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层次分析法层次分析法层次分析模型层次分析模型背 景背 景• 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题• 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素• 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化• Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)• AHP——一种一种定性与定量相结合的、系统化、层次化定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法的分析方法一. 层次分析法的基本步骤一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.O(选择旅游地选择旅游地)P2 黄山黄山P1 桂林桂林P3 北戴河北戴河目标层目标层C3 居住居住C1 景色景色C2 费用费用C4 饮食饮食C5 旅途旅途准则层准则层方案层方案层“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳• 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C， 方案层， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。

每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量成对比较阵 和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(=>=×设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC⇒:A~成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵选 择 旅 游 地选 择 旅 游 地要由要由A确定确定C1,… , Cn对对O的权向量的权向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ =????71242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/ 12112CCa =):(43113CCa =):(83223CCa =一致比较一致比较不一致不一致成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnnnww ww wwww ww wwww ww wwA?????212221212111允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围nwwwW?,,) 1(21⇒=jiijwwa/=令权向量~),,(21Tnwwww?=考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnnnww ww wwww ww wwww ww wwA?????212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,, 2 , 1,,,?==⋅满足满足 的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如• A的秩为的秩为1，，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n• A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量一致阵 性质一致阵 性质• A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根λ λ 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即，即wAwλ=Saaty等人提出等人提出1~9尺度尺度——aij取值取值 1,2,… , 9及其互反数及其互反数1,1/2, … , 1/9成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量比较尺度比较尺度aij2 4 6 8尺度尺度1 3 5 7 9 ija相同稍强强明显强绝对强相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC :• 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：jiCC :~aij= 1,1/2, ,…1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个• 用用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现，种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

尺度较优一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根λ ≥λ ≥n, 且且λ λ=n时为一致阵时为一致阵1−−=nnCIλ定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI——随机模 拟得到随机模 拟得到aij, 形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI Saaty的结果如下的结果如下RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110当当CR∃∀（或当当k足够大足够大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和定理1定理1weAeeAkTkk= ∞→lim特征向量体现多步累积效应特征向量体现多步累积效应4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量 w(2)=(w1(2),w2(2))T已定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2P1P3P4例例: 评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学, P4只作科研只作科研, P3兼作教学、科研。

兼作教学、科研讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)) 计算第计算第3层对第层对第1层权向量层权向量 w(3））的方法的方法C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1~P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为：公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1考察一个特例：考察一个特例：• 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T)2()3()3(wWw=仍用计算仍用计算教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排• 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大)/(),(~)2( 22)2( 11)2( 22)2( 11)2(wnwnwnwnwT+=用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正Twnn) 5/2 , 5/ 3 (~, 2, 3)2(21 ===再用计算再用计算)2()3()3(~wWw=w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T教学、科研靠个人积极性教学、科研靠个人积极性• 支配元素越多权重越小支配元素越多权重越小5. 残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ =12/ 1/212/ 1/211331wwwwCwCwλ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ = 12/1212/121θθ A例θ θ为残缺元素为残缺元素辅助矩阵辅助矩阵Tw)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 3==λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ = 22/ 10212/ 1022AwwAλ=⎪⎩⎪⎨⎧=+=≠≠≠=jimajiajiaaiijijijij , 1,, 0,,θθ mi~A第第i 行 中行 中θ θ的个数的个数6. 更复杂的层次结构更复杂的层次结构• 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。

递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环• 更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n……例例层次分析法的优点层次分析法的优点• 系统性系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判 断、综合的思维方式进行决策将对象视作系统，按照分解、比较、判 断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分 析、测试分析并列）；系统分析（与机理分 析、测试分析并列）；• 实用性实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题；定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题；• 简洁性简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握层次分析法的局限层次分析法的局限• 囿旧囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；• 粗略粗略——定性化为定量，结果粗糙；定性化为定量，结果粗糙；• 主观主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。

主观因素作用大，结果可能难以服人Discussions。