《逻辑学》(第二版)-第4章-谓词逻辑课件.ppt

逻辑学（第二版）第四章 谓词逻辑李娜 教授马克思主义理论研究和建设工程重点教材目 录第一节 个体词、谓词和量词第二节 谓词逻辑的形式语言第三节 基本语法概念第四节 谓词逻辑的语义第四章第四章 谓词逻辑谓词逻辑 命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论在命题逻辑中，简单命题不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从简单命题运用命题联结词构造起来的真值表方法能够用来判定一个仅仅涉及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题逻辑的有效推理形式但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理的，例如下面的三段论：第四章 谓词逻辑 猫科动物都是哺乳动物p）老虎都是猫科动物q）所以，老虎都是哺乳动物r）这个推理是正确的但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论分别是三个简单命题p、q和r在命题逻辑中，从p和q不能推出r虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法处理一些更复杂的推理，第四章第四章 谓词逻辑谓词逻辑比如：有一个人所有人都爱他所以，对每个人来说，都有一个他所爱的人这个推理从直觉上看是正确的，但是却无法使用三段论来分析，也无法在命题逻辑中证明它的有效性。

为了研究简单命题的内部结构，需要对简单命题进行进一步的分析，分离出表达个体的个体词第四章第四章 谓词逻辑谓词逻辑、表达性质或关系的谓词、表达数量的量词，从而对简单命题的逻辑结构进行描述由此建立起来的逻辑称为谓词逻辑，也称作一阶逻辑或者量化逻辑第一节 个体词、谓词和量词 在自然语言中，有一些词是代表个体的，有些词是代表性质或关系的，还有一些词代表满足一些性质或关系的个体数量我们区分个体词、谓词和量词，分别加以说明，而且用符号来表示它们第一节 个体词、谓词和量词一、个体词 个体词是代表个体的词这样的词有很多自然语言中最容易识别的个体词是专名（专有名词）常见的人名、地名等都是专名例如，北京、天安门、太阳、长江，等等为了最终能够写出命题的形式，我们用符号来代表专名，这样的符号我们称之为个体常元：第一节 个体词、谓词和量词（1）个体常元：c,c1,c2,（可以没有）为方便起见，我们用a、b、c等字母表示任意个体常元另一种个体词是在数学中常用的，称为个体变元：（2）个体变元：x,x1,x2,第一节 个体词、谓词和量词 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1,xn)这样我们得到构成第三种个体词的符号：（3）对于每个大于等于1的自然数n，n元函数符号：fn,gn,hn,（可以没有）我们用f、g、h等表示任意n元函数符号。

注意每个函数符号都是有元数的在书写具体命题的形式时，我们根据需要来确定函数的元数第一节 个体词、谓词和量词 构造项的符号有三种：个体常元：c,c1,c2,；个体变项：x,x1,x2,；n（1自然数）元函数符号：fn,gn,hn,我们用s、t等代表任何项项是按如下规则构造的表达式：（T1）每个个体变元x是项T2）每个个体常元c是项T3）如果t1,tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1,tn)是项T4）只有按照（T1）-（T3）构造的表达式才是项第一节 个体词、谓词和量词 谈论个体的范围叫作论域，一般用D、W等表示，它是非空的二、谓词二、谓词 谓词是用来表达个体的性质或者个体之间的关系的词只带有一个项的谓词称为一元谓词二元谓词表示两个项所代表的个体之间的二元关系第一节 个体词、谓词和量词 谓词符号包括：对每个大于或者等于1的自然数n，Pn,Qn,Hn,（可以没有）我们也用P、Q、R、H等符号表示任意谓词符号每个谓词符号都有一个固定的自然数n作为它的元数（这里n0）第一节 个体词、谓词和量词三、量词三、量词 对于一个论域D，用符号x表示“论域D中所有个体”；用符号x表示“论域D中存在一个个体”，这里x的取值范围是D，符号x意思是“对x在论域D中所有取值”；x意思是“对x在论域D中的至少一个取值”。

第二节 谓词逻辑的形式语言 本节引入谓词逻辑的形式语言，主要包括一些本节引入谓词逻辑的形式语言，主要包括一些初始符号和公式的形成规则运用谓词逻辑的形式初始符号和公式的形成规则运用谓词逻辑的形式语言可以将自然语言中的一些命题符号化，本节还语言可以将自然语言中的一些命题符号化，本节还将讲解符号化的操作过程将讲解符号化的操作过程第二节 谓词逻辑的形式语言一、谓词逻辑的公式一、谓词逻辑的公式 谓词逻辑的形式语言的初始符号如下：（1）个体常元：c,c1,c2,（可以没有）（2）个体变元：x,x1,x2,（3）n(1的自然数)元函数符号：fn,gn,hn,（可以没有）（4）n(1的自然数)元谓词符号：Pn,Qn,Hn,（可以没有）第二节 谓词逻辑的形式语言（5）命题联结词：、（6）量词：、（7）等词：（可以没有）（8）括号：),(,在没有（1）（3）（4）的语言中，一定要有（7）第二节 谓词逻辑的形式语言定义定义1 1 谓词逻辑的公式是按如下规则形成的表达式：（F1）P(t1,tn)是公式，其中P是一个n元谓词符 号，t1,tn是项F2）t1t2是公式，其中t1,t2是项F3）如果A是公式，那么A是公式。

F4）如果A和B是公式，那么(AB)、(AB)、(AB)、(AB)都是公式F5）如果A是公式，那么xA和xA是公式F6）只有按照（F1）-（F5）形成的表达式才是公 式第二节 谓词逻辑的形式语言 为了以后讨论的方便，我们约定：最外层的括号可以省略；对于连续出现的或者或者或者，我们采用右结合的方法；五个联结词的结合力依、递减第二节 谓词逻辑的形式语言二、命题的符号化二、命题的符号化（一）直言命题 （1）单称肯定命题：a是P2）单称否定命题：a不是P单称肯定命题“a是P”符号化的结果是 “P(a)”单称否定命题“a不是P”符号化的结果是 “P(a)”第二节 谓词逻辑的形式语言 按照如下给出的模型将给出的命题符号化：论域：所有人 a：曹雪芹 b：红楼梦 c：江宁 f(x)：x的父亲 g(x)：x的作者 P(x,y)：x是y的织造府官员 Q(x)：x是清朝人 第二节 谓词逻辑的形式语言 例1 红楼梦的作者是清朝人符号化过程如下：1 g(b)是清朝人2 Q(g(b)例2 曹雪芹的祖父是江宁的织造府官员符号化过程如下：1 f(f(a)是江宁的织造府官员2 P(f(f(a),c)第二节 谓词逻辑的形式语言（3）全称肯定命题：所有S是P。

4）全称否定命题：所有S都不是P全称肯定命题“所有S都是P”符号化的结果是 x(S(x)P(x)全称否定命题“所有S都不是P”符号化的结果是 x(S(x)P(x)第二节 谓词逻辑的形式语言（5）特称肯定命题：有的S是P6）特称否定命题：有的S不是P特称肯定命题“有的S是P”符号化的结果是 x(S(x)P(x)特称否定命题“有的S不是P”符号化的结果是 x(S(x)P(x)第二节 谓词逻辑的形式语言 全称肯定命题“所有阔叶植物是落叶的”的符号化过程如下：1 对所有x，如果x是阔叶植物，那么x是落叶的2 x(S(x)P(x)全称否定命题“所有阔叶植物都不是落叶的”的符号化过程如下：1 对所有x，如果x是阔叶植物，那么x不是落叶的2 x(S(x)(x是落叶的)3 x(S(x)P(x)第二节 谓词逻辑的形式语言 特称肯定命题“有的阔叶植物是落叶的”的符号化过程如下：1 存在x使得x是阔叶植物并且x是落叶的2 x(x是阔叶植物并且x是落叶的)3 x(S(x)并且P(x)4 x(S(x)P(x)第二节 谓词逻辑的形式语言 特称否定命题“有的阔叶植物不是落叶的”的符号化过程如下：1 存在x使得x是阔叶植物并且x不是落叶的。

