大学物理第九章振动.doc

第九章 振动物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动1. 弹簧振子质量为 m 的物体系于一端固定的轻弹簧 (弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计 )的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子如将弹簧振子水平放置，如图 9-1 所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置 O 就是其平衡位置。

在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零之后物体又将在弹性力的作用下向右运动在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置 O 为中心，在与 O 点等距离的两边作往复运动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述方法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成图中,取物体的平衡位置 O 为坐标原点，物体的运动轨迹为 x 轴，向右为正方向在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性力 Ｆ 与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移 x 成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置即Ｆ ＝－kx式中 k 是弹簧的劲度系数,它由弹簧本身的性质(材料、形状、大小等 )所决定，负号表示力与位移的方向相反根据牛顿第二定律 F = ma 和 a = ，物体的加速度为2dt即　 　　　　 　　 （9-1）2kxam20xkmt对于一个给定的弹簧振子，k 与 m 都是常量，而且都是正值，故我们可令（9-2 ）2ω代入上式得　 　 　　　　 　　　 　　　　　 （9-3）20dxt这一微分方程的解是（9-4）cosAtφ　式中 是积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。

由上式可知，弹簧振子运动Aφ　时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运动称为简谐振动根据速度和加速度的定义，将（9-4）分别对时间求一阶导和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度：（9-4 a） 　　　　　　　　　　　 sindxv=ωAtφt　（9-4b）22coa　上述各式中，（9-3）揭示了简谐振动中的受力特点，故称之为简谐振动的动力学方程，而（9-4 ）反映的是简谐振动的运动规律，故称为简谐振动的运动学方程2 . 单摆如图 9-2 所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端悬挂一个体积很小质量为 m 的重物细线静止地处于铅直位置时，重物在其平衡位置 O 处把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位置附近来回摆动, 这种装置称为单摆设在某时刻, 单摆的摆线与竖直方向的夹角为 θ ，忽略一切阻力时，重物受到重力 G 和线的拉力 T 作用。

重力的切向分量 决定重物沿圆周的切向运动设摆线长为 l，沿逆时mgsinθ针方向转过的 θ 为正，根据牛顿运动定律得 2sindθmglt　当 θ 很小时， ≈ θ，所以 sin20gdθtl　式中令 与式（9-3）相比较可知 , 单摆在摆角很小时的振动是简谐振动2gωl3．复摆一个可绕固定轴 O 转动的刚体称为复摆如图 9-3 所示平衡时，摆的重心 C 在轴的正下方，摆动到任意时刻 , 重心与轴的连线 OC 偏离竖直位置一个微小角度 θ ，我们规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正设复摆对轴 O 的转动惯量为 J，复摆的质心 C 到 O 的距离 OC=h复摆在角度 θ 处受到的重力矩为 M = －mgh sin θ , 当摆角很小时，，所以 M = －mgθ h，由转动定律得sinθ2dmgJt20mghdθJt　式中令 ，与式（9-3）相比较可知, 复摆在摆角很小时的振动是简谐振动2lω例 9-1. 一远洋海轮，质量为 Ｍ ，浮在水面时其水平截面积为 Ｓ 设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图 9-4 所示试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。

解 选择 Ｃ 点代表船体当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即F = ρgSh = Mg 式中 ρ 是水的密度，h 是船体 Ｃ 以下的平均深度取竖直向下的坐标轴为y轴，坐标原点 Ｏ 与 Ｃ 点在水面处重合设船上下振动的任一瞬时，船的位置即 Ｃ 点的坐标为y（y即是船相对水面的位移，可正可负），此时船所受浮力= ρgS (h+g)则作用在船上的合力 FMρSy由 得：Σ=2dt2yρgS　即 0dMt式中M 、 S、 、 g皆为正，故可令 ，ρ2ρgSωM则 02dyt可见，描写船位置的物理量y满足简谐振动的动力学方程，故船在水中所作的小幅度的竖直自由振动是简谐振动作简谐振动的物体，通常称为谐振子这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统即简谐振动是一种理想的运动过程严格的简谐振动是不存在的，但对处于稳定平衡的系统，当它对平衡状态发生一微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小而可以忽略时，就可以近似地看作是简谐振动因此，谐振子是一个重要的理想模型例 由电容 Ｃ 、电感 Ｌ 所组成的一个回路，如图9-5所示。

