江苏省专转本高等数学第八章多元函数微积分核心知识点例题讲解(含答案).doc

第八章 多元函数微积分本章主要知识点l 一阶偏导数计算l 可微与全微分l 二阶偏导数 l 二重积分—直角坐标系l 二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算 多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导2）复合函数一阶偏导3）隐函数一阶偏导数1．显函数的一阶偏导数例8.1．，求解：例8.2．，求解：，，，例8.3．＋，求解：， 2．复合函数的求偏导 我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤例如，其中为已知可微三元函数，求第一步：变量的关系网络图其中1，2，3分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”同理，寻找与对应的路径，例8.4．，求解： 例8.5．求3．隐函数一阶偏导由方程决定隐函数求偏导公式为：，例8.6．由方程决定，求解： .例8.7．，求二、全微分，全微分，全微分例8.8．，求解： 例8.9．，求解: 　 　例8.10．，求解： 三、二阶偏导数例如，有四个偏导数分别定义为，，，在连续条件下例8.11．已知求的所有二阶偏导数．解： 例8.12．求。

解： 例8.13．已知由方程决定，求解：方程两边对求偏导得： 即，　（） 两边对求偏导得： （）两边对求偏导得： 例8.14．，其中为已知三元函数，求解： ＋四、偏导数应用 1.曲面的切平面及法线方程 （1）在的法向量 （2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在的法向量 2.多元函数极值求解流程：（1）驻点， （2）计算； 则当时，无极值；当时，A>0取极小，A<0取极大例8.15．求曲面在点P(2,1,0)处的切平面和法线方程解：令，则P点法向量切平面为：法线方程为：例8.16．求函数的极值解：由解得驻点 , 点取极小值，五、累次积分 累次积分例8.17．计算解：原式例8.18．解：原式 六、直角坐标下的二重积分型区域图示8.1型区域图示8.2上述型，型区域的定限方法非常重要，将直角坐标下二重积分转换为累次积分，更复杂的区域可以看成（拆分）为若干型，型区域组合而成图示8.31例8.19．由在第一象限所围的区域，计算解： 例8.20．由曲线轴所围的区域，计算解： 图示8.4例8.21．由曲线在（1，1）点处切线，本身，轴所围的区域，计算解：，切线方程： 即 图示8.5例8.22．为从，连线PQ，正方形，去除右上角剩余部分，计算。

解：设正方形，为，右上角部分，则 图示8.6原式=改变累次积分的积分顺序，是考查考生对二重积分定理是否掌握及掌握如何的一个重要填空题型具体分析的思路应是： 原累次积分二重积分新累次积分例8.23．变换下列二重积分的次序 解：图示8.7原累次积分例8.24．改变下列累次积分的次序1)．， 2)．　（）3)．， 4)．11解：1)．图示8.8原式2)．图示8.9原式3)．图示8.101原式4) ．图示8.11原式七、极坐标系下的二重积分　　　　　　　图示8.12例8.25．为计算解：　原式图示8.13例8.26．为且，计算解：原式图示8.14　　　 例8.27．且，计算解：原式=图示8.15　　　　例8.28．为圆周与轴在第一象限所围部分，求解：将圆周化为极坐标方程　原式＝图示8.16八、二重积分应用　1.物体质量 物体质量M，其中为面密度函数例8.29．物体形状为，面密度与点到原点的距离一致，求物体的质量解：， M＝ 2.曲顶柱体体积 ，其中为柱体在xoy面上的投影域，为曲面方程 3.曲面面积 ，为曲面方程，为曲面在xoy面上的投影域。

例8.30．旋转抛物面与所围立体的体积解：交线为：，立体在xoy面投影为 ＝例8.31．求旋转抛物面被圆柱面所截的位于第一卦限的曲面面积解：积分域D: =单元练习题81．,则 2． ，则 3．，为已知可微函数，则 4． 5．改变积分次序，则 6．改变积分的次序，则 7．，求8．，求所有二阶偏导数9．，求10．，求11．，其中二阶可微，求12．设方程，确定，求13．，其中是由直线及曲线所围成的平面区域18 ．，其中是所围区域的第一象限部分历年真考题1．(2001)交换积分次序后 2．(2001)函数的全微分 3．(2001)计算二重积分，其中是由直线，及所围的区域4．（2002）交换积分次序 5．（2002）已知，求，6．（2002）计算7．（2003）交换二次积分的次序 。

8．（2003）的全微分9．（2003）求二重积分，其中为第一象限内圆及所围成的平面区域10．（2004）设，则下列等式成立的是（） A． B. C. D. 11．（2004）交换二次积分次序：＝___________.12．（2004）设且具有二阶连续偏导数，求13．（2004）计算二重积分，其中D由曲线所围成14．（2005）设区域D是xoy平面上以点A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)为顶点的三角形区域，区域是D在第一象限的部分，则＝（） A. B. C. D. 015．(2005)交换二次积分的次序：＝______________.16．（2005）已知函数其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求17．（2005）设f(x)为连续函数，且f(2)=1,，（u>1）（1）交换F(u)的积分次序；（2）求本章测试题1．，则2．，则3．，则4．更换积分次序= 5．更换积分次序 6．，则=（ ） A． B． C． D．7．设二重积分的积分域是，则（ ） A． B．4 C．3 D．58．,求。

9． 计算：10．设是所确定的隐含数，求11．计算,其中12．设，求13．设且可微单元练习题8答案1．2．，3．4．5．图示8.181图示8.17原式6．原式7．解：8．解：9. 10. 11. 解: 12. 对求偏导: ，故 ， 对求偏导： 13．解法一： 原式图示8.19 解法二：原式 14．积分次序原式图示8.2015．原式图示8.21　　 16．解：原式 17．原式 18． 原式本章测试答案1. 　2. 　3. 4. 5. 6．Ｂ　7.B8．， ，故9． 原式======10．，，同理11．原式=12．，，，13．，， 。