是实实数，取数，取化化为为（广义特征值问题）（广义特征值问题）第三页，共五十页1）当）当质质量矩量矩阵阵式正定、式正定、刚刚度矩度矩阵阵半正定半正定时时，可以找到非零的，可以找到非零的，满满足：足： 于是有：于是有： （2）当）当质质量矩量矩阵阵半正定半正定时时，则则可以改写可以改写为为由由解出得到解出得到纯纯静静态态模模态态, 有：有： （）加（）加权权正交性正交性质质：设设和和都是特征解都是特征解对对得到得到（模态质量和模态刚度）（模态质量和模态刚度）归归一化一化是是对对角元角元为为固有固有频频率率组组成的成的对对角矩角矩阵阵第四页，共五十页固有振固有振动动：单单模模态态振振动动多模多模态时态时：自由振自由振动时动时：模模态态坐坐标变换标变换得到：得到：解解为为：其中其中 第五页，共五十页对对于于给给定的初始条件定的初始条件和和，可得到，可得到 解出参数向量解出参数向量 系系统统的自由振的自由振动动可以写可以写为为 其中其中代表各自由度分代表各自由度分别别具有具有单单位初始位移和位初始位移和单单位初始速度引起的系位初始速度引起的系统统自由振自由振动动。

第六页，共五十页42 无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析（1 1）动刚度矩阵和频响函数矩阵考察受正弦激励的系统）动刚度矩阵和频响函数矩阵考察受正弦激励的系统取特解取特解 得到得到 式中式中 称作系称作系统统的的动刚动刚度矩度矩阵阵其中其中正是系正是系统统的位移的位移频频响函数矩响函数矩阵阵，它的元素，它的元素反映了在系反映了在系统统第第j j个自由度上施加个自由度上施加单单位正弦激励后第位正弦激励后第i i个自由度的个自由度的稳态稳态位移响位移响应应幅幅值值具有柔度系数的量纲，具有柔度系数的量纲，从而从而第七页，共五十页2 2）频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式利用固有振型关于利用固有振型关于质质量矩量矩阵阵和和刚刚度矩度矩阵阵的加的加权权正交性，正交性，对对式式动刚动刚度矩度矩阵阵左乘左乘和右乘和右乘得得 从而有从而有 求逆，得到求逆，得到频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式 频频响函数矩响函数矩阵阵的元素的元素为为模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：第八页，共五十页。

系系统统在在该频带该频带内呈内呈现单现单自由度系自由度系统统的振的振动动性性态态第九页，共五十页时域分析时域分析 根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应系统的响应可以是其中某一种或两种之初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应系统的响应可以是其中某一种或两种之线性组合研究下述微分方程的求解问题线性组合研究下述微分方程的求解问题（1 1）单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵应应用模用模态态坐坐标变换标变换 可可转换为转换为N N 个个单单自由度系自由度系统统的零状的零状态态响响应问题应问题 系系统统第第j j个自由度受个自由度受单单位脉冲后第位脉冲后第r r阶阶模模态态坐坐标标的响的响应为应为 第十页，共五十页解出解出 得系得系统统响响应为应为 注意注意这这是是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的第的第j j列，故列，故单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵为阵为 这这正是正是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的模的模态态展开式此外也可推出此外也可推出其中其中依次作用依次作用单单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵阵恰好就是恰好就是是各自由度有单位初速度引起的自由振动。

