【八年级下册数学人教版】第十七章 勾股定理（7类压轴题专练）.docx

第十七章　勾股定理（7类压轴题专练）考点一 巧妙割补求面积例题：如图，一块四边形花圃中，已知∠B=90°，，，，.(1)求四边形花圃的面积；(2)求到的距离．变式训练1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1（1）线段BC＝_____，线段CD＝_____；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离考点二 “勾股树”及其拓展类型求面积例题：如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．变式训练1．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．2．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．3．如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．考点三 勾股定理及逆定理与网格问题例题：如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（     ）A． B． C． D．变式训练1．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（    ）A． B． C． D．2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高的长度是（　　）A． B． C． D．3．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ）  A．的面积为10 B．C． D．点到直线的距离是24．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．  (1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高__________．考点四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）A． B． C． D．变式训练1．如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．2．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．3．如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．(1)若，则的度数为________；(2)当，的面积为时，的周长为__________（用含的代数式表示）；(3)若，，求的长．4．在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．(1)如图1，当，时．和有怎样的位置关系，为什么？若，，求线段的长．(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．考点五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．变式训练1．如图，在等腰中， ，，垂足为，已知 ，．(1)求与的长；(2)点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．考点六 实际问题中的方程思想例题：如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．变式训练1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．3．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？4．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．5．如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．考点七 勾股定理逆定理的拓展问题例题：定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．变式训练1．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．2．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 第十七章　勾股定理（7类压轴题专练）答案全解全析考点一 巧妙割补求面积例题：如图，一块四边形花圃中，已知∠B=90°，，，，.(1)求四边形花圃的面积；(2)求到的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，再根据面积公式四边形花圃的面积计算即可；（2）过点C作于E，利用面积法求出即可．【详解】（1）解：连接，∵∠B=90°，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形花圃的面积∴四边形花圃的面积是；（2）过点C作于E，∵，∴，∴，∴到的距离是．【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．变式训练1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．【答案】144【解析】【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分别求出△ABD和△BCD的面积，即可得出答案．【详解】解：连接BD，在△ABD中，∵∠A=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10，S△ABD=AB•AD=×6×8=24，在△BCD中，∵CD=26，BC=24，BD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD=BC•BD=×10×24=120．∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=24+120=144．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABD和△BCD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1（1）线段BC＝_____，线段CD＝_____；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）【答案】（1），；（2）14.5【解析】【分析】（1）在网格中利用勾股定理进行求解即可；（2）如图所示，由此求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，，故答案为：，；（2）如图所示，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及四边形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；（3）根据三角形的面积公式计算．【详解】解：（1），，；（2）△A。