2 x(S(x)并且(x是落叶的)3 x(S(x)并且P(x)4 x(S(x)P(x)第二节 谓词逻辑的形式语言（二）嵌套量词 在自然语言中还有一类含有多个量词的命题，这样的命题一般比较复杂，涉及推理时应仔细加以分析例 考虑下面的模型：论域：所有动物 P(x)：x是人 L(x,y)：x爱y第二节 谓词逻辑的形式语言（1）每个人都爱某些人符号化如下：1 对任何x，如果x是人，那么x爱某些人2 对任何x，如果x是人，那么存在y(y是人并且x 爱y)3 x(P(x)y(P(y)L(x,y)（2）有些人爱所有人符号化如下：1 存在x(x是人并且x爱所有人)2 存在x(P(x)并且(对任何y，如果y是人，那么x 爱y)3 x(P(x)y(P(y)L(x,y)第二节 谓词逻辑的形式语言（3）没有人爱所有人符号化如下：1 不存在x(x是人并且x爱所有人)2 不存在x(P(x)并且(对任何y，如果y是人，那 么x爱y)3 x(P(x)y(P(y)L(x,y)（4）有些人不爱任何人符号化如下：1 存在x(x是人并且x不爱任何人)2 存在x(P(x)并且(对任何y，如果y是人，那么x 不爱y)3 x(P(x)y(P(y)L(x,y)第二节 谓词逻辑的形式语言（三）数量命题 我们考虑“至少有n个”、“至多有n个”和“恰好有n个”三个数量词，它们在谓词逻辑的形式语言中是能够被定义的，而且要使用等词来定义。

在下面的表述中，我们用“s t”表示“(s t)”在论域D中：第二节 谓词逻辑的形式语言（1）至少有n个个体至少有1个个体：x(xx)至少有2个个体：xy(xy)至少有3个个体：xyz(xyxzyz)至少有n个个体：x1x2xn(x1x2x1xnxn-1xn)第二节 谓词逻辑的形式语言（2）至多有n个个体至多有1个个体：xy(xy)至多有2个个体：xyz(xyxzyz)至多有3个个体：xyzu(xyxzxuyzyuzu)至多有n个个体：x1x2xn+1(x1x2x1xn+1xnxn+1)第二节 谓词逻辑的形式语言（3）恰好有n个个体令A表示至少有n个个体，B表示至多有n个个体那么AB表示恰好有n个个体4）至少有n个S是P至少有1个S是P：x(S(x)P(x)至少有2个S是P：xy(xyS(x)P(x)S(y)P(y)至少有3个S是P：xyz(xyxzyzS(x)P(x)S(y)P(y)S(z)P(z)依次类推，可以表达“至少有n个S是P”第二节 谓词逻辑的形式语言（5）至多有n个S是P至多有1个S是P：xy(S(x)P(x)S(y)P(y)xy)至多有2个S是P：xyz(S(x)P(x)S(y)P(y)S(z)P(z)(xyxzyz)至多有3个S是P：xyzu(S(x)P(x)S(y)P(y)S(z)P(z)S(u)P(u)(xyxzxuyzyuzu)依次类推，可以表达“至多有n个个体”。

第二节 谓词逻辑的形式语言（6）恰好有n个S是P令A表示至少有n个S是P，B表示至多有n个S是P那么AB表示恰好有n个S是P第二节 谓词逻辑的形式语言 将下面的推理符号化：读过至少两本金庸小说的人都喜欢黄蓉所有喜欢金庸小说的人都至少读过两本金庸小说张三喜欢金庸小说所以，张三喜欢黄蓉为了使这个推理符号化，我们先要给出一个模型：论域：所有人和金庸小说 a：黄蓉 b：张三 S(x)：x是金庸小说 L(x,y)：x喜欢y D(x,y)：x读过y P(x)：x是人第二节 谓词逻辑的形式语言（1）读过至少两本金庸小说的人都喜欢黄蓉1 x(x是人并且x读过至少两本金庸小说x喜 欢黄蓉)2 x(P(x)x读过至少两本金庸小说L(x,a)3 x(P(x)yz(yzy是金庸小说 z是金庸小说x读过yx读过z)L(x,a)4 x(P(x)yz(yzS(y)S(z)D(x,y)D(x,z)L(x,a)第二节 谓词逻辑的形式语言（2）所有喜欢金庸小说的人都至少读过两本金庸小说1 x(x是人x喜欢金庸小说x读过至少两本 金庸小说)2 x(P(x)y(y是金庸小说x喜欢y)zu(zuz是金庸小说u是金庸小说 x读过zx读。