这里可以在各自由度上是各自由度有单位初速度引起的自由振动这里可以在各自由度上第十一页，共五十页2 2）任意激励下的响）任意激励下的响应应有了有了单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵，系，系统统受任意激励后的零状受任意激励后的零状态态响响应为应为 当考当考虑进虑进系系统统初始状初始状态对态对响响应应的的贡贡献献时时，系，系统统的响的响应为应为 上述上述过过程中程中对对无阻尼系无阻尼系统统用模用模态态坐坐标标解耦、分析、再解耦、分析、再线线性性组组合的方法来分析了合的方法来分析了系系统统的振的振动问题动问题该该方法一般称作振型叠加法（或模方法一般称作振型叠加法（或模态态叠加法），是叠加法），是处处理理线线性振性振动动问题问题的通用工具的通用工具第十二页，共五十页无阻尼振动系统无阻尼振动系统 实质实质：线线性常微分方程性常微分方程组组的求解的求解 通解通解 = = 齐齐次解次解 + + 特解特解 再根据初始条件确定待定系数再根据初始条件确定待定系数1 1）实实模模态态：频频率和模率和模态态向量全是向量全是实实的；的；（刚刚体模体模态态、纯纯静静态态模模态态）2 2）模）模态态的加的加权权正交性正交性质质；3 3）模）模态态叠加法，叠加法，实实在在对对系系统统的解耦；的解耦；4 4）频频响函数：响函数：第十三页，共五十页。

圆板的第阶模态圆板的第阶模态第十四页，共五十页圆顶的第阶模态圆顶的第阶模态第十五页，共五十页方盒的第阶模态方盒的第阶模态第十六页，共五十页43比例阻尼系统的振动比例阻尼系统的振动引入坐引入坐标变换标变换 得到得到其中其中 阻尼矩阻尼矩阵阵可以可以对对角化角化时时，称，称为为比例阻尼矩比例阻尼矩阵阵第十七页，共五十页Rayleigh Rayleigh 阻尼阻尼CauchyCauchy阻尼阻尼阻尼模型阻尼模型可使阻尼可使阻尼阵对阵对角化的充分条件是正定矩角化的充分条件是正定矩阵阵和和满满足下述三式之一足下述三式之一第十八页，共五十页 解耦后得到：解耦后得到： 自由振动自由振动得到得到 N N 个独立模个独立模态态坐坐标标下的运下的运动动 其中其中第十九页，共五十页写作矩写作矩阵阵形式形式 得到物理坐得到物理坐标标下系下系统统的自由振的自由振动动 其中其中 如果比例阻尼系如果比例阻尼系统统的初始条件的初始条件满满足足 其自由振其自由振动动将是衰减振将是衰减振动动 称称为为第第r r阶纯阶纯模模态态自由振自由振动动第二十页，共五十页受迫振动受迫振动（1 1）频响函数矩阵）频响函数矩阵 采用复数记法表激励及稳态响应，为采用复数记法表激励及稳态响应，为 代入阻尼系代入阻尼系统统的振的振动动方程，有方程，有 阻尼系阻尼系统统的的频频响函数矩响函数矩阵为阵为其中元素其中元素是复数，其幅是复数，其幅值值施加施加单单位幅位幅值值正弦激励后系正弦激励后系统统第第i i个自由度上的个自由度上的稳态稳态响响应应幅幅值值；而；而辐辐角角的物理意的物理意义义是上述响是上述响应应超前激励的相位角。

超前激励的相位角的物理意义是：在系统的第的物理意义是：在系统的第j个自由度上个自由度上第二十一页，共五十页将固有振型矩将固有振型矩阵阵和和分分别别左乘、右乘左乘、右乘动刚动刚度矩度矩阵阵得到得到单位脉冲响应单位脉冲响应系统单位脉冲响应矩阵的模态展开式系统单位脉冲响应矩阵的模态展开式 重新写重新写为为： 其中其中是比例阻尼系是比例阻尼系统统由由单单位初速度引起的自由振位初速度引起的自由振动动矩矩阵阵任意激励下的响应任意激励下的响应系统在任意初始条件和激励下的响应表达式为系统在任意初始条件和激励下的响应表达式为 第二十二页，共五十页比例阻尼振动系统比例阻尼振动系统 1 1）实模态：复频率和实模态向量；）实模态：复频率和实模态向量； 2 2）模态的加权正交性质；）模态的加权正交性质； 3 3）模态叠加法，在实模态空间实现对系统的解耦；）模态叠加法，在实模态空间实现对系统的解耦； 4 4）频响函数：）频响函数：）衰减振动）衰减振动第二十三页，共五十页44一般粘性阻尼系统的振动一般粘性阻尼系统的振动其中其中、和和均均为为 N 阶阶的的对对称矩称矩阵阵 自由振自由振动时动时，设设解的形式解的形式为为a. a. 特征特征值值可以是可以是实实数，也可以是复数。

数，也可以是复数实实特征特征值对应临值对应临界阻尼或界阻尼或过过阻尼系阻尼系统统b. b. 与共与共轭轭复特征复特征值值相相对应对应，特征向量是共，特征向量是共轭轭成成对对的复特征向量，它的复特征向量，它们们各自只能确定到相各自只能确定到相差一个复常数因子的程度差一个复常数因子的程度系统的运动：系统的运动： 把特征值改写为：把特征值改写为：则则系系统统可能可能发发生的运生的运动为动为第二十四页，共五十页可改写可改写为为 特征：各点的振动有相位差无阻尼或比例阻尼时，系统各点同时到达幅值最大特征：各点的振动有相位差无阻尼或比例阻尼时，系统各点同时到达幅值最大点；一般阻尼时，不是同时到达点；一般阻尼时，不是同时到达第二十五页，共五十页直观上观察，可以从固有振动的实验看到，形成的节线的粗细，其实和阻尼直观上观察，可以从固有振动的实验看到，形成的节线的粗细，其实和阻尼的大小有关例如一仪器架的共振实验：的大小有关例如一仪器架的共振实验： 阻尼很小时阻尼很小时阻尼略大时阻尼略大时第二十六页，共五十页求解时的问题：由于不满足阻尼矩阵的对角化条件，所以无法利用无阻尼求解时的问题：由于不满足阻尼矩阵的对角化条件，所以无法利用无阻尼状态时的特征解对方程进行解耦。

状态时的特征解对方程进行解耦引入状态空间，状态空间向量为：引入状态空间，状态空间向量为：原方程化原方程化为为：其中其中特征方程特征方程为为：特征向量特征向量 记为记为：第二十七页，共五十页特征向量之特征向量之间间具有下述加具有下述加权权正交关系：正交关系： 和特征和特征值值之之间间的关系的关系为为：回到物理空回到物理空间间中，中，则则加加权权正交关系正交关系为为引入引入线线性性变换变换得到得到2 2N N个解耦的一个解耦的一阶阶微分方程微分方程组组初始条件初始条件则为则为第二十八页，共五十页系系统统的自由振的自由振动动 由物理坐由物理坐标标描述的自由振描述的自由振动动系系统统的的单单位初位移响位初位移响应应和和单单位初速度响位初速度响应应矩矩阵应阵应定定义为义为 受迫振动受迫振动第二十九页，共五十页1 1）脉冲响）脉冲响应应矩矩阵阵先考先考虑虑初始静止系初始静止系统统，若其第，若其第j j个自由度在个自由度在时时刻受到刻受到单单位冲量，位冲量，则则后系后系统统的初始条件的初始条件为为其中其中系系统统的自由振的自由振动为动为这这是是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的第的第j j列，于是列，于是单单位脉冲响位脉冲响应应矩矩阵阵的模的模态态展开式展开式为为第三十页，共五十页。

2 2）频频响函数矩响函数矩阵阵 一般阻尼系一般阻尼系统统的的频频响函数矩响函数矩阵阵仍仍为为 频频响函数矩响函数矩阵阵的模的模态态展开式展开式（3 3）任意激励下的响）任意激励下的响应应第三十一页，共五十页注意到：注意到： 于是于是第三十二页，共五十页一般粘性阻尼振一般粘性阻尼振动动系系统统 1 1）复模）复模态态：频频率和模率和模态态向量都是复的；向量都是复的；2 2）复模）复模态态的加的加权权正交性正交性质质；3 3）复模）复模态态叠加法，在状叠加法，在状态态空空间间通通过过复模复模态变换实现对态变换实现对系系统统的解耦；的解耦；4 4）频频响函数：响函数：）衰减振动衰减振动第三十三页，共五十页4.5 4.5 数值计算方法数值计算方法固有振动的分析（归结为特征问题的求解）固有振动的分析（归结为特征问题的。