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第三章第三章 网络的状态方程网络的状态方程 本章主要内容：本章主要内容： 状态、状态变量、常态网络、非常态网络等概念；状态状态、状态变量、常态网络、非常态网络等概念；状态变量的选取，状态方程、输出方程的建立和求解变量的选取，状态方程、输出方程的建立和求解 本章重点（状态变量分析法）：本章重点（状态变量分析法）： 状态变量的选取状态变量的选取 状态方程的建立和求解状态方程的建立和求解用途：用途：求解高阶动态电路的响应求解高阶动态电路的响应网络的状态方程§3-1 网络的状态和状态变量网络的状态和状态变量Ø状态状态(state)：： 一个网络在任意瞬时一个网络在任意瞬时(t=t0)的状态，是指能和输入激的状态，是指能和输入激励一道励一道唯一唯一地确定该网络现时地确定该网络现时(t=t0)的行为和未来的行为和未来(t>t0)的行为而的行为而为数最少为数最少(即线性独立即线性独立)的信息量的集合的信息量的集合 Ø状态变量状态变量(state variable)：： 能描述网络任一瞬时状态而为数最少能描述网络任一瞬时状态而为数最少(即线性独立即线性独立)的网络变量集合中的各个变量。

的网络变量集合中的各个变量 通常选择网络中通常选择网络中各各独立独立电容电压电容电压( (或电荷量或电荷量) )和和电感电感电流电流( (或磁通链或磁通链) )作为网络的状态变量作为网络的状态变量网络的状态方程纯电容回路纯电容回路(capacitor-only loop)：： 仅由电容元件或仅由电容元件和独立电压源构成仅由电容元件或仅由电容元件和独立电压源构成的回路称为纯电容回路的回路称为纯电容回路 非独立的电容电压（或电容电荷）不能作为网络的状非独立的电容电压（或电容电荷）不能作为网络的状态变量 网络的状态方程纯电感割集纯电感割集(inductor-only cut set)：： 仅由电感元件或仅由电感元件和独立电流源构成仅由电感元件或仅由电感元件和独立电流源构成的割集称为纯电感割集的割集称为纯电感割集 非独立的电感电流（或电感的磁通链）不能作为网络非独立的电感电流（或电感的磁通链）不能作为网络的状态变量的状态变量 网络的状态方程Ø常态网络常态网络(proper network)：： 既无纯电容回路又无纯电感割集的网络称为常态网络既无纯电容回路又无纯电感割集的网络称为常态网络。

Ø非常态网络非常态网络(improper network)：： 具有纯电容回路或纯电感割集具有纯电容回路或纯电感割集(或二者兼而有之或二者兼而有之)的网络，称为非常态网络的网络，称为非常态网络 在常态网络中，在常态网络中，各电感电流和电容电压都是独立各电感电流和电容电压都是独立的的，都可作为网络的状态变量这时，状态变量数即，都可作为网络的状态变量这时，状态变量数即等于网络中电容元件和电感元件的总数等于网络中电容元件和电感元件的总数 在非常态网络中，网络的状态变量数小于网络中在非常态网络中，网络的状态变量数小于网络中电容元件和电感元件的总数电容元件和电感元件的总数 网络的状态方程§3-2 状态方程和输出方程状态方程和输出方程 Ø 状态方程状态方程(state equation) 一组一组表示状态变量与激励函数之间关表示状态变量与激励函数之间关系的系的一阶微分方程一阶微分方程 范式状态方程范式状态方程 网络的状态方程数等于网络的状态变量数网络的状态方程数等于网络的状态变量数 网络的状态方程Ø状态方程的说明：状态方程的说明：因因iL、、uc1、、uc2都是都是独立的独立的，故可选作状态变量。

故可选作状态变量 网络的状态方程网络的状态方程矩阵形式为矩阵形式为网络的状态方程Ø 输出方程输出方程(outpt equation) 表示输出变量、状态变量与激励函数之间关系的表示输出变量、状态变量与激励函数之间关系的一组一组代数方程代数方程以以uR1、、uL、、i1、、 i2 、、iC2作为作为输出输出网络的状态方程矩阵形式矩阵形式输出方程的向量形式输出方程的向量形式 输出方程的数目等于输出变量数输出方程的数目等于输出变量数网络的状态方程§3-3 线性常态网络状态方程的建立线性常态网络状态方程的建立 常态树常态树(proper tree)：： 对于一个常态网络，可以选择一种树，使其对于一个常态网络，可以选择一种树，使其包含包含网络中的网络中的所有电压源所有电压源、、所有电容所有电容和一些和一些必要必要的电阻的电阻，但，但不包含任何电感不包含任何电感和和电流源电流源，这样的树，这样的树称为称为常态树常态树 网络的状态方程建立线性常态网络状态方程的步骤：建立线性常态网络状态方程的步骤： 第一步：选择状态变量对常态网络一般选择各第一步：选择状态变量。

对常态网络一般选择各电容电压电容电压和和电感电流电感电流作为网络的状态变量作为网络的状态变量 第二步：选择一种第二步：选择一种常态树常态树 第三步：列出网络中各第三步：列出网络中各电容支路所属基本割集电容支路所属基本割集的电流方程的电流方程和各和各电感支路所属基本回路电感支路所属基本回路的电压方程的电压方程 第四步：第四步：消去消去基本割集电流方程和基本回路电压方程中的基本割集电流方程和基本回路电压方程中的非非状态变量状态变量 网络的状态方程例例1 列写图示网络的列写图示网络的状态方程状态方程解：解：1、以、以u1、、u2和和i4、、i5作为状态变量作为状态变量 2、选择一种常态树，标出、选择一种常态树，标出各电容支路所属基本割集各电容支路所属基本割集和各电感支路所属基本回和各电感支路所属基本回路采用简单支路网络的状态方程3、对各电容支路所属基本割集和各电感支路所属、对各电容支路所属基本割集和各电感支路所属基本回路列方程基本回路列方程 网络的状态方程4、消去非状态变量消去非状态变量网络的状态方程矩阵形式的状态方程为矩阵形式的状态方程为常态网络的范式状态常态网络的范式状态方程。

方程难点：消除难点：消除非状态变非状态变量量网络的状态方程线性网络也可以电容电荷线性网络也可以电容电荷q和电感磁通链和电感磁通链 作为状态变量作为状态变量 例例2 以电容电荷和电感磁通以电容电荷和电感磁通链为状态变量，写出状链为状态变量，写出状态方程解：解： 选一常态树选一常态树网络的状态方程对电容树支列基本割集方程有对电容树支列基本割集方程有对电感连支列基本回路方程有对电感连支列基本回路方程有 网络的状态方程矩阵形式的状态方程为矩阵形式的状态方程为以以q和和 作为状态变量的范式状态方程作为状态变量的范式状态方程 网络的状态方程例例3 列写图示网络的状态方程以及以列写图示网络的状态方程以及以is和和uL1为输出的输出方程为输出的输出方程b1b2b3b4b5b6b7b8以电容以电容C1、、C2、、C3和电压源和电压源us为为常态树的树支常态树的树支isuL1+-网络的状态方程状态方程的矩阵形式为状态方程的矩阵形式为 网络的状态方程isuL1+-网络的状态方程例例4 列写图示网络的状态方程列写图示网络的状态方程受控电压源支路纳入常态树，受控电流源支路纳入树余以电容以电容C1、、C2和两个受控电压和两个受控电压源支路为常态树的树支源支路为常态树的树支b1b2b3b4b5b6b7网络的状态方程§3-4 状态方程的复频域解法状态方程的复频域解法 Ø用拉普拉斯变换解状态方程用拉普拉斯变换解状态方程 进行拉普拉斯变换得进行拉普拉斯变换得 网络的状态方程向量形式向量形式矩阵形式矩阵形式范式状态方程的拉普拉斯变换式原始状态变量网络的状态方程预解矩阵预解矩阵令令单位对角阵网络的状态方程Ø当网络中无激励源时，当网络中无激励源时，F(s)=0，则得复频域解的，则得复频域解的零输入分量零输入分量为：为： 它只决定于网络的原始状态向量它只决定于网络的原始状态向量 Ø如果网络原处于零状态，即如果网络原处于零状态，即x(0－－)=0，则可得复频，则可得复频域解的域解的零状态分量零状态分量: 它只决定于网络的激励源向量它只决定于网络的激励源向量 网络的状态方程将状态方程的复频域解进行拉普拉斯反变换，即将状态方程的复频域解进行拉普拉斯反变换，即得状态方程的解为得状态方程的解为 网络的状态方程例例1用拉普拉斯变换解状态方程用拉普拉斯变换解状态方程已知网络的原始状态向量已知网络的原始状态向量 网络的状态方程解：解： 1、求预解矩阵、求预解矩阵Φ(s)。

式中式中网络的状态方程2、激励函数的象函数、激励函数的象函数网络的状态方程网络的状态方程反变换得反变换得t ≥≥0+ 网络的状态方程Ø 输出变量的拉普拉斯变换式输出变量的拉普拉斯变换式 零输入分量零输入分量零状态分量零状态分量网络的状态方程例例2已知某网络的状态方程和输出方程如下：已知某网络的状态方程和输出方程如下： 设输入激励函数为设输入激励函数为网络原处于零状态求输出函数网络原处于零状态求输出函数网络的状态方程解：解：此题中，此题中，常数矩阵常数矩阵为为 预解矩阵预解矩阵网络的状态方程网络的状态方程输入激励的象函数为输入激励的象函数为 网络的状态方程因原始状态为零，故输出向量的拉普拉斯变换式为因原始状态为零，故输出向量的拉普拉斯变换式为 网络的状态方程部分分式展开得部分分式展开得网络的状态方程经反变换得到输出变量经反变换得到输出变量 网络的状态方程。