若给电容器充上一定的电荷 Ｑ ，在忽略阻力的情况下，就能形成在电路内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电场和电感线圈中的磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振荡进一步的定量研究表明，在无阻尼的电磁振荡过程中，电容器极板上的电荷 Ｑ和电路中的电流强度 I 皆满足式（ 9-3）的微分方程此 LC 电路系统遵循谐振动的规律，故亦可称为谐振子 另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行研究，像分子、原子、电子的振动等由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还出现于电磁学、原子物理学、光学及其它领域因此，一个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式（9-3），皆可广义地称为谐振子9.1.2 简谐振动的描述方法简谐振动的运动学方程（9-4）即 反映了简谐振动的运动规律下面cosxAωtφ　我们逐个分析方程中出现的量　1. 振幅　　在简谐振动（9-4）的表式中，因余弦（或正弦）函数的绝对值不会大于１，所以物体的振动范围在+ A 和－A 之间．我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A 叫做振幅。

它描述了振动物体往返运动的范围和幅度这是个反映振动强弱的物理量2. 周期和频率　　振动的特征之一是运动具有周期性我们把完成一次完整全振动所经历的时间称为周期，用 T 来表示单位是 s因此，每隔一个周期，振动状态就完全重复一次设某时刻 t 物体的位置为 x，在 t＋T 时刻物体到达位置 　xcosAωtφ　[+]x=由周期性， 　即　xcostTcost　上式方程中 T 的最小值应满足　 　所以2ωπ或　　　 （9-5）2π单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，用 或 f 表示它的单位是赫兹，符号υ是 Hz显然，频率与周期的关系为或 （9-6）12ωυTπ2πυ可见振动方程中的 是一个与振动的周期有关的物理量 表示物体在 s 的时间内所2作的完全振动次数，称为振动的角频率，也称圆频率它的单位是 rad／s周期和频率都是反映振动快慢的物理量 对于弹簧振子， ，所以弹簧振子的周期和频率分别为2kωm（9-7）Tπ12kυπm由于弹簧振子的质量 m 和劲度系数 k 是其本身固有的性质，所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定，因此被称为固有周期和固有频率。

对于单摆， ，所以单摆的周期和频率分别为2gωl2lTπg12gυπl单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度 g 和摆长 l，因此也是固有周期和固有频率，并且周期和频率还与摆球的质量无关在小摆角的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作计时单摆为测量重力加速度 g 提供了一种简便方法对于复摆， 　所以复摆的周期和频率分别为2mghωJ2JTπgh12mghυπJ上式表明，复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本身的性质所决定，因此也是固有周期和固有频率由复摆的周期公式可知，如果测出摆的质量 m，重心到转轴的距离h，以及摆的周期 T，就可以求得此物体绕该轴的转动惯量 J有些形状复杂物体的转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能的，但用振动方法可以测定对于长为 l、可绕过其一端的轴转动的细杆， ，所以绕杆端轴线摆动的周期213l和频率分别为2π3lTgυ2πgl３. 相位和初相　由（9-４）式可知，当角频率 和振幅Ａ已知时，振动物体在任一时刻 t 的运动状态ω（位置、速度、加速度等）都由（ ）决定 ）是决定简谐振动运动状态的tφωtφ物理量，称为振动的相位。

显然 是 t＝０时的相位，称为初相位，简称初相在振动和波动的研究中，相位是一个十分重要的概念物体的振动，在一个周期之内，每一时刻的运动状态都不相同，这相当于相位经历着从 0 到 2 的变化例如图 9-1 所示的π弹簧振子，我们用余弦函数表示的简谐振动，若某时刻（ ）= 0，即相位为零，则可ωtφ决定该时刻 x = A，v = 0，表示物体在正位移最大处而速度为零；当相位（ ）= 时，tφ2πx = 0，v = ，表示物体在平衡位置并以最大速率 向 x 轴负方向即向左运动；而当相ω A位（ ）= 时，x = 0，v = ，这时物体也在平衡位置，但以最大速率 向 x 轴tφ32πωAωA正方向即向右运动可见，不同的相位表示不同的运动状态凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位相差 或 的整数倍由此可见，相位是反映周期性特点，2并用以描述运动状态的重要物理量相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异设有两个同频率的简谐振动，它们的振动表式为 11cos+x=Aωtφ　22它们的相位差为 Δφtt　　即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差当 等于零或 的整数倍时，Δφ2这时两振动物体将同时到达各自同方向的位移的最大值，同时通过平衡位置而且向同方向运动，它们的步调完全相同，我们称这样的两个振动为同相。

当 等于 或者 的奇数倍时，则一个物体到达正的最大位移时，另一个物。