人教版九年级数学上册同步精品讲义 第14课实际问题与二次函数（原卷版）.doc

第14课 实际问题与二次函数目标导航课程标准（1）能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力2）通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型知识精讲知识点01 列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．知识点02 建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【注意】(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。

求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围知识点04 利用二次函数求最大利润问题（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题①每件的利润=销售单价-成本单价；②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想1．一般解题思路(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。

2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答2．卡车过拱桥(隧道)问题在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）；(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小）能力拓展考法01 求几何图形面积的最值【典例1】如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（        ）A．18m2 B．12 m2 C．16 m2 D．22 m2【即学即练】如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（       ）A．6 B．18 C．36 D．144【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于A、B两点，且点A在轴左侧，点P的坐标为，连接PA，PB，则面积的最小值为（       ）A． B． C． D．6【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中， ，，，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的最小值为（ ）A． B． C． D．考法02 利用二次函数解最大利润问题【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（       ）A．35元 B．45元 C．55元 D．65元【即学即练】某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　）A．16元 B．21元 C．24元 D．25元【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（       ）A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大B．每天的最大利润为1250元C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：①当时，②与之间的函数关系式为③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克其中正确的是（       ）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④考法03 利用二次函数解拱桥问题【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（       ）A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m【即学即练】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【典例6】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．【即学即练】某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．考法04 利用二次函数求喷水、投球等实际问题【典例7】从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（       ）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【即学即练】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（        ）A． B． C． D．【典例8】如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝10t﹣5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m．【即学即练】如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．题组A 基础过关练1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h =﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（       ）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米2．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（     ）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝154．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（       ）A． B．C． D．5．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（       ）A． B． C． D．6．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒7．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．9．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？10．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？题组B 能力提升练1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐。