高等代数在中学的应用.doc

浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达 指导老师：卢明先 【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关 键 词】行列式;齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.   【Keywords】: determinant   homogeneous linear system    quadratic form matrix  vector.引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注, 行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。

行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用这里结合中学数学着重探讨行列式的应用本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.例1 已知，求证.证明：令，则，即例2 已知，，，求证：.证明：令，则有.例3 在中，求证.证明 由于所以，在中，成立.例 4求证：.证明：因为又，故1.2 用行列式分解因式由行列式的定义，.由此启发，我们可以把一个代数式看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即(均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解.例1分解因式.解：.例2 将分解因式.解：.例3 分解因式.解：.利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.1.3 行列式在解析几何中的应用定理1（1）以平面内三点为顶点的的面积的绝对值.（2）通过两点的直线方程为.例 求过点和点的直线的方程.解 由，得直线的方程为.（3）平面内三条直线.相较于一点或互相平行的充要条件是：.推论平面上三点在一条直线上的充要条件是.定理2 通过平面上三点的圆的方程为.例1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为三条直线方程的系数行列式为故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.第2章 线性方程组在中学数学中的应用1.关于消元法与解的结构。

线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。

实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于3;（1）平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2）平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题比如下面就是一个线性方程组的例子：例：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人?解 设大和尚的数目是，小和尚的数目是，则有， 解之得 其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式等零.例1已知函数,证明、、中至少有一个不小于.解　把=1,2,3代入函数表达式,列方程组上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解,故,展开整理得，假设结论不成立,即, , ,易推出,从而产生矛盾,故命题成立.例2 已知，，，求证：.证明：由已知得关于得方程组因为不可能为零，所以由定理知化简得即.由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第3章 二次型理论在中学数学中的应用中学数学里有时遇到多元二次多项式的因式分解问题,我们可以利用高等代数中二次型理论来探讨复数域和实数域上多元二次多项式的分解条件及分解方法。

实际上,n元二次多项式可以和n+1元二次型联系起来比如由二元二次多项可构成三元二次型 反之,由二次型取z=1,得相应的二次多项式一般地,如果n元二次多项式为 则称n +1元二次型 为对应的二次型容易证明:n元二次多项式可分解的充要条件是对应的二次型可分解为两个n +1元一次齐次式的乘积因此可以主要考虑二次型的分解根据二次型理论,可以证明以下结论:复数域上二次型可分解的充要条件是它的秩不超过2;实数域上二次型可分解的充要条件是它的秩等于1,或者秩是2且符号差是0这个结论表明了二次多项式或二次型可分解与否的判别方法,至于具体的分解方法,一般是利用配方法或二次型理论中的矩阵合同变换法把二次型先化为标准型,再作进一步的因式分解考虑一个 n 元二次型：，其中,.定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和，称为的标准型.定理1 实数域上任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方和（1）的形式.定理2 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1.例 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解，若能，分解之.解 1) 令,则，下面考虑的秩和符号差，对作非线性替换:， 即 有，可见的秩是3，有定理2，知不能分解，从而也不能分解.解 2) 令，则下面考虑的秩和符号差.对作非线性替换， 即 有，从而，可见的秩为2，符号差为0，有定理2，知可以分解，且定理2　对于n元实二次型为的特征值,则对于任意,有.例3　设是实数,且满足.则的最大值与最小值是.解　令,则的矩阵.令,因此,特征值.由定理得,注意到,解得.又,从而,所以的最大值为9,最小值为1.由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在条件下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。

下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨.4.1 中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式---克拉姆法则